Indische Mathematik

Die indische Mathematik hat die Art, wie die ganze Welt schreibt und rechnet, geprägt wie kaum eine andere Tradition. Die zehn Ziffern 0 bis 9, die auf jedem Taschenrechner und in jedem Schulheft stehen, wurden in Indien entwickelt. Das Besondere ist weniger die Form der Zeichen als die Idee dahinter: Jede Ziffer bekommt je nach Stelle einen anderen Wert, und die Null hält leere Stellen frei. Dieses Stellenwertsystem gelangte über die islamische Welt nach Europa.

Doch die Tradition ist viel breiter. Vor knapp 3.000 Jahren legten Priester mit Schnüren rechte Winkel für ihre Feueraltäre aus. Gelehrte der Jaina-Religion dachten über riesige Zahlen und verschiedene Arten von Unendlichkeit nach. Ab dem 5. Jahrhundert schrieben Astronomen Lehrbücher in Versen, mit Sinustafeln, Regeln für negative Zahlen und Lösungswegen für schwierige Gleichungen. Im 14. Jahrhundert fand in Kerala Madhava unendliche Reihen für die Kreiszahl π. Dieser Artikel führt durch diese Zeit und trennt Belegtes von Legenden.

Quellenlage: Verse, Birkenrinde und viele offene Fragen

Die indische Mathematikgeschichte hat ein Problem: Es gibt auffallend wenige alte Originale. Man schrieb auf Palmblätter und Birkenrinde, die im feuchten Klima schnell verrotten, und deshalb sind meist nur Abschriften von Abschriften erhalten, oft viele Jahrhunderte jünger als der Text selbst. Dazu kommt der Stil: Wissen wurde in knappen Sanskrit-Versen (sutra, „Faden“, „Leitsatz“) festgehalten, die man auswendig lernte. Erklärungen und Beweise lieferten Lehrer mündlich, später Kommentatoren. Deshalb sind Datierungen selten sicher, und in diesem Artikel steht oft „um“ oder „vermutlich“.

Älter als alle Texte sind die Funde der Indus-Kultur (ca. 2600 bis 1900 v. Chr.): Ziegel im festen Verhältnis 4 : 2 : 1, einheitlich abgestufte Gewichtssteine und ein Messstab aus Mohenjo-daro mit Zehnerteilung. Ihre Schrift ist jedoch nicht entziffert, und was die Menschen rechneten, wissen wir nicht. Zeitgleich gingen die Babylonier und die Chinesen eigene Wege.

Vedische Zahlen: Namen für Zehnerpotenzen

Die frühesten indischen Texte sind die Veden, Sammlungen von Hymnen und Opferformeln, die etwa zwischen 1500 und 600 v. Chr. entstanden und lange nur mündlich weitergegeben wurden. Die Yajurveda-Samhita (um 1200 bis 900 v. Chr.) nennt eigene Namen für die Zehnerpotenzen bis 10¹²: śata (hundert), sahasra (tausend), ayuta (10⁴), niyuta (10⁵) und so weiter bis parārdha (10¹²). Im Deutschen heißt 10¹² eine Billion. Auch die Zahlwörter selbst sind dezimal gebaut, ähnlich wie „dreißig“ eigentlich „drei Zehner“ bedeutet. Damit war ein Dezimalsystem gedanklich vorbereitet, lange bevor man es aufschrieb.

Noch größere Zahlen kennt der Lalitavistara, ein buddhistischer Sanskrit-Text aus den ersten Jahrhunderten n. Chr.: Der junge Siddhartha, der spätere Buddha, übertrifft darin einen Mathematiklehrer, indem er ein Zählsystem bis 10⁵³ aufsagt.

Shulbasutras: Altarbau mit Schnur und Pflock

Die Shulbasutras („Regeln der Schnur“) sind Anhänge zu den vedischen Ritualtexten und zählen zu den ältesten geometrischen Schriften der Welt. Sie erklären, wie man Altäre aus Ziegeln baut, deren Form und Fläche genau vorgeschrieben waren, etwa den Feueraltar in Gestalt eines Falken. Als Autoren nennt die Überlieferung Baudhayana (um 800 v. Chr.), Manava, Apastamba und Katyayana. Wann die Texte entstanden, ist unsicher; üblich ist ein Zeitraum von etwa 800 bis 200 v. Chr., wobei die Regeln selbst älter sein dürften.

Die Bauleute arbeiteten mit Schnüren und Pflöcken. Um einen rechten Winkel zu erhalten, spannten sie Schnüre im Verhältnis 3 : 4 : 5. Baudhayana formuliert die allgemeine Regel in Worten: Die Schnur über der Diagonale eines Rechtecks erzeugt beide Flächen, die Länge und Breite einzeln erzeugen. Das ist der Satz, der in Europa den Namen des Pythagoras trägt. Dazu nennt der Text ganzzahlige Beispiele, sogenannte pythagoreische Tripel: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) und (12, 35, 37).

Eine häufige Aufgabe lautete: Verdopple die Fläche eines Quadrats. Die Lösung ist ein Quadrat über der Diagonale des alten, dessen Seite √2 mal so lang ist. Die Shulbasutras brauchten also einen guten Wert für √2, und sie fanden einen erstaunlich genauen.

Jaina-Mathematik: riesige Zahlen und fünf Arten von Unendlich

Die Jainas, deren Religion meist ins 6. Jahrhundert v. Chr. datiert wird, stellten sich Welt und Zeit als unermesslich groß vor. In ihren Schriften, die ungefähr zwischen dem 4. Jahrhundert v. Chr. und dem 2. Jahrhundert n. Chr. entstanden, etwa dem Bhagavati-Sutra und dem Anuyogadvara-Sutra, ordnen sie Zahlen in drei Gruppen: zählbare, unzählbare und unendliche. Sie unterschieden sogar fünf Arten des Unendlichen: in einer Richtung, in zwei Richtungen, in der Fläche, überall und ewig dauernd. Mit der Mengenlehre von Georg Cantor im 19. Jahrhundert hat das keine direkte Verbindung. Es zeigt aber, dass man das Unendliche schon damals nüchtern ordnete, statt es nur zu bestaunen. Auch Regeln der Kombinatorik, also wie viele Möglichkeiten es gibt, einige Dinge aus einer Gruppe auszuwählen, stehen im Bhagavati-Sutra.

Pingala und die Mathematik der Verse

Aus der Dichtung kam eine weitere Idee. Pingala (etwa 3. bis 2. Jahrhundert v. Chr.) untersuchte in seiner Verslehre Chandahshastra, wie viele Muster aus kurzen und langen Silben möglich sind. Das ist das Zählen von Folgen mit zwei Zeichen: Bei n Silben gibt es 2ⁿ Möglichkeiten, ganz ähnlich wie bei den Nullen und Einsen eines Computers. Im 10. Jahrhundert beschrieb der Kommentator Halayudha eine dreieckige Zahlenanordnung, die „Treppe des Berges Meru“. Sie entspricht dem Pascalschen Dreieck, das in Europa erst fast 700 Jahre später durch Blaise Pascal bekannt wurde.

Zahlzeichen, Stellenwert und die Null

Von den Brahmi-Zeichen zu den Ziffern

Die ältesten indischen Zahlzeichen stehen in den Inschriften des Kaisers Ashoka (um 250 v. Chr.). Diese Brahmi-Ziffern haben eigene Zeichen für 1 bis 9, für die Zehner und für Hundert und Tausend. Ein Stellenwertsystem war das noch nicht, denn 80 schrieb man mit einem eigenen Zeichen, nicht als „8 an der Zehnerstelle“. Die Formen wandelten sich über die Jahrhunderte und von Region zu Region stark.

Das Stellenwertsystem

Der entscheidende Schritt kam in den ersten Jahrhunderten n. Chr., wann genau, ist unklar: Man schrieb Zahlen nach dem Stellenwert, mit zehn Ziffern, die je nach Position Einer, Zehner, Hunderter und so weiter bedeuten. Zuerst geschah das in Zahlwörtern. Dichter und Astronomen bezeichneten Ziffern durch Dinge, die eine feste Zahl haben: „Mond“ stand für 1, „Auge“ für 2, „Veda“ für 4 (es gibt vier Veden), „Himmel“ für 0. Dabei nannte man meist die Einerstelle zuerst. So ließen sich auch große Zahlen in einen Vers pressen.

Der Jaina-Text Lokavibhaga nennt ein Datum, das dem Jahr 458 entspricht, und verwendet solche Zahlwörter im Stellenwertsystem, auch mit „leer“ (śūnya) für eine freie Stelle. Er ist allerdings nur in einer späteren Fassung erhalten. Aryabhata rechnete um 499 selbstverständlich mit Stellenwerten, und Bhaskara I schrieb 629 Zahlen mit Ziffern in diesem System, mit einem kleinen Kreis für die Null.

Die Null: vom Platzhalter zur Zahl

Wichtig ist ein Unterschied. Ein Platzhalter zeigt nur, dass an einer Stelle nichts steht, damit man 205 von 25 unterscheiden kann. Solche Zeichen kannten schon die Babylonier und die Maya. Eine Zahl ist dagegen etwas, mit dem man rechnet. Dass die Null beides sein kann, Ziffer im Stellenwertsystem und Rechenzahl, wurde in Indien erreicht. Das Sanskrit-Wort śūnya („leer“) wurde auf Arabisch zu sifr, auf Latein zu zephirum, und daraus entstanden die Wörter „Ziffer“ und „Zero“.

Die älteste erhaltene Inschrift mit einer Null in Stellenwertschreibung stammt sogar aus dem indisch geprägten Südostasien: Eine Steininschrift aus Sambor am Mekong in Kambodscha, datiert auf das Jahr 605 der Saka-Zeitrechnung (um 683 n. Chr.), schreibt die Null als Punkt. In Indien selbst ist die älteste Inschrift mit einer Null als kleinem Kreis die von 876 im Chaturbhuj-Tempel der Festung Gwalior. Sie hält die Stiftung eines Gartens für den Tempel fest und nennt die Zahlen 270 und 50, in denen jeweils eine Null als Kreis steht (nach gängiger Lesung Maße des Gartens und tägliche Blumengirlanden).

Das Bakhshali-Manuskript: ein Rätsel aus Birkenrinde

1881 stieß ein Bauer bei dem Dorf Bakhshali im heutigen Pakistan, nahe der Stadt Mardan, auf Reste einer Handschrift. Heute liegen sie in der Bodleian Library in Oxford. Erhalten sind etwa 70 zerbrechliche Fragmente aus Birkenrinde, in Sanskrit und Sharada-Schrift beschrieben. Das Buch sammelt Regeln mit Beispielaufgaben: Brüche, Folgen, Dreisatz, lineare und quadratische Gleichungen, Reiseaufgaben und ein Näherungsverfahren für Quadratwurzeln. Die Null erscheint als dicker Punkt, der leere Stellen markiert.

Wann das Werk entstand, ist umstritten. Der erste Herausgeber Rudolf Hoernle dachte im 19. Jahrhundert an das 3. oder 4. Jahrhundert, andere Fachleute an das 7. bis 12. Jahrhundert. 2017 ließ die Universität Oxford drei Blätter mit der Radiokarbonmethode datieren und erhielt sehr unterschiedliche Zeiträume: 224 bis 383, 680 bis 779 und 885 bis 993 n. Chr. Die Presse meldete die „älteste Null der Welt“. Fachleute widersprachen: Die Blätter stammen offenbar aus verschiedenen Jahrhunderten, das Alter eines einzelnen Blattes sagt also wenig über das Alter des Textes, und ein Punkt als Platzhalter ist noch keine Zahl Null. Eine neue Messreihe der Oxforder Arbeitsgruppe, im Oktober 2024 in einem Bericht veröffentlicht, rückte die Datierung näher an die Einschätzung vieler Fachleute: Die untersuchten Blätter stammen demnach aus der Zeit zwischen etwa 800 und 1100 n. Chr. Beendet ist die Debatte damit nicht, aber sie mahnt zur Vorsicht bei Schlagzeilen über „die älteste Null“.

Aryabhata und die Trigonometrie

Motor der klassischen indischen Mathematik war die Astronomie. Um die Positionen von Sonne, Mond und Planeten zu berechnen, brauchte man Winkelfunktionen. Die Griechen hatten Sehnentafeln benutzt, etwa Ptolemäus. Indische Astronomen halbierten die Sehne und erhielten so den Sinus, mit dem sich rechtwinklige Dreiecke bequemer rechnen lassen. Das Wort jyā („Sehne“) wurde auf Arabisch zu jība, versehentlich als jaib („Tasche“, „Busen“) gelesen und auf Latein mit sinus übersetzt.

Aryabhata wurde 476 geboren und wirkte in Kusumapura, dem heutigen Patna. Nach eigener Angabe war er 23 Jahre alt, als er 499 sein Lehrbuch Aryabhatiya verfasste. Es umfasst 121 Verse in vier Abschnitten; 33 davon behandeln Mathematik: Flächen und Volumen, Folgen, Wurzelziehen und ein Verfahren für lineare Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen, den kuṭṭaka („Pulverisierer“). Für die Kreiszahl gibt er 62.832 : 20.000 = 3,1416 an und nennt den Wert āsanna, „nahekommend“.

Seine Sinustafel enthält 24 Werte in Schritten von 3¾ Grad, mit dem Radius 3.438 Einheiten. Dann hat der Kreisumfang genau 21.600 Bogenminuten (360 · 60). Statt der Sinuswerte gibt Aryabhata die Zuwächse an: 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205, 199 und so weiter. Die ersten acht ergeben zusammen 1.719, genau die Hälfte von 3.438 und damit der Sinus von 30°. Außerdem lehrte er, dass sich die Erde täglich um ihre Achse dreht, was später Brahmagupta scharf bestritt.

Bhaskara I und Brahmagupta

Bhaskara I (ca. 600 bis 680) schrieb 629 einen Kommentar zum Aryabhatiya und später das Mahabhaskariya. Berühmt ist seine Näherungsformel für den Sinus, die ganz ohne Tafel auskommt. In Grad geschrieben lautet sie:

Für x = 30 ergibt sich 4 · 30 · 150 = 18.000 im Zähler und 40.500 − 4.500 = 36.000 im Nenner, also genau ½. Für 45° liefert die Formel 0,7059 statt 0,7071. Der Fehler bleibt unter 2 Prozent; bei 0°, 30° und 90° ist die Formel exakt.

Brahmagupta (598 bis nach 665) aus Bhillamala in Rajasthan verfasste 628 das Brahmasphutasiddhanta. In zwei mathematischen Kapiteln stehen die ersten ausführlichen Regeln für das Rechnen mit Null, positiven „Vermögen“ und negativen „Schulden“, eine Lösungsregel für quadratische Gleichungen, die Flächenformel für Vierecke im Kreis und die Bhavana-Methode zur Gleichung x² − Ny² = 1, die in Europa fälschlich Pell-Gleichung heißt. Alle Regeln stehen auf seiner eigenen Seite; das Rechnen mit Vorzeichen erklärt die Lernseite zu negativen Zahlen. Im 9. Jahrhundert schrieb Mahavira in Südindien das Ganita-sara-sangraha, das als erstes erhaltenes Lehrbuch Indiens gilt, das nur Mathematik behandelt.

Bhaskara II: Lilavati und Chakravala-Methode

Bhaskara II (1114 bis 1185) gilt als Höhepunkt der klassischen indischen Mathematik. Nach eigener Angabe verfasste er 1150 mit 36 Jahren sein Hauptwerk, das Siddhanta Shiromani („Krone der Lehrsysteme“) mit vier Teilen: der Lilavati (Arithmetik und Geometrie), der Bijaganita (Algebra), der Grahaganita (Planetenrechnung) und dem Goladhyaya (Himmelskugel). Er wirkte als Astronom in Ujjain, dem Zentrum der indischen Himmelskunde. Die Lilavati stellt ihre Aufgaben als kleine Gedichte. Der Legende nach benannte Bhaskara das Buch nach seiner Tochter; das ist erst im 16. Jahrhundert in einer persischen Übersetzung belegt und nicht gesichert.

In der Algebra führte Bhaskara die Gedanken Brahmaguptas weiter. Er löste quadratische Gleichungen, ließ negative und irrationale Lösungen zu (negative Ergebnisse sah er meist als unbrauchbar an) und verfeinerte die Lösung von x² − Ny² = 1 zur Chakravala-Methode („Kreismethode“), die in einem zyklischen Verfahren stets zum Ziel führt. Damit löste er den berüchtigten Fall N = 61, dessen kleinste Lösung x = 1.766.319.049 und y = 226.153.980 lautet. Dieselbe Aufgabe stellte Pierre de Fermat 1657 seinen europäischen Kollegen.

Auch die Division durch Null griff Bhaskara auf. Er nannte den Bruch mit Null im Nenner eine „unendliche Größe“ (khahara), die sich nicht ändert, wenn man etwas hinzufügt oder wegnimmt. Heute gilt die Division durch Null als nicht definiert, doch dass er das Problem klar benannte, bleibt bemerkenswert. In der Himmelsmechanik rechnete er außerdem mit der „momentanen Bewegung“ eines Planeten. Das erinnert an die Ableitung, ist aber kein Kalkül im Sinne von Newton und Leibniz.

Die Kerala-Schule: Madhava und unendliche Reihen

Im Süden Indiens entstand nach Bhaskara II eine neue Blüte. In Kerala begründete Madhava von Sangamagrama (ca. 1340 bis 1425) eine Schule der Astronomie und Mathematik, die bis ins 16. Jahrhundert Bestand hatte. Zu ihr gehörten Parameshvara, Nilakantha Somayaji (1444 bis 1544) und Jyeshthadeva, der um 1530 in der Yuktibhasha die Ergebnisse mit Begründungen aufschrieb, in der Landessprache Malayalam. Madhavas eigene mathematische Schriften sind verloren, seine Ergebnisse kennen wir aus den Werken der Nachfolger. Er fand unendliche Reihen für π, Sinus und Kosinus, darunter:

Weil diese Reihe sehr langsam konvergiert, entwickelte Madhava Korrekturterme und eine schnellere Variante. So bestimmte er π auf elf Nachkommastellen. In Europa fanden James Gregory, Newton und Leibniz dieselben Reihen im 17. Jahrhundert, rund 250 Jahre später.

Der Weg der Ziffern: von Indien nach Europa

Die Ziffern legten in rund 600 Jahren eine weite Reise zurück:

1. Um 662, Syrien: Der Bischof Severus Sebokht erwähnt in einem Brief die Inder, die „mit neun Zeichen“ rechnen, der älteste bekannte Hinweis im Mittelmeerraum.
2. Um 770, Bagdad: Der Überlieferung nach bringt eine indische Gesandtschaft ein astronomisches Lehrbuch an den Hof des Kalifen al-Mansur, das auf Brahmaguptas Werk beruht und ins Arabische übersetzt wird.
3. Um 825, Bagdad: al-Chwarizmi schreibt ein Lehrbuch über das Rechnen mit indischen Ziffern. Die lateinische Bearbeitung beginnt mit „Dixit Algorizmi“ („Algorizmi sprach“), daher das Wort „Algorithmus“.
4. 952/953, Damaskus: Al-Uqlidisi schreibt das älteste erhaltene arabische Buch über diese Rechenkunst. In Nordafrika und Spanien entsteht eine Ziffernform, die den europäischen Zeichen schon sehr nahekommt.
5. 976, Nordspanien: Im Codex Vigilanus stehen die ersten Ziffern in einer christlichen Handschrift.
6. 1202, Pisa: Leonardo von Pisa, der als Kaufmannssohn in Nordafrika rechnen gelernt hatte, beginnt sein Liber Abaci mit den „neun Figuren der Inder“ und dem Zeichen 0, das auf Arabisch zephirum heiße.

Die Durchsetzung dauerte lange. Rechner, die mit Ziffern auf Papier arbeiteten (Algoristen), stritten jahrhundertelang mit denen, die auf dem Rechenbrett rechneten (Abazisten). Die Zunft der Geldwechsler in Florenz verbot 1299 die neuen Ziffern in Geschäftsbüchern; was genau untersagt war, ist unter Fachleuten umstritten. Erst im 16. Jahrhundert machten deutsche Rechenbücher wie die von Adam Ries das Ziffernrechnen allgemein bekannt. Weil die Europäer die Ziffern von arabischen Lehrern übernahmen, nannten sie sie „arabisch“. Genauer ist „indisch-arabische Ziffern“. Den weiteren Weg schildern die Artikel zur Mathematik der islamischen Welt und zur mittelalterlichen europäischen Mathematik.

Wichtige Persönlichkeiten der indischen Mathematik

• Baudhayana (um 800 v. Chr.): Shulbasutras mit Altarbau und rechten Winkeln.
• Pingala (ca. 3. bis 2. Jh. v. Chr.): Verslehre mit binären Mustern.
• Aryabhata (476 bis 550): Aryabhatiya, Sinustafel, π ≈ 3,1416.
• Bhaskara I (ca. 600 bis 680): Sinusformel, Zahlen mit Null als Kreis.
• Brahmagupta (598 bis nach 665): Regeln für Null und negative Zahlen.
• Bhaskara II (1114 bis 1185): Lilavati, Bijaganita, Chakravala-Methode.
• Madhava (ca. 1340 bis 1425): unendliche Reihen für π, Sinus und Kosinus.

Zeitleiste der indischen Mathematik

1. um 1200 bis 900 v. Chr. Die Yajurveda-Samhita nennt Namen für Zehnerpotenzen bis 10¹².
2. um 800 bis 200 v. Chr. Die Shulbasutras beschreiben rechte Winkel und die Näherung für √2.
3. 3. Jh. v. Chr. bis 2. Jh. n. Chr. Jaina-Schriften zu Unendlichem; Pingalas Verslehre.
4. 499 Aryabhata vollendet das Aryabhatiya mit Sinustafel und π = 3,1416.
5. 628/629 Brahmagupta schreibt das Brahmasphutasiddhanta, Bhaskara I seinen Kommentar.
6. um 770 Ein indisches Lehrbuch wird in Bagdad ins Arabische übersetzt.
7. um 825 Al-Chwarizmi schreibt das Rechenbuch über die indischen Ziffern.
8. 876 Die Inschrift von Gwalior zeigt die Null als Kreis.
9. 976 Die ersten indisch-arabischen Ziffern in einer christlichen Handschrift.
10. 1150 Bhaskara II vollendet das Siddhanta Shiromani mit der Lilavati.
11. 1202 Leonardo von Pisa veröffentlicht das Liber Abaci.
12. um 1400 bis 1530 Kerala-Schule von Madhava bis zur Yuktibhasha.

Erbe und Einfluss der indischen Mathematik

Das größte Erbe sitzt in jedem Schulheft: unsere Ziffern, die Null als Zahl und der Stellenwert. Ohne sie wäre das schriftliche Rechnen, wie wir es kennen, nicht denkbar. Dazu kommen der Sinus, die Regeln für negative Zahlen, die Algebra mit Abkürzungen für Unbekannte und das Rechnen mit unendlichen Reihen. Vieles gelangte über die Mathematik der islamischen Welt nach Europa; die Reihen der Kerala-Schule wurden dort unabhängig noch einmal gefunden. Parallel dazu arbeitete die chinesische Mathematik mit Rechenstäbchen ebenfalls dezimal und mit Stellenwert. Bis heute bringt Indien bedeutende Mathematikerinnen und Mathematiker hervor; am bekanntesten ist Srinivasa Ramanujan, den die Seite Hardy und Ramanujan vorstellt.

Häufige Fragen

Wer hat die Null erfunden?

Niemand allein. Platzhalter kannten schon die Babylonier und die Maya. Die Null als Ziffer im Stellenwertsystem und als Zahl, mit der man rechnet, entstand in Indien. Die ersten ausführlichen Rechenregeln schrieb Brahmagupta 628 auf, die älteste Inschrift in Indien mit einer Null als Kreis stammt von 876 aus Gwalior.

Warum heißen unsere Ziffern arabisch, obwohl sie aus Indien stammen?

Weil die Europäer sie im Mittelalter von arabischsprachigen Gelehrten und Kaufleuten kennenlernten, vor allem über Spanien und Nordafrika. Entwickelt wurden die Ziffern in Indien. Genauer ist daher „indisch-arabische Ziffern“.

Wie alt ist das Bakhshali-Manuskript?

Das ist umstritten. Radiokarbonmessungen von 2017 ergaben für drei Blätter Zeiträume zwischen 224 und 993 n. Chr., eine neue Messreihe von 2024 etwa 800 bis 1100 n. Chr. Viele Fachleute halten eine Entstehung des Textes zwischen dem 8. und 12. Jahrhundert für wahrscheinlich.

Quellen und weiterführende Literatur

• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• George Gheverghese Joseph: The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, 3. Auflage, Princeton University Press, Princeton 2011.
• Takao Hayashi: The Bakhshālī Manuscript. An Ancient Indian Mathematical Treatise, Egbert Forsten, Groningen 1995.
• Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle, Dominik Wujastyk: The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library’s Radiocarbon Dating, History of Science in South Asia 5 (2017) (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: An overview of Indian mathematics (englisch)