Euklid

Euklid (griechisch Eukleides) war ein griechischer Mathematiker, der um 300 v. Chr. in Alexandria in Ägypten wirkte. Er ist der Verfasser der Elemente, einer Darstellung der Geometrie und Zahlentheorie in 13 Büchern, die über zwei Jahrtausende als maßgebliches Lehrbuch diente. Kaum ein anderes Mathematikbuch wurde so oft abgeschrieben, übersetzt, gedruckt und kommentiert.

Euklids Leistung liegt weniger in einzelnen Entdeckungen als in der Methode. Er ordnete das mathematische Wissen seiner Vorgänger so, dass jeder Satz aus wenigen Definitionen, Postulaten und Axiomen oder aus bereits bewiesenen Sätzen folgt. Dieses axiomatische Vorgehen wurde zum Vorbild für die gesamte Mathematik. Zugleich enthalten die Elemente Ergebnisse, die bis heute zum Grundwissen gehören: den euklidischen Algorithmus, den Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen und das berühmte Parallelenpostulat, aus dessen Untersuchung im 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie hervorging.

Leben: Was über Euklid bekannt ist

Über Euklids Leben gibt es kaum gesicherte Nachrichten. Die wichtigste Quelle ist der Philosoph Proklos, der rund 750 Jahre später, im 5. Jahrhundert n. Chr., einen Kommentar zum ersten Buch der Elemente schrieb. Nach Proklos war Euklid jünger als die Schüler Platons, aber älter als Archimedes und Eratosthenes, und er lebte zur Zeit von König Ptolemaios I., der Ägypten von 323 bis 283 v. Chr. regierte. Proklos nennt ihn einen Anhänger der platonischen Philosophie. Ob Euklid in Athen an der Akademie gelernt hat, wie oft vermutet wird, ist nicht belegt; plausibel ist es, weil sein Werk auf Ergebnissen aufbaut, die im Umfeld der Akademie entstanden.

Der spätere Mathematiker Pappos berichtet, dass Apollonios von Perge lange Zeit bei den Schülern Euklids in Alexandria verbrachte. Euklid scheint dort also eine Schule begründet zu haben. Geburtsort, Herkunft, Lebensdaten und Aussehen sind unbekannt. Alle Bilder, die ihn mit Bart, Zirkel und Schriftrolle zeigen, sind Fantasieprodukte späterer Jahrhunderte. Im Mittelalter und in der Renaissance verwechselte man ihn zudem häufig mit dem Philosophen Euklid von Megara, einem Schüler des Sokrates, der rund hundert Jahre früher lebte.

Zwei Anekdoten sind überliefert, beide unsicher. Nach Proklos fragte König Ptolemaios, ob es keinen kürzeren Weg zur Geometrie gebe als die Elemente. Euklid soll geantwortet haben, es gebe keinen königlichen Weg zur Geometrie. Dieselbe Geschichte wird allerdings auch von Menaichmos und Alexander dem Großen erzählt. Nach Stobaios fragte ein Schüler, was er denn durch das Lernen der Geometrie gewinne. Euklid habe daraufhin einem Diener befohlen, dem jungen Mann drei Obolen zu geben, da er ja Gewinn aus dem Lernen ziehen müsse.

Alexandria um 300 v. Chr.: Museion und Bibliothek

Alexandria war 331 v. Chr. von Alexander dem Großen gegründet worden. Nach seinem Tod übernahm sein General Ptolemaios die Herrschaft über Ägypten und machte die Stadt zur Hauptstadt eines griechisch geprägten Königreichs. Unter ihm und seinem Sohn entstanden das Museion, eine staatlich finanzierte Forschungsstätte, und die berühmte Bibliothek, die systematisch Schriften aus der ganzen griechischen Welt sammelte. Gelehrte erhielten hier Unterhalt und Arbeitsmöglichkeiten.

Alexandria löste Athen als wichtigstes Zentrum der Mathematik ab. Nach Euklid arbeiteten hier oder standen mit der Stadt in Verbindung: Eratosthenes, Apollonios von Perge, Heron, Ptolemäus, Diophant und Hypatia. Einen Überblick über diese Epoche gibt der Artikel hellenistische Mathematik.

Die Elemente: Aufbau und Methode

Der griechische Titel Stoicheia bedeutet „Grundbausteine“ und wurde auch für Buchstaben verwendet. Euklid war nicht der Erste, der solche Elemente schrieb: Schon Hippokrates von Chios hatte im 5. Jahrhundert v. Chr. ein Lehrbuch dieses Namens verfasst, später folgten Leon und Theudios aus dem Umkreis der Akademie. Euklids Werk verdrängte alle Vorgänger so gründlich, dass von ihnen nichts erhalten ist.

Definitionen, Postulate und Axiome

Das erste Buch beginnt mit 23 Definitionen. Die ersten beiden lauten sinngemäß: Ein Punkt ist, was keine Teile hat; eine Linie ist eine breitenlose Länge. Es folgen fünf Postulate, also Forderungen, die für die Geometrie gelten sollen. Sinngemäß lauten sie:

1. Von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt kann man eine Strecke ziehen.
2. Jede Strecke lässt sich geradlinig verlängern.
3. Um jeden Punkt kann man mit jedem Radius einen Kreis zeichnen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. Wenn eine Gerade zwei andere Geraden so schneidet, dass die beiden inneren Winkel auf einer Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich diese beiden Geraden bei genügender Verlängerung auf eben dieser Seite (Parallelenpostulat).

Dazu kommen fünf allgemeine Grundsätze, die Euklid „gemeinsame Begriffe“ nennt und die heute meist Axiome heißen:

1. Was demselben gleich ist, ist auch untereinander gleich.
2. Fügt man Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Ganzen gleich.
3. Nimmt man von Gleichem Gleiches weg, so sind die Reste gleich.
4. Was sich zur Deckung bringen lässt, ist gleich.
5. Das Ganze ist größer als der Teil.

Die ersten drei Postulate beschreiben, was man mit einem Lineal ohne Maßeinteilung und einem Zirkel tun kann. Deshalb gelten Konstruktionen „mit Zirkel und Lineal“ als euklidisch. Der erste Satz der Elemente zeigt sofort, wie das funktioniert: Über einer gegebenen Strecke wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet, indem man um beide Endpunkte Kreise mit der Strecke als Radius zeichnet und ihren Schnittpunkt verbindet. Moderne Mathematiker bemerkten später, dass Euklid hier stillschweigend voraussetzt, dass sich die beiden Kreise überhaupt schneiden. Solche Lücken schloss systematisch erst David Hilbert 1899 mit seinen Grundlagen der Geometrie.

Die 13 Bücher im Überblick

Insgesamt enthalten die 13 Bücher 465 Propositionen, also Lehrsätze und Konstruktionsaufgaben. Zwei später angehängte Bücher XIV und XV stammen nicht von Euklid. Formeln im heutigen Sinn kommen nicht vor: Euklid formuliert alles in Worten und mit Zeichnungen, und statt mit Zahlen für Längen arbeitet er mit Strecken und Flächen.

Woher stammt der Stoff?

Die Elemente sind kein Werk aus einem Guss, sondern die Summe von drei Jahrhunderten griechischer Mathematik. Die Bücher über Zahlen und Teile der ebenen Geometrie gehen auf die Pythagoreer zurück, die Proportionenlehre in Buch V und die Exhaustionsmethode in Buch XII auf Eudoxos von Knidos, die Bücher X und XIII auf Theaitetos. Wie viel Euklid selbst hinzufügte, lässt sich kaum sagen. Proklos lobt, er habe vieles, was seine Vorgänger lockerer bewiesen hatten, auf unwiderlegliche Beweise gestellt. Sein eigener Beitrag lag also vor allem in Auswahl, Anordnung und Strenge.

Geometrie in den Elementen

Das erste Buch endet mit dem Satz des Pythagoras (I.47) und seiner Umkehrung (I.48). Euklids Beweis zerlegt das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke und zeigt, dass jedes davon so groß ist wie eines der Kathetenquadrate. Die Figur ist als „Windmühle“ bekannt geworden. Im sechsten Buch verallgemeinert Euklid den Satz auf beliebige ähnliche Figuren über den Dreiecksseiten.

Buch II übersetzt algebraische Zusammenhänge in Geometrie. Satz II.4 etwa zeigt, dass das Quadrat über einer geteilten Strecke aus den Quadraten über beiden Teilen und zwei gleichen Rechtecken besteht; das entspricht der Formel (a + b)² = a² + 2ab + b². Im dritten Buch findet sich als Satz III.31 der Satz, dass jeder Winkel im Halbkreis ein rechter ist, heute nach Thales benannt. Buch XII beweist mit der Exhaustionsmethode, dass sich Kreisflächen wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten und dass ein Kegel ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ausmacht. Den Wert des Verhältnisses von Kreisumfang zu Durchmesser, also π, berechnet Euklid nicht; das tat erst Archimedes.

Die Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis

Euklid definiert im sechsten Buch eine Teilung, die später als Goldener Schnitt berühmt wurde. Ein Punkt C teilt die Strecke AB so, dass sich die ganze Strecke zum größeren Teil verhält wie der größere Teil zum kleineren:

Euklid braucht diese Teilung für die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks und der Körper Ikosaeder und Dodekaeder. Er gibt keinen Zahlenwert an und verbindet die Teilung weder mit Schönheit noch mit Kunst. Der Name „Goldener Schnitt“ wurde erst im 19. Jahrhundert gebräuchlich.

Zahlentheorie: Teiler, Primzahlen und vollkommene Zahlen

Die Bücher VII bis IX behandeln Zahlen, wobei Euklid sie als Strecken darstellt, die von einer Einheit gemessen werden. Eine Primzahl ist bei ihm eine Zahl, die nur von der Einheit gemessen wird, also nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Der euklidische Algorithmus

Gleich zu Beginn von Buch VII beschreibt Euklid ein Verfahren, mit dem man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen findet: Man zieht wiederholt die kleinere Zahl von der größeren ab, bis beide gleich sind. Was übrig bleibt, ist der gesuchte Teiler. Heute rechnet man meist mit Division mit Rest, was dieselben Schritte zusammenfasst. Das Verfahren gilt als ältester Algorithmus, der noch heute im Alltag von Computern verwendet wird.

Es gibt unendlich viele Primzahlen

Satz IX.20 lautet sinngemäß: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Euklids Beweis ist kurz. Man multipliziert die gegebenen Primzahlen und addiert 1. Die entstehende Zahl N lässt bei der Division durch jede der gegebenen Primzahlen den Rest 1. Also ist N entweder selbst eine Primzahl oder hat einen Primteiler, der nicht in der Liste vorkommt. In jedem Fall gibt es eine weitere Primzahl.

Ein häufiges Missverständnis ist, dass N selbst immer prim sein müsse. Für die Primzahlen 2, 3 und 5 ergibt sich zwar die Primzahl 31. Aber 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30.031 = 59 · 509 ist keine Primzahl; die neuen Primzahlen sind hier 59 und 509. Bemerkenswert ist auch die Formulierung: Euklid spricht nicht von einer unendlichen Menge, sondern davon, dass jede endliche Liste überboten werden kann.

Bausteine der Primfaktorzerlegung

Euklid beweist, dass jede zusammengesetzte Zahl einen Primteiler hat (VII.31) und dass eine Primzahl, die ein Produkt teilt, mindestens einen der Faktoren teilt (VII.30, heute „Lemma von Euklid“). Daraus folgt, dass sich jede natürliche Zahl größer als 1 in Primfaktoren zerlegen lässt und dass diese Zerlegung eindeutig ist, etwa 1.200 = 2⁴ · 3 · 5² oder 6.936 = 2³ · 3 · 17². Den vollständigen Fundamentalsatz der Arithmetik mit der Eindeutigkeit formulierte und bewies aber erst Carl Friedrich Gauß 1801 ausdrücklich. Euklid lieferte die entscheidenden Bausteine.

Vollkommene Zahlen

Der letzte Satz des neunten Buches (IX.36) zeigt, wie man vollkommene Zahlen erzeugt, also Zahlen, die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind: Ist 2ⁿ − 1 eine Primzahl, so ist

vollkommen. Für n = 2, 3, 5 und 7 entstehen 6, 28, 496 und 8.128; für n = 4 dagegen ist 2⁴ − 1 = 15 keine Primzahl, und 120 ist nicht vollkommen. Euklid selbst nennt keine Beispiele; die ersten vier vollkommenen Zahlen zählt erst Nikomachos um 100 n. Chr. auf. Rund 2.000 Jahre später bewies Leonhard Euler, dass jede gerade vollkommene Zahl diese Form hat. Ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute ungeklärt.

Das Parallelenpostulat und die nichteuklidische Geometrie

Das fünfte Postulat fällt aus der Reihe: Es ist viel länger als die anderen und spricht über das Verhalten von Geraden im Unendlichen. Euklid selbst scheint es so lange wie möglich vermieden zu haben; er benutzt es erst ab Satz I.29. Heute formuliert man es meist gleichwertig so: Zu einer Geraden gibt es durch einen Punkt außerhalb genau eine Parallele. Ebenfalls gleichwertig ist die Aussage, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt.

Über 2.000 Jahre versuchten Mathematiker, das Postulat aus den übrigen herzuleiten: in der Antike Ptolemäus und Proklos, in der islamischen Welt Ibn al-Haitham, Omar Chayyam und at-Tusi, in Europa Giovanni Saccheri (1733) und Johann Heinrich Lambert. Alle Versuche scheiterten oder setzten unbemerkt eine gleichwertige Annahme voraus. Saccheri und Lambert leiteten dabei schon Folgerungen aus der Annahme ab, das Postulat gelte nicht, ohne an einen Widerspruch zu gelangen.

Den Schritt, eine Geometrie ohne Parallelenpostulat als gleichberechtigt anzuerkennen, wagten unabhängig voneinander Nikolai Lobatschewski (1829) und János Bolyai (1832); Gauß war zu ähnlichen Ergebnissen gekommen, veröffentlichte sie aber nicht (Bolyai und Lobatschewski). 1854 entwarf Bernhard Riemann eine noch allgemeinere Geometrie gekrümmter Räume. Damit war klar: Das Parallelenpostulat ist unabhängig von den anderen Grundannahmen, und Euklids Zurückhaltung war berechtigt.

Weitere Schriften Euklids

Neben den Elementen sind mehrere Werke erhalten:

• Data („Das Gegebene“): Sätze darüber, welche Größen bestimmt sind, wenn andere gegeben sind; eine Hilfe für die Analyse geometrischer Aufgaben.
• Optik: eine Geometrie des Sehens, die mit geradlinigen Sehstrahlen arbeitet und zum Beispiel erklärt, warum gleich große Gegenstände in größerer Entfernung kleiner erscheinen.
• Phainomena: sphärische Astronomie, also die Geometrie der scheinbaren Bewegung der Himmelskugel.
• Über die Teilung der Figuren: Aufgaben zur Zerlegung von Figuren in Teile mit vorgegebenem Flächenverhältnis, vor allem in arabischer Überlieferung erhalten.

Unsicher ist die Echtheit einer Katoptrik über Spiegelungen und einer kleinen musiktheoretischen Schrift, der Teilung des Kanons. Verloren sind unter anderem vier Bücher über Kegelschnitte, auf denen Apollonios aufbaute, drei Bücher Porismen und eine Sammlung typischer Trugschlüsse, die Pseudaria.

Überlieferung: Vom Papyrus zum gedruckten Lehrbuch

Euklids eigenes Manuskript ist nicht erhalten. Aus der Antike sind nur Bruchstücke überliefert, etwa Tonscherben mit Notizen zum Stoff des 13. Buches aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. Besonders bekannt ist ein Papyrusfragment aus der ägyptischen Stadt Oxyrhynchus aus der Zeit um 75–125 n. Chr. Es enthält den Wortlaut von Satz II.5 mit einer Zeichnung, aber ohne Beweis, und stammt wohl aus dem Unterricht.

Im 4. Jahrhundert n. Chr. gab Theon von Alexandria, der Vater der Mathematikerin Hypatia, eine überarbeitete Fassung heraus, auf die fast alle griechischen Handschriften zurückgehen. Erst 1808 erkannte François Peyrard, dass die vatikanische Handschrift Vat. gr. 190 eine ältere, von Theon unabhängige Fassung bewahrt. Die maßgebliche kritische Ausgabe des griechischen Textes legte Johan Ludvig Heiberg 1883–1888 vor.

Um 800 übersetzte al-Haddschadsch ibn Yusuf die Elemente in Bagdad ins Arabische; weitere Übersetzungen und Bearbeitungen folgten, darunter eine von Thabit ibn Qurra. Über das Arabische gelangte das Werk zurück nach Europa: Adelard von Bath übertrug es um 1120 ins Lateinische, Campanus von Novara schuf um 1260 eine weit verbreitete Bearbeitung. Diese erschien 1482 in Venedig als erste gedruckte Ausgabe mit Figuren. Es folgten Hunderte weiterer Ausgaben in vielen Sprachen; die Elemente gelten als eines der am häufigsten gedruckten Bücher überhaupt.

Zeitleiste: Euklid und die Elemente

1. 331 v. Chr. Alexander der Große gründet Alexandria.
2. um 300 v. Chr. Euklid wirkt unter Ptolemaios I. in Alexandria und verfasst die Elemente.
3. um 75–125 n. Chr. Papyrus Oxyrhynchus 29: eines der ältesten erhaltenen Fragmente der Elemente.
4. 4. Jh. n. Chr. Theon von Alexandria gibt eine überarbeitete Fassung heraus.
5. 5. Jh. n. Chr. Proklos schreibt seinen Kommentar zum ersten Buch, die Hauptquelle über Euklid.
6. um 800 Erste arabische Übersetzung in Bagdad durch al-Haddschadsch ibn Yusuf.
7. um 1120 Adelard von Bath übersetzt die Elemente aus dem Arabischen ins Lateinische.
8. 1482 Erste gedruckte Ausgabe in Venedig.
9. 1829/1832 Lobatschewski und Bolyai veröffentlichen nichteuklidische Geometrien.
10. 1899 David Hilbert legt mit den Grundlagen der Geometrie ein lückenloses Axiomensystem vor.

Bedeutung heute: Wo uns Euklid begegnet

Die Schulgeometrie ist bis heute im Kern euklidisch: Kongruenzsätze, Winkelsätze, Kreissätze, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und der Satz des Pythagoras stammen aus den Elementen. Bis ins 20. Jahrhundert lernten Schüler in England und anderswo direkt nach Euklids Text. Wer heute im Lernbereich Geometrie übt, bewegt sich in seiner Tradition.

Noch weiter reicht die Methode. Moderne Gebiete der Mathematik werden axiomatisch aufgebaut: Man legt Grundannahmen fest und leitet alles Weitere logisch daraus ab. Der euklidische Algorithmus arbeitet in jedem Computeralgebrasystem und in der Verschlüsselung; beim RSA-Verfahren dient seine erweiterte Form zur Berechnung von Schlüsseln. In Physik, Informatik und Datenanalyse spricht man vom euklidischen Raum und vom euklidischen Abstand, wenn die Regeln der gewohnten Geometrie gelten.

Gerade die Grenzen von Euklids System erwiesen sich als fruchtbar. Die nichteuklidischen Geometrien des 19. Jahrhunderts wurden zur mathematischen Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, in der Massen die Raumzeit krümmen. Satellitennavigation muss diese Effekte berücksichtigen, um genau zu funktionieren.

Häufige Fragen

Wann lebte Euklid?

Euklid wirkte um 300 v. Chr. in Alexandria, zur Zeit von König Ptolemaios I. Genaue Geburts- und Sterbedaten sind nicht überliefert.

Was steht in Euklids Elementen?

Die 13 Bücher behandeln ebene Geometrie, geometrische Algebra, Kreise, regelmäßige Vielecke, Proportionen, Ähnlichkeit, Zahlentheorie, irrationale Größen und Raumgeometrie bis zu den fünf Platonischen Körpern. Insgesamt sind es 465 Sätze und Konstruktionsaufgaben.

Was ist das Parallelenpostulat?

Es ist die fünfte Grundforderung Euklids. In heutiger Fassung besagt es, dass es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden genau eine Parallele zu dieser Geraden gibt. Weil es sich nicht aus den übrigen Postulaten beweisen lässt, sind auch Geometrien ohne dieses Postulat möglich.

Hat Euklid den Satz des Pythagoras entdeckt?

Nein. Der Satz war schon in Babylon bekannt. Euklids Elemente enthalten aber den ältesten erhaltenen Beweis (Satz I.47).

Quellen und weiterführende Literatur

• Euklid: Die Elemente. Bücher I–XIII. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften (zuerst 1933–1937), Neuausgabe Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main.
• Thomas L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, Cambridge University Press, Cambridge 1908.
• Benno Artmann: Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, New York 1999.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Euclid of Alexandria (englisch)