Marin Mersenne

Marin Mersenne (1588–1648) war ein französischer Mönch, Theologe und Gelehrter. Er lebte als Minimit im Pariser Kloster an der Place Royale und wurde dort zur Schaltstelle der europäischen Wissenschaft. Er schrieb Briefe an die klügsten Köpfe seiner Zeit, stellte ihnen Aufgaben, gab Antworten weiter und lud sie zu Treffen in sein Kloster ein. Man nannte ihn deshalb den „Postkasten Europas“. In einer Zeit ohne Fachzeitschriften war das unschätzbar.

Seinen Namen tragen die Mersenne-Zahlen 2^p − 1. Sind sie Primzahlen, spricht man von Mersenne-Primzahlen. Die größten bekannten Primzahlen sind fast immer von dieser Art, und noch heute suchen Freiwillige mit ihren Computern nach der nächsten. Mersenne selbst hatte eine Liste solcher Zahlen aufgestellt, die allerdings Fehler enthielt. Seine große Leistung für die Mathematik des 17. Jahrhunderts war das Verbinden der Gelehrten.

Der Mönch von der Place Royale

Mersenne wuchs in der Landschaft Maine auf und besuchte das Jesuitenkolleg in La Flèche, wo auch René Descartes lernte. Er studierte Theologie in Paris, trat 1611 in den Orden der Minimen ein und wurde zum Priester geweiht. Nach einigen Jahren als Lehrer in Nevers kehrte er 1619/20 in das Pariser Kloster zurück und blieb dort bis zu seinem Tod. Oft wird behauptet, er sei Jesuit gewesen. Das stimmt nicht: Er wurde von Jesuiten unterrichtet, trat aber nie in deren Orden ein.

Seine Schriften waren zunächst theologisch. Er wandte sich gegen Magie, Astrologie und Geheimlehren und trat für die neue, auf Beobachtung gestützte Naturforschung ein. Er verteidigte Galileo Galilei und gab 1634 eine kommentierte französische Fassung von dessen Mechanik heraus.

Mersenne-Zahlen und Mersenne-Primzahlen

Eine Primzahl hat nur die Teiler 1 und sich selbst. Mersenne betrachtete Zahlen der Form 2^p − 1, wobei p selbst eine Primzahl ist. Dass p prim sein muss, hat einen einfachen Grund: Ist p = a · b, dann lässt sich 2^p − 1 durch 2^a − 1 teilen. Aber die Umkehrung gilt nicht, wie die Tabelle zeigt.

In seinen Cogitata physico-mathematica (1644) behauptete Mersenne, für alle Primzahlen p bis 257 sei 2^p − 1 genau für 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 eine Primzahl. Wie er darauf kam, verriet er nicht. Seine Liste enthielt fünf Fehler: Die Exponenten 67 und 257 gehören nicht dazu, die Exponenten 61, 89 und 107 fehlen. Édouard Lucas zeigte 1876, dass 2¹²⁷ − 1 tatsächlich prim ist und 2⁶⁷ − 1 nicht, ohne einen Teiler zu nennen. Iwan Perwuschin wies 1883 nach, dass 2⁶¹ − 1 prim ist, Ralph Powers fand 1911 und 1914 die Fälle 89 und 107. Vollständig geprüft war Mersennes Bereich erst um 1947.

Vollkommene Zahlen und ein Primzahltest

Mersenne-Primzahlen haben eine schöne Nebenwirkung. Schon Euklid wusste: Ist 2^p − 1 eine Primzahl, dann ist 2^p−1 · (2^p − 1) eine vollkommene Zahl, also eine Zahl, die gleich der Summe ihrer Teiler außer ihr selbst ist. Aus p = 2 folgt 6 = 1 + 2 + 3, aus p = 3 folgt 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, dann 496 und 8.128. Leonhard Euler zeigte, dass jede gerade vollkommene Zahl so entsteht.

Für Mersenne-Zahlen gibt es einen besonders schnellen Test, den Lucas in den 1870er-Jahren entwickelte und Derrick Lehmer 1930 vervollständigte: Man startet mit s = 4, ersetzt s immer wieder durch s² − 2 (Rest bei Division durch 2^p − 1) und prüft nach p − 2 Schritten, ob der Rest 0 ist.

Die größte bekannte Primzahl

Die Suche nach Mersenne-Primzahlen ist eine Rekordjagd geblieben. Édouard Lucas prüfte 1876 per Hand die Zahl 2¹²⁷ − 1 mit 39 Stellen. 1952 fand Raphael Robinson mit einem Computer die erste Mersenne-Primzahl seit 1914. Seit 1996 sucht das Gemeinschaftsprojekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), das George Woltman gründete, mit den Rechnern von Freiwilligen weltweit.

Stand Oktober 2026 ist die größte bekannte Primzahl 2^136.279.841 − 1. Sie hat 41.024.320 Dezimalstellen und wurde am 12. Oktober 2024 von Luke Durant im Rahmen von GIMPS gefunden, erstmals mit Grafikkarten in der Cloud. Bekannt sind damit 52 Mersenne-Primzahlen. Die Nummerierung der letzten ist noch vorläufig, weil man nicht alle kleineren Exponenten doppelt geprüft hat. Ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt, weiß niemand.

Das Briefnetzwerk

Mersennes eigentliche Bedeutung liegt in seinem Briefwechsel. Ab 1635 entstand um ihn die informelle Académie Parisienne mit fast 140 Briefpartnern. Als er 1648 starb, fand man in seiner Zelle Briefe von 78 Absendern. Aus diesem Kreis ging später, 1666, die Pariser Académie des sciences hervor. Die gesammelte Correspondance du P. Marin Mersenne umfasst 17 Bände.

Mersenne stellte Fragen, ließ Lösungen reihum gehen und stiftete auch Streit, um Ansichten zu vergleichen. Dass etwa Fermat und Descartes 1637 über Tangenten stritten, lief über Mersenne. Sein Kreis ersetzte die Fachzeitschrift, bevor es sie gab. Die Briefkultur setzte sich fort, etwa im Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat von 1654, der zur Wahrscheinlichkeitsrechnung führte.

Musik und Akustik

Besonders erfolgreich arbeitete Mersenne in der Musiktheorie. In der Harmonie universelle (1636) formulierte er die Gesetze der schwingenden Saite: Verkürzt man eine Saite auf die Hälfte, steigt die Tonhöhe um eine Oktave, die Frequenz verdoppelt sich also. Je stärker man die Saite spannt, desto höher klingt sie, und je dicker oder schwerer sie ist, desto tiefer. Außerdem maß er die Schallgeschwindigkeit: 1636 erhielt er aus der Laufzeit eines Echos 316 Meter pro Sekunde. Der richtige Wert liegt bei rund 340.

Zeitleiste: Marin Mersenne

1. 1588 Geburt in Oizé in der Landschaft Maine
2. 1604–1609 Schüler des Jesuitenkollegs La Flèche, zusammen mit Descartes
3. 1611 Eintritt in den Orden der Minimen, 1612/13 Priesterweihe
4. 1619/20 Rückkehr in das Pariser Kloster
5. 1634 Französische Bearbeitung von Galileis Mechanik
6. 1635 Beginn der Académie Parisienne
7. 1636 Harmonie universelle
8. 1644 Cogitata physico-mathematica mit der Liste der Mersenne-Primzahlen
9. 1648 Tod in Paris

Bedeutung und Nachwirkung

Mersenne war kein genialer Mathematiker, aber er schuf die Voraussetzungen, unter denen Mathematik im 17. Jahrhundert gedeihen konnte. Seine Primzahlliste regte Generationen von Zahlentheoretikern an, von Fermat über Euler bis zu Lucas. Heute begegnet man seinem Namen in der Informatik: Der „Mersenne Twister“, ein viel genutzter Zufallszahlengenerator, hat die Periodenlänge 2¹⁹⁹³⁷ − 1, eine Mersenne-Primzahl. In der Verschlüsselung spielen große Primzahlen eine zentrale Rolle, und die Suche nach Mersenne-Primzahlen dient auch als Belastungstest für neue Computer.

Quellen und weiterführende Literatur

• Cornelis de Waard, Bernard Rochot, Armand Beaulieu (Hrsg.): Correspondance du P. Marin Mersenne, 17 Bände, CNRS, Paris 1932–1988.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search, Liste der bekannten Mersenne-Primzahlen (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Marin Mersenne (englisch)
• Wikipedia: Marin Mersenne