Mathematik lernen · Klasse 5–10 und Studienvorbereitung
Elementare Mathematik
Wiederhole auf einer Seite, was du vor Ausbildung und Studium sicher können solltest: Zahlen, Terme, Gleichungen, Funktionen und Geometrie. Mit Selbsttest und Lösungen.
Elementare Mathematik nennt man den Stoff, den du in der Schule etwa bis zur 10. Klasse lernst und auf dem fast jedes Studium mit Mathematikanteil aufbaut. Dazu gehören Zahlen und Bruchrechnung, Terme und Gleichungen, Funktionen und die Geometrie von Flächen und Körpern. Auf dieser Seite wiederholst du alles in kompakter Form und prüfst am Ende mit einem Selbsttest, wo noch Lücken sind.
Sie ist ein Überblick, kein Ersatz für die ausführlichen Lernseiten. Wo ein Thema mehr Zeit verdient, führt dich ein Link zur passenden Unterseite.
Zahlbereiche: von natürlichen bis zu reellen Zahlen
Die natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, 3, …} dienen zum Zählen. Nimmst du die Null und die negativen Zahlen dazu, erhältst du die ganzen Zahlen ℤ. Brüche wie 3/4 gehören zu den rationalen Zahlen ℚ. Alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl zusammen heißen reelle Zahlen ℝ. Jeder Bereich enthält den vorherigen, wie die Ringe im Bild zeigen.
Weitere Grundlagen findest du auf den Seiten Zahlen und ihre Eigenschaften, Ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen, Potenzen und Prozentrechnung.
Terme umformen und vereinfachen
Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Zahlen und Variablen, zum Beispiel 3(x + 4) − 2(x − 1). Du darfst ihn umformen, solange sein Wert gleich bleibt. Dabei helfen das Distributivgesetz und das Zusammenfassen gleichartiger Glieder. Mehr Übung findest du unter Terme vereinfachen und Ausmultiplizieren von Klammern.
Drei Formeln solltest du auswendig kennen, die binomischen Formeln:
Zum Beispiel ist (x + 3)² = x² + 6x + 9. Mehr zu diesen Rechnungen steht bei den Binomen, den Trinomen und den Polynomen.
Gleichungen lösen
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Du darfst auf beiden Seiten dasselbe tun (Eigenschaften der Gleichheit), bis x allein steht. Bei 3x − 7 = 11 addierst du 7 und erhältst 3x = 18, dann teilst du durch 3 und erhältst x = 6. Die Probe lautet 3 · 6 − 7 = 11. Weitere Verfahren erklärt die Seite Gleichungen lösen.
Hast du zwei Unbekannte, brauchst du zwei Gleichungen (Lineare Gleichungssysteme). Aus x + y = 10 und x − y = 2 folgt durch Addieren 2x = 12, also x = 6 und y = 4. Bei Ungleichungen gilt eine Sonderregel: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Zeichen um. Aus −2x > 6 wird x < −3.
Kommt x² vor, hilft die Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0:
Quadratische Gleichungen löste schon al-Chwarizmi im frühen 9. Jahrhundert mit einer geometrischen Methode, die heute quadratische Ergänzung heißt. Er arbeitete nur mit positiven Zahlen.
Funktionen: Zusammenhänge darstellen
Eine Funktion ordnet jeder Zahl x genau eine Zahl y zu, geschrieben y = f(x). Die lineare Funktion f(x) = mx + b hat als Graph eine Gerade mit der Steigung m. Quadratische Funktionen wie f(x) = x² − 2x − 3 haben eine Parabel als Graph. Eine Nullstelle ist ein x-Wert mit f(x) = 0, also ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse.
Die Nullstellen der Parabel im Bild sind genau die Lösungen der Gleichung aus dem Beispiel: x₁ = −1 und x₂ = 3. Funktionen, Definitionsbereich und Umkehrfunktion behandelt die Seite Funktionen. Dazu kommen Potenzfunktionen (Potenzen) und Exponentialfunktionen, deren Umkehrung die Logarithmen sind.
Geometrie: Flächen, Körper und der Satz des Pythagoras
In der Geometrie berechnest du Längen, Flächen und Volumen. Die wichtigsten Formeln stehen in dieser Tabelle:
| Figur | Größe | Formel |
|---|---|---|
| Rechteck | Flächeninhalt | A = a · b |
| Dreieck | Flächeninhalt | A = ½ · g · h |
| Kreis | Fläche und Umfang | A = π · r², U = 2 · π · r |
| Quader | Volumen | V = a · b · c |
| Zylinder | Volumen | V = π · r² · h |
| Kugel | Volumen | V = (4/3) · π · r³ |
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Der Satz war in Babylon schon mehr als tausend Jahre vor Pythagoras bekannt.
Die Verbindung von Winkeln und Seitenlängen untersucht die Trigonometrie. Das geometrische Wissen ordnete Euklid in ein logisches System, Archimedes bestimmte Volumen und Oberfläche der Kugel und näherte π an.
Selbsttest mit Lösungen
Rechne die Aufgaben zuerst ohne Taschenrechner und mit Stift und Papier. Erst danach klappst du die Lösungen auf.
Hast du mindestens neun der elf Aufgaben richtig, bist du gut vorbereitet. Bei sechs bis acht richtigen Lösungen lohnt eine gezielte Wiederholung der Themen mit Fehlern. Bei weniger als sechs gehst du am besten den Lernpfad der Seite Mathematik lernen in Ruhe durch.
Wie es weitergeht: die Unterseiten
- Zahlen und Rechnen: Arithmetik, Zahlen, Ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen, Potenzen, Prozentrechnung
- Algebra: Algebra, Terme vereinfachen, Gleichungen lösen, Quadratische Gleichungen, Lineare Gleichungssysteme, Funktionen, Logarithmen
- Geometrie und mehr: Geometrie, Trigonometrie, Vektoren, Analysis, Statistik
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