Carl Friedrich Gauß

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker. Mit vollem Namen hieß er Johann Carl Friedrich Gauß. Schon zu Lebzeiten nannte man ihn Princeps mathematicorum, den „Fürsten der Mathematiker“. Er stammte aus einfachen Verhältnissen in Braunschweig und wirkte fast fünfzig Jahre als Professor und Sternwartendirektor in Göttingen.

Gauß hinterließ Spuren in fast allen Bereichen der Mathematik seiner Zeit: Mit 18 Jahren fand er die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks, mit 24 veröffentlichte er die Disquisitiones Arithmeticae, das Gründungswerk der modernen Zahlentheorie. Er berechnete die Bahn des verschollenen Zwergplaneten Ceres, entwickelte die Methode der kleinsten Quadrate, machte die Normalverteilung zum Werkzeug der Fehlerrechnung, vermaß das Königreich Hannover und erfand dabei die Theorie gekrümmter Flächen. Zusammen mit Wilhelm Weber baute er 1833 einen der ersten elektromagnetischen Telegrafen.

Kindheit in Braunschweig

Gauß wurde am 30. April 1777 in Braunschweig geboren. Sein Vater Gebhard Dietrich Gauß arbeitete unter anderem als Gärtner, Schlachter, Maurer und Kassierer; die Mutter Dorothea, geborene Bentze, war vor der Ehe Dienstmädchen gewesen. Sie konnte kaum schreiben, war aber klug und blieb ihrem Sohn zeitlebens eng verbunden.

Über das Wunderkind kursieren zahlreiche Anekdoten, die meist auf Gauß selbst oder seinen Freund und ersten Biografen Wolfgang Sartorius von Waltershausen zurückgehen. Schon als Dreijähriger soll er einen Fehler in der Lohnabrechnung seines Vaters bemerkt haben. Später scherzte Gauß, er habe eher rechnen als sprechen können. Die bekannteste Geschichte spielt in der Braunschweiger Katharinenschule: Lehrer Büttner ließ die Klasse eine lange Reihe von Zahlen addieren, und der etwa neunjährige Gauß legte nach kurzer Zeit seine Tafel mit nur einer Zahl darauf aufs Pult, der richtigen.

Büttners Gehilfe Martin Bartels, selbst später Mathematikprofessor, besorgte Bücher und lernte mit dem Jungen. 1788 kam Gauß auf das Gymnasium, 1791 wurde der Vierzehnjährige Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig vorgestellt. Der Herzog übernahm die Kosten seiner Ausbildung und zahlte ihm auch danach ein Gehalt. Von 1792 bis 1795 besuchte Gauß das Collegium Carolinum, eine Vorstufe zur Universität. Bereits in diesen Jahren begann er, Primzahlen zu zählen, und entdeckte die Methode der kleinsten Quadrate.

Studium in Göttingen und das Siebzehneck

Im Oktober 1795 wechselte Gauß an die Universität Göttingen. Er schwankte noch zwischen Mathematik und alten Sprachen. In Göttingen freundete er sich mit dem ungarischen Studenten Farkas Bolyai an, dem Vater von János Bolyai, einem der Entdecker der nichteuklidischen Geometrie.

Die Entscheidung brachte der 30. März 1796, einen Monat vor seinem 19. Geburtstag. An diesem Tag erkannte Gauß, dass sich das regelmäßige Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Seit Euklid kannte man solche Konstruktionen für das Dreieck, das Fünfeck und die daraus abgeleiteten Vielecke; in rund 2.000 Jahren war nichts Wesentliches hinzugekommen. Gauß löste das Problem nicht mit einer Zeichnung, sondern algebraisch: Er zeigte, dass sich der Kosinus des Mittelpunktswinkels allein mit Quadratwurzeln ausdrücken lässt.

Was sich allein mit Quadratwurzeln berechnen lässt, lässt sich auch mit Zirkel und Lineal zeichnen. Gauß fand die allgemeine Regel: Ein regelmäßiges n-Eck ist konstruierbar, wenn n eine Zweierpotenz ist oder das Produkt einer Zweierpotenz mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen der Form 2^2k + 1. Bekannt sind davon nur fünf: 3, 5, 17, 257 und 65.537. Dass diese Bedingung auch notwendig ist, bewies Pierre Wantzel 1837.

Mit dieser Entdeckung beginnt Gauß’ wissenschaftliches Tagebuch, in dem er bis 1814 insgesamt 146 knappe Einträge notierte. Es wurde erst 1898 wiederentdeckt und zeigt, wie viel er nie veröffentlichte. Allein 1796 hielt er dort den ersten Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes fest und am 10. Juli ein triumphierendes „ΕΥΡΗΚΑ“: Jede natürliche Zahl ist Summe von höchstens drei Dreieckszahlen (so ist 20 = 10 + 10 und 25 = 15 + 10). 1798 kehrte er nach Braunschweig zurück; 1799 wurde er an der Universität Helmstedt mit einem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra promoviert.

Die Disquisitiones Arithmeticae (1801)

1801 erschien in Leipzig das lateinisch geschriebene Buch, das die Zahlentheorie von einer Sammlung einzelner Kunststücke in eine geordnete Wissenschaft verwandelte: die Disquisitiones Arithmeticae („Untersuchungen über höhere Arithmetik“). Gauß widmete es seinem Förderer, dem Herzog. Es knüpfte an Arbeiten von Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange und Adrien-Marie Legendre an, ging aber weit über sie hinaus.

Gleich zu Beginn führte Gauß die Kongruenz ein: a ≡ b (mod m) bedeutet, dass a und b bei Division durch m denselben Rest lassen. So ist 17 ≡ 5 (mod 12), denn 17 Uhr ist auf dem Zifferblatt 5 Uhr. Mit dieser „Uhrenarithmetik“ lassen sich Teilbarkeitsfragen so bequem behandeln wie Gleichungen. Weitere Kapitel behandeln quadratische Formen, also Ausdrücke wie ax² + bxy + cy², und die Kreisteilung, aus der die Theorie des Siebzehnecks stammt.

Herzstück ist der erste vollständige Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, das Euler und Legendre vermutet hatten. Gauß nannte es den „goldenen Lehrsatz“ und fand im Lauf seines Lebens acht verschiedene Beweise dafür.

Gauß’ Vorliebe für dieses Gebiet ist durch einen oft zitierten Ausspruch überliefert, den Sartorius von Waltershausen festhielt: Die Mathematik sei die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik die Königin der Mathematik. Für Generationen von Zahlentheoretikern blieben die Disquisitiones das Grundbuch ihres Fachs.

Ceres, Fehlerrechnung und Normalverteilung

Am 1. Januar 1801 entdeckte der Astronom Giuseppe Piazzi in Palermo einen neuen Himmelskörper, die Ceres, heute als Zwergplanet eingestuft. Nach wenigen Wochen verschwand sie in der Nähe der Sonne aus dem Blick. Aus den wenigen Beobachtungen ihre Bahn zu bestimmen, schien aussichtslos. Gauß entwickelte dafür ein neues Verfahren und gab eine Position an, die deutlich von den Vorhersagen anderer Astronomen abwich. Franz Xaver von Zach fand die Ceres im Dezember 1801 fast genau dort wieder, Heinrich Wilhelm Olbers bestätigte den Fund am 1. und 2. Januar 1802. Über Nacht war der 24-Jährige in ganz Europa berühmt.

Seine Methoden veröffentlichte Gauß 1809 in der Theoria motus corporum coelestium. Dort stellte er auch die Methode der kleinsten Quadrate vor: Aus vielen fehlerbehafteten Messungen wählt man jene Lösung, bei der die Summe der quadrierten Abweichungen am kleinsten ist. Legendre hatte das Verfahren bereits 1805 veröffentlicht; Gauß erklärte, es seit 1795 zu benutzen. Daraus entstand ein Prioritätsstreit, in dem beide Seiten Recht hatten: Legendre publizierte zuerst, Gauß begründete die Methode tiefer.

Diese Begründung führte zur Glockenkurve. Gauß zeigte, dass die Methode der kleinsten Quadrate genau dann die wahrscheinlichsten Werte liefert, wenn die Messfehler einer bestimmten Verteilung folgen, der Normalverteilung:

Dabei ist μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Ganz neu war die Kurve nicht: Abraham de Moivre war 1733 als Grenzfall der Binomialverteilung auf sie gestoßen, und Pierre-Simon Laplace baute die Theorie parallel zu Gauß aus. Dass sie heute „Gaußsche Glockenkurve“ heißt, verdankt sie ihrer zentralen Rolle in der Fehlerrechnung, die Gauß ihr gab. Wie man mit Mittelwert und Streuung arbeitet, zeigt die Lernseite Statistik.

1807 wurde Gauß Professor für Astronomie und Direktor der Sternwarte in Göttingen; zuvor hatte er einen Ruf nach Sankt Petersburg abgelehnt. Er blieb bis zu seinem Tod in Göttingen und lehnte auch spätere Angebote aus Berlin und Wien ab.

Primzahlen: Gauß’ Vermutung zum Primzahlsatz

Schon mit 15 oder 16 Jahren zählte Gauß Primzahlen in großen Abschnitten von jeweils tausend Zahlen. Wie er 1849 in einem Brief an den Astronomen Johann Franz Encke berichtete, bemerkte er dabei, dass die Primzahlen zwar immer seltener werden, aber nach einem einfachen Gesetz: In der Nähe einer Zahl x ist ungefähr jede (ln x)-te Zahl eine Primzahl, wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Die Tabelle zeigt das Muster: Wird x zehnmal so groß, steigt der Abstand zwischen Primzahlen im Schnitt nicht um einen festen Faktor, sondern um einen festen Betrag von etwa 2,3 (das ist ln 10). Die Wahrscheinlichkeit, auf eine Primzahl zu treffen, halbiert sich also nicht, sondern nimmt langsam und gleichmäßig ab. Legendre veröffentlichte 1798 eine ähnliche Vermutung. Bewiesen wurde dieser Primzahlsatz erst 1896, unabhängig voneinander von Jacques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin, mit Methoden, die auf Bernhard Riemann, einen Schüler von Gauß, zurückgehen.

Fundamentalsatz der Algebra und komplexe Zahlen

In seiner Doktorarbeit von 1799 bewies Gauß den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad n ≥ 1 hat mindestens eine Nullstelle in den komplexen Zahlen und zerfällt deshalb in n Linearfaktoren. So hat x² + 1 = 0 keine reelle Lösung, wohl aber die komplexen Lösungen i und −i. Gauß kritisierte frühere Beweisversuche von d’Alembert, Euler und Lagrange als lückenhaft. Sein eigener Beweis setzte allerdings eine anschaulich einleuchtende Eigenschaft von Kurven voraus, die erst 1920 streng begründet wurde. Gauß kehrte mehrfach zu dem Satz zurück und gab 1815, 1816 und 1849 weitere Beweise.

Mit komplexen Zahlen der Form a + bi rechnete Gauß souverän. Spätestens 1811 stellte er sie sich als Punkte einer Ebene vor; Caspar Wessel (1797) und Jean-Robert Argand (1806) hatten diese Idee unabhängig veröffentlicht. Erst als Gauß 1831 darüber schrieb und dabei den Begriff „komplexe Zahl“ prägte, setzte sich die Darstellung durch. Im Deutschen heißt sie bis heute Gaußsche Zahlenebene.

Landesvermessung und Gaußsche Krümmung

Ab 1820 leitete Gauß die Gradmessung im Königreich Hannover. Mehrere Sommer lang stand er selbst mit Messinstrumenten auf Kirchtürmen und Bergen. Um weit entfernte Messpunkte sichtbar zu machen, erfand er 1821 das Heliotrop, einen Spiegel, der Sonnenlicht gezielt über Entfernungen von 100 Kilometern und mehr zum Beobachter lenkt. Die vielen Messungen glich er mit der Methode der kleinsten Quadrate aus und löste dabei große lineare Gleichungssysteme mit dem Verfahren, das heute als Gaußsches Eliminationsverfahren in jedem Schulbuch über lineare Gleichungssysteme steht.

Aus der Frage, wie man die gekrümmte Erdoberfläche auf flache Karten überträgt, entstand eine neue Theorie. In den Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) definierte Gauß die Krümmung einer Fläche in jedem Punkt als Produkt der beiden Hauptkrümmungen. Für eine Kugel mit Radius r ist sie überall 1/r², für eine Ebene 0, für eine Sattelfläche negativ. Sein „hervorragender Satz“, das Theorema egregium, besagt: Diese Krümmung lässt sich allein durch Messungen innerhalb der Fläche bestimmen, ohne den umgebenden Raum. Ein Wesen, das nur auf der Fläche lebt, könnte sie also messen. Eine Folgerung kennt jeder Kartograf: Weil Kugel und Ebene verschiedene Krümmung haben, gibt es keine Weltkarte, die alle Längen unverzerrt wiedergibt.

Diese „innere Geometrie“ wurde zum Ausgangspunkt für Riemanns Geometrie gekrümmter Räume, die Gauß 1854 noch selbst als Thema für Riemanns berühmten Habilitationsvortrag auswählte. Ohne sie wäre Einsteins allgemeine Relativitätstheorie nicht denkbar. Mehr zu Flächen und Körpern findet sich im Bereich Geometrie.

Gauß und die nichteuklidische Geometrie

Seit Euklid war unklar, ob sich das Parallelenpostulat aus den übrigen Axiomen beweisen lässt. Gauß kam nach eigener Aussage schon in jungen Jahren zu der Überzeugung, dass eine widerspruchsfreie Geometrie möglich ist, in der es nicht gilt; 1831 schrieb er an Heinrich Christian Schumacher, seine Überlegungen dazu seien „zum Theil schon gegen 40 Jahr alt“. In einem Brief an Franz Adolph Taurinus beschrieb er 1824 eine Geometrie, in der die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180° ist. Veröffentlicht hat er nichts davon. Den Grund nannte er Friedrich Wilhelm Bessel:

„… weil ich das Geschrei der Böotier scheue, wenn ich meine Ansicht ganz aussprechen wollte.“

Die Böotier galten in der Antike als Inbegriff der Engstirnigkeit. Als Farkas Bolyai ihm 1832 die Arbeit seines Sohnes János schickte, antwortete Gauß, sie zu loben hieße sich selbst zu loben, denn sie stimme mit seinen eigenen Gedanken überein. Für den jungen Bolyai war das ein schwerer Schlag. Gegenüber einem Kollegen nannte Gauß den Verfasser allerdings ein „Genie erster Größe“, und 1842 setzte er die Wahl Lobatschewskis in die Göttinger Gelehrtengesellschaft durch. Die ganze Geschichte erzählt die Seite über Bolyai und Lobatschewski.

Erdmagnetismus und Telegraf mit Wilhelm Weber

1831 kam der junge Physiker Wilhelm Weber nach Göttingen, und Gauß wandte sich mit ihm der Physik zu. Gemeinsam vermaßen sie das Magnetfeld der Erde und führten dafür ein System absoluter Maßeinheiten ein, das Magnetismus auf Länge, Masse und Zeit zurückführt. 1836 gründeten sie den Göttinger Magnetischen Verein, ein internationales Netz von Beobachtungsstationen. Gauß zeigte außerdem, dass sich das Erdmagnetfeld mathematisch in einen inneren und einen äußeren Anteil zerlegen lässt, und belegte so, dass seine Hauptquelle im Erdinneren liegt.

1833 verbanden Gauß und Weber die Sternwarte mit dem rund einen Kilometer entfernten physikalischen Institut durch eine Drahtleitung. Über Stromstöße und einen Binärcode tauschten sie Nachrichten aus. Es war einer der ersten elektromagnetischen Telegrafen und der erste, der regelmäßig über eine solche Strecke betrieben wurde. Wirtschaftlich nutzten andere die Erfindung, allen voran Samuel Morse.

Nach Gauß ist die Einheit der magnetischen Flussdichte im älteren CGS-System benannt: 1 Gauß entspricht 0,0001 Tesla. Im heute gültigen SI-Einheitensystem ist das Tesla die Einheit; das Gauß wird aber in Technik und Astronomie noch verwendet.

Familie, Freunde und späte Jahre

1805 heiratete Gauß Johanna Osthoff, mit der er drei Kinder hatte. Sie starb 1809 kurz nach der Geburt des dritten Kindes; der Verlust stürzte ihn in eine tiefe Krise. 1810 heiratete er Minna Waldeck, eine Freundin seiner ersten Frau, und bekam drei weitere Kinder. Die zweite Ehe war weniger glücklich; Minna und ihre Familie drängten auf einen Umzug nach Berlin, Gauß blieb in Göttingen. Ab 1817 lebte seine Mutter bei ihm, bis zu ihrem Tod 1839. Zwei Söhne wanderten in die USA aus, Eugen nach einem heftigen Streit mit dem Vater.

Zu seinen Briefpartnern gehörte Sophie Germain, die ihm ab 1804 unter dem Männernamen „Monsieur Le Blanc“ zahlentheoretische Ergebnisse schickte. Als französische Truppen 1806 Braunschweig besetzten, bat sie einen befreundeten General, für Gauß’ Sicherheit zu sorgen. So erfuhr Gauß, wer sein Korrespondent wirklich war, und lobte sie ausdrücklich. 1837 traf ihn die Entlassung der „Göttinger Sieben“, unter denen Weber und sein Schwiegersohn Heinrich Ewald waren.

Unter seinen späten Schülern waren Richard Dedekind und Bernhard Riemann. Gauß starb am 23. Februar 1855 in Göttingen und wurde auf dem Albanifriedhof beigesetzt. König Georg V. von Hannover ließ ihm zu Ehren eine Medaille mit der Inschrift Mathematicorum Principi prägen. Sein Gehirn wurde für die Forschung aufbewahrt; 2013 stellte sich heraus, dass es schon bald nach seinem Tod mit dem eines anderen Göttinger Gelehrten vertauscht worden war.

Zeitleiste: Carl Friedrich Gauß’ Leben

1. 1777 Geburt am 30. April in Braunschweig
2. 1792 Collegium Carolinum mit Unterstützung des Herzogs von Braunschweig
3. 1795 Studium in Göttingen
4. 1796 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks; Beginn des mathematischen Tagebuchs
5. 1799 Promotion in Helmstedt mit dem Fundamentalsatz der Algebra
6. 1801 Disquisitiones Arithmeticae; Bahnberechnung der Ceres
7. 1807 Professor und Sternwartendirektor in Göttingen
8. 1809 Theoria motus mit der Methode der kleinsten Quadrate
9. 1821 Gradmessung in Hannover, Erfindung des Heliotrops
10. 1827 Theorie der gekrümmten Flächen, Theorema egregium
11. 1833 Elektromagnetischer Telegraf mit Wilhelm Weber
12. 1855 Tod am 23. Februar in Göttingen

Bedeutung heute

Kaum ein Mathematiker begegnet einem im Alltag so oft wie Gauß, meist unbemerkt:

• Statistik und Messtechnik: Normalverteilung und Methode der kleinsten Quadrate sind Grundwerkzeuge in Medizin, Qualitätskontrolle, Wirtschaft und maschinellem Lernen.
• Satellitennavigation: GPS-Empfänger bestimmen ihre Position aus überzähligen, verrauschten Messungen mit Ausgleichsverfahren, die auf Gauß zurückgehen. Auch Landkarten beruhen bis heute auf seinen Projektionen.
• Verschlüsselung: Das Rechnen mit Kongruenzen aus den Disquisitiones ist die Sprache der modernen Kryptografie.
• Physik: Der Gaußsche Integralsatz und das Gaußsche Gesetz gehören zu den Grundgleichungen der Elektrodynamik; Riemanns Weiterentwicklung seiner Flächentheorie trägt die Relativitätstheorie.

Auch das breite Publikum kennt ihn: Daniel Kehlmanns Roman Die Vermessung der Welt (2005) erzählt in freier, teils erfundener Form von Gauß und Alexander von Humboldt. Ein Asteroid, ein Mondkrater und ein Forschungsschiff tragen seinen Namen. Seinen Platz in der Geschichte der Mathematik beschreibt der Artikel über die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wolfgang Sartorius von Waltershausen: Gauß zum Gedächtniß. S. Hirzel, Leipzig 1856.
• Hans Wußing: Carl Friedrich Gauß. Teubner, Leipzig 1974 (Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner).
• Walter Kaufmann Bühler: Gauss. A Biographical Study. Springer, Berlin 1981.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin 2009.
• MacTutor History of Mathematics: Carl Friedrich Gauss (englisch)