Kreise und Kugeln in der analytischen Geometrie

Ein Kreis in der Ebene und eine Kugel im Raum haben dieselbe Beschreibung: Alle ihre Punkte haben vom Mittelpunkt denselben Abstand, den Radius. In der analytischen Geometrie wird daraus eine Gleichung, mit der du rechnen kannst. Du prüfst damit, ob ein Punkt auf, in oder außerhalb einer Kugel liegt, wo eine Gerade die Kugel trifft und welchen Kreis eine Ebene aus ihr herausschneidet.

Die Seite setzt voraus, dass du mit Vektoren und dem Betrag rechnen kannst, siehe Vektoren. Formeln für Umfang, Fläche und Volumen stehen bei Kreis und Kugel, Ellipse, Hyperbel und Parabel bei den Kegelschnitten. Hier geht es um die Gleichungen und um Lagebeziehungen.

Die Kreisgleichung

Ein Punkt $P(x|y)$ liegt auf dem Kreis um $M(m|n)$ mit dem Radius $r$, wenn sein Abstand zu $M$ genau $r$ beträgt. Den Abstand liefert der Satz des Pythagoras, wie bei den Abständen zweier Punkte: In $x$-Richtung unterscheiden sich die Punkte um $x-m$, in $y$-Richtung um $y-n$. Der Abstand ist also $\sqrt{{(x-m)}^2+{(y-n)}^2}$. Setzt du ihn gleich $r$ und quadrierst, erhältst du die Kreisgleichung.

Die Kugelgleichung

Im Raum kommt eine dritte Koordinate hinzu. Der Abstand von $P(x|y|z)$ zu $M(m_1|m_2|m_3)$ ist die Länge des Vektors $\overrightarrow{MP}$, siehe Betrag eines Vektors. Pythagoras wird zweimal angewendet, das ergibt die Kugelgleichung.

Mittelpunkt und Radius ablesen

Steht die Gleichung in der Form von oben, liest du Mittelpunkt und Radius direkt ab. Achte auf die Vorzeichen: Aus ${(y+2)}^2$ folgt $m_2=-2$. Oft ist die Gleichung aber ausmultipliziert, zum Beispiel $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$. Dann hilft die quadratische Ergänzung, dieselbe Methode wie bei den verschobenen Kegelschnitten:

1. Sortiere die Terme nach $x$, $y$ und $z$. Die Faktoren vor $x^2$, $y^2$ und $z^2$ müssen 1 sein, sonst teilst du die Gleichung zuerst durch diese Zahl.
2. Ergänze jede Gruppe zu einem vollständigen Quadrat, zum Beispiel $x^2-2x={(x-1)}^2-1$.
3. Bringe alle Zahlen auf die rechte Seite.
4. Lies $M$ und $r^2$ ab.

Es gibt eine fertige Formel. Für $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ ist $M\left(-\frac{a}{2}\right|-\frac{b}{2}\left|-\frac{c}{2}\right)$ und

Im Beispiel ist $a=-2$, $b=4$, $c=-6$, $d=-11$, also $r^2=\frac{4+16+36}{4}+11=25$. Der Wert von $r^2$ entscheidet, ob es überhaupt eine Kugel gibt:

So hat $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+20=0$ den Wert $r^2=14-20=-6$. Es gibt keinen Punkt, der diese Gleichung erfüllt.

Lage eines Punktes zur Kugel

Du berechnest das Quadrat des Abstands $d^2$ von $P$ zum Mittelpunkt, indem du $P$ in die linke Seite der Kugelgleichung einsetzt, und vergleichst es mit $r^2$. Ein Wurzelziehen ist nicht nötig.

Der Abstand von $C$ zum Mittelpunkt ist $\sqrt{70}\approx \mathrm{8,37}$. Zur Kugeloberfläche fehlen noch $\sqrt{70}-5\approx \mathrm{3,37}$ Längeneinheiten.

Gerade und Kugel

Eine Gerade kann eine Kugel in zwei Punkten schneiden (Sekante), in einem Punkt berühren (Tangente) oder an ihr vorbeilaufen (Passante). Im Kreis ist es genauso.

1. Schreibe die Gerade in Parameterform, wie bei den Geraden im Raum: $x$, $y$ und $z$ hängen von $t$ ab.
2. Setze diese drei Ausdrücke in die Kugelgleichung ein.
3. Löse die entstehende quadratische Gleichung in $t$. Ihre Diskriminante $D$ zeigt die Lage: $D>0$ zwei Lösungen, $D=0$ eine, $D<0$ keine.
4. Setze die Lösungen für $t$ in die Geradengleichung ein. Das liefert die Schnittpunkte.

Bei der Tangente steht die Richtung $(0|3|4)$ senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt: $\overrightarrow{MB}=(5|0|0)$, und das Skalarprodukt ist $0$. Alternativ bestimmst du den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden, wie bei den Abständen Punkt und Gerade, und vergleichst ihn mit $r$.

In der Ebene geht es genauso. Für den Kreis $x^2+y^2=25$ und die Gerade $y=x+1$ ist $x^2+{(x+1)}^2=25$, also $x^2+x-12=0$ und $x=3$ oder $x=-4$. Die Schnittpunkte sind $(3|4)$ und $(-4|-3)$.

Ebene und Kugel

Für eine Ebene $E$ in Koordinatenform $ax+by+cz=e$ berechnest du den Abstand des Mittelpunkts, wie bei den Abständen Punkt und Ebene:

Der Vergleich von $d$ mit $r$ entscheidet über die Lage:

Der Schnittkreis

Der Mittelpunkt $F$ des Schnittkreises ist der Lotfußpunkt von $M$ auf $E$. Schneidest du die Kugel senkrecht zur Ebene durch $M$, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck aus $M$, $F$ und einem Punkt $S$ des Schnittkreises. Seine Seiten sind $d$, der Radius $\rho$ des Schnittkreises und $r$:

Die Tangentialebene

Berührt eine Ebene die Kugel in einem Punkt $B$, steht sie dort senkrecht auf dem Radius $\overrightarrow{MB}$. Dieser Vektor ist ein Normalenvektor der Tangentialebene. Mit dem Punkt $B$ als Aufpunkt kannst du die Ebene in Normalenform und Koordinatenform aufstellen, siehe Koordinatenform.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Zirkel zur Gleichung

Die griechischen Mathematiker beschrieben Kreis und Kugel noch ohne Koordinaten. Euklid erklärt in den Elementen um 300 v. Chr. den Kreis über gleiche Abstände zum Mittelpunkt und die Kugel als den Körper, der entsteht, wenn sich ein Halbkreis um seinen Durchmesser dreht. Gleichungen gab es nicht, man argumentierte mit Figuren.

Das änderte sich 1637, als René Descartes in La Géométrie Geometrie und Algebra verband und Kurven durch Gleichungen beschrieb. Unabhängig davon arbeitete Pierre de Fermat ähnlich. Systematisch untersucht wurden Kurven und Flächen zweiter Ordnung im 18. Jahrhundert unter anderem von Leonhard Euler, zu ihnen gehört die Kugel. Die kurze Vektorschreibweise $|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}|=r$ wurde erst durch die Vektorrechnung des 19. Jahrhunderts üblich, mehr dazu bei der Geschichte der Vektoren.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich in einer Gleichung eine Kugel?

Die Gleichung hat die Terme $x^2$, $y^2$ und $z^2$ mit demselben Faktor, keine gemischten Terme wie $xy$, und nach der quadratischen Ergänzung steht rechts eine positive Zahl $r^2$. Andere Vorfaktoren führen zu Ellipsoiden, gemischte Terme zu gedrehten Flächen.

Wie beschreibt man einen Kreis im Raum?

Mit zwei Gleichungen: der Kugel und der Ebene, in der er liegt. Der Kreis besteht aus den Punkten, die beide Gleichungen erfüllen. Mittelpunkt und Radius ergeben sich wie im Abschnitt über den Schnittkreis.

Wie viele Punkte legen eine Kugel fest?

Vier Punkte, die nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. Setzt du sie in die Kugelgleichung ein, bekommst du vier Gleichungen für $m_1$, $m_2$, $m_3$ und $r$. Bei einem Kreis genügen drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Muss ich eine Gerade immer in die Kugelgleichung einsetzen?

Nein. Du kannst auch den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden berechnen und mit $r$ vergleichen. Einsetzen liefert aber gleich die Schnittpunkte, und die Diskriminante zeigt die Lage.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Analytische Geometrie
• Wikipedia: Kreis
• Wikipedia: Kugel
• Euklid: Die Elemente, übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main.
• René Descartes: La Géométrie, Leiden 1637.