Der Goldene Schnitt: was stimmt und was Mythos ist

Kaum eine Zahl hat so viele Fans wie der Goldene Schnitt, die Zahl φ ≈ 1,618. Sie soll der Schlüssel zur Schönheit sein, verborgen im Parthenon, in den Pyramiden, in der Mona Lisa, im Schneckenhaus und im Bauchnabel. Bücher, Designkurse und Videos wiederholen diese Behauptungen seit Jahrzehnten.

Die Mathematik dahinter ist echt und tatsächlich schön. Viele der berühmten Beispiele sind es nicht. Dieser Beitrag trennt beides: was sich nachrechnen lässt, was sich nicht belegen lässt, und wie der Mythos im 19. Jahrhundert entstand.

Was der Goldene Schnitt ist

Teilt man eine Strecke in einen längeren Teil a und einen kürzeren Teil b, und zwar so, dass (a + b) : a = a : b gilt, dann liegt der Teilungspunkt im Goldenen Schnitt. Bei einer Strecke von 100 cm sind die Teile etwa 61,8 cm und 38,2 cm lang. Das Verhältnis führt auf die quadratische Gleichung φ² = φ + 1 mit der positiven Lösung φ = (1 + √5) : 2 = 1,6180339…

Die Rechnung und eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal stehen auf der Lernseite unter Goldener Schnitt. Für diesen Beitrag reicht eine Eigenschaft: φ ist irrational, und zwar auf besonders hartnäckige Weise. Brüche aus kleinen Zahlen treffen φ schlechter als fast jede andere Zahl. Genau das wird bei den Pflanzen wichtig.

Was stimmt: drei echte Fundorte

Fünfeck und Pentagramm

Im regelmäßigen Fünfeck ist jede Diagonale genau φ-mal so lang wie eine Seite, und im Pentagramm teilen sich die Linien gegenseitig im Goldenen Schnitt. Das war schon den Griechen bekannt. Euklid beschrieb um 300 v. Chr. die Teilung „im äußeren und mittleren Verhältnis“ (Buch VI, Definition 3) und brauchte sie, um das regelmäßige Fünfeck zu konstruieren. Einer Legende nach stieß Hippasos von Metapont am Fünfeck auf Strecken, die sich durch kein gemeinsames Maß messen lassen. Belegt ist das nicht, mathematisch aber plausibel.

Fibonacci-Zahlen

Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 … entsteht, indem man immer die zwei letzten Zahlen addiert. Teilt man eine Zahl durch ihren Vorgänger, kommt man φ immer näher: 13 : 8 = 1,625, 34 : 21 ≈ 1,619, 89 : 55 ≈ 1,6182. Das bemerkte Johannes Kepler 1611. Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, kannte den Zusammenhang selbst noch nicht.

Sonnenblumen und Blattstellungen

Bei vielen Pflanzen wächst jedes neue Blatt, jeder Samen oder jede Schuppe um einen festen Winkel gedreht zum vorigen. Sehr oft liegt dieser Winkel nahe bei 137,5°. Das ist der goldene Winkel: Er teilt den Vollkreis im Goldenen Schnitt, denn 360° : 137,5° ≈ φ². Weil φ sich so schlecht durch Brüche annähern lässt, landet kein Samen genau über einem früheren, und die Fläche füllt sich lückenlos. Ein Winkel, der einem einfachen Bruch der Umdrehung entspricht, lässt dagegen leere Streifen.

Zählt man die Spiralen, die das Auge in einem solchen Muster sieht, findet man fast immer zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen, etwa 34 und 55. Mehr dazu, auch über die Ausnahmen, erzählt das Porträt von Fibonacci im Abschnitt Fibonacci-Zahlen in der Natur.

Was Mythos ist: Nachgemessen

Der Parthenon

Der Tempel auf der Athener Akropolis wurde von 447 bis 432 v. Chr. gebaut. Kein antiker Text verbindet ihn mit dem Goldenen Schnitt. Der Unterbau misst etwa 70 m × 31 m, das Verhältnis ist also rund 2,25 : 1. Wer ein goldenes Rechteck in die Vorderseite zeichnet, muss sich aussuchen, ob es die Stufen, das Dach oder den Giebel einschließt. Mit genug Wahlfreiheit findet man fast jedes Verhältnis.

Die Cheops-Pyramide

Hier ist der Zahlenzufall wirklich verblüffend: Seitenhöhe geteilt durch die halbe Grundseite ergibt etwa 1,619. Die Erklärung ist aber bodenständig. Die Ägypter gaben Neigungen als Seked an, also wie viele Handbreit man waagerecht zurückgeht, wenn man eine Elle (7 Handbreit) aufsteigt. Bei der Cheops-Pyramide sind es 5½ Handbreit. Aus genau dieser einfachen Bauvorgabe folgt das Verhältnis 1,619 von selbst. Wie die Ägypter mit dem Seked rechneten, zeigt die Seite Ägyptische Mathematik.

Die Mona Lisa und Leonardo

Das Bild ist etwa 77 cm × 53 cm groß, das Verhältnis beträgt rund 1,45. Goldene Rechtecke um das Gesicht lassen sich in jedes Porträt legen, weil niemand vorgibt, wo sie beginnen. Von Leonardo da Vinci gibt es keine Notiz, die den Goldenen Schnitt für ein Gemälde verlangt. Seine echte Verbindung zum Thema ist eine andere: Er zeichnete die Körpermodelle für das Buch De divina proportione seines Freundes Luca Pacioli, gedruckt 1509 in Venedig.

Das Nautilusgehäuse

Das Gehäuse des Perlboots ist eine logarithmische Spirale, das stimmt. Eine „goldene“ Spirale wird aber mit jeder Vierteldrehung φ-mal so weit, also pro voller Umdrehung etwa 6,9-mal. Ein Nautilus wächst pro Umdrehung ungefähr um den Faktor 3. Die beiden Spiralen sehen auf den ersten Blick ähnlich aus, nachgemessen passen sie nicht zusammen.

Körpermaße und Schönheit

Dass der Nabel die Körpergröße im Goldenen Schnitt teilt, behauptete 1854 Adolf Zeising. Messungen an echten Menschen streuen weit, und der Durchschnitt liegt nicht bei φ. Der Psychologe Gustav Theodor Fechner ließ 1876 Versuchspersonen das schönste aus einer Reihe von Rechtecken wählen. Viele entschieden sich für Rechtecke nahe am Goldenen Schnitt. Spätere Versuche zeigten aber, dass das Ergebnis stark davon abhängt, wie man fragt und welche Rechtecke man zeigt. Eine eindeutige Vorliebe ist bis heute nicht nachgewiesen.

Wie der Mythos entstand

Für die griechischen Mathematiker war die Teilung ein Werkzeug der Geometrie, kein Schönheitsrezept. Pacioli lobte sie 1509 aus theologischen Gründen als „göttlich“: Sie sei einzig, dreifach in ihren Teilen und lasse sich nicht durch Zahlen ausdrücken. Johannes Kepler stellte sie neben den Satz des Pythagoras und nannte beide die zwei großen Schätze der Geometrie.

Den Sprung zur Ästhetik machte Adolf Zeising mit seiner „Neuen Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers“ von 1854. Er erklärte den Goldenen Schnitt zum Grundgesetz von Natur und Kunst und fand ihn in Körpern, Pflanzen und Bauwerken. Seine Messungen waren großzügig, seine Wirkung gewaltig. Im 20. Jahrhundert baute der Architekt Le Corbusier sein Maßsystem „Modulor“ bewusst auf dem Goldenen Schnitt auf. Seitdem gibt es Gebäude, in denen er wirklich steckt, weil man ihn absichtlich hineingebaut hat.

Fazit

Der Goldene Schnitt ist eine der schönsten Zahlen der Geometrie, mit echten Spuren im Fünfeck, in der Fibonacci-Folge und im Wachstum der Pflanzen. Als geheimes Gesetz hinter Kunst und Architektur taugt er nicht. Wer ihn in einem Bild oder Bauwerk entdeckt, sollte fragen: Wo genau wurde gemessen, und hätte ein anderes Verhältnis nicht genauso gut gepasst?

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 1996.
• Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number, Broadway Books, New York 2002 (englisch).
• George Markowsky: Misconceptions about the Golden Ratio, The College Mathematics Journal 23 (1992), S. 2–19 (englisch).
• Wikipedia: Goldener Schnitt