Wachstumsmodelle

Ein Wachstumsmodell ist eine Funktion, die beschreibt, wie sich ein Bestand $B$ mit der Zeit $t$ verändert. Der Bestand kann eine Anzahl sein, eine Fläche oder eine Temperatur. In Schule und Alltag genügen vier Modelle: lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum. Sie unterscheiden sich in einer einzigen Frage: Wovon hängt die Änderung in einem Zeitschritt ab?

Diese Seite stellt die vier Modelle nebeneinander und zeigt, wie du aus Messwerten das passende erkennst. Die Exponentialfunktion mit Wachstumsfaktor, Verdopplungszeit und Halbwertszeit steht ausführlich auf der Seite Exponentialfunktion, die Gerade bei den Linearen Funktionen. Die Differentialgleichungen hinter den Modellen werden hier nur angedeutet, die Herleitung findest du bei Wachstum und Zerfall und Logistisches Wachstum.

Die vier Modelle im Überblick

Stell dir vor, du beobachtest einen Bestand in gleichen Zeitabständen. Beim linearen Wachstum kommt jedes Mal dieselbe Zahl dazu. Beim exponentiellen wächst die Zunahme mit dem Bestand: Je mehr da ist, desto mehr kommt dazu. Beim beschränkten Wachstum gibt es eine Obergrenze, und die Zunahme ist umso kleiner, je näher du ihr kommst. Beim logistischen Wachstum gilt beides zugleich: Die Zunahme ist groß, wenn viel da ist und viel Platz bleibt.

Dabei ist $B_0$ der Anfangsbestand bei $t=0$ und $S$ die Sättigungsgrenze, also der Wert, dem der Bestand zustrebt. In Büchern heißt sie oft auch $G$, auf der Seite Differentialgleichungen $K$.

Lineares Wachstum

Beim linearen Wachstum wächst der Bestand pro Zeiteinheit um dieselbe Menge $m$. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung $m$ und dem Achsenabschnitt $B_0$. Als Folge betrachtet ist es eine arithmetische Folge, mehr dazu steht bei Arithmetische und geometrische Folgen.

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum wird der Bestand in jedem Schritt mit demselben Faktor $q$ malgenommen. Bei einer Zunahme um $p$ Prozent ist $q=1+\frac{p}{100}$, bei einer Abnahme $q=1-\frac{p}{100}$. Der Faktor $q$ heißt Wachstumsfaktor. Wie du ihn aus Prozenten gewinnst, wie Verdopplungs- und Halbwertszeit zusammenhängen, steht bei Verdopplung und Halbwertszeit.

Genau hier setzen die beiden nächsten Modelle an: Sie berücksichtigen, dass es Grenzen gibt.

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum gibt es eine Obergrenze $S$, die der Bestand nie überschreitet. Die Zunahme pro Schritt ist ein fester Anteil des noch fehlenden Abstands $S-B$. Am Anfang ist der Abstand groß und die Zunahme auch, später wird sie immer kleiner. Der Abstand zur Grenze schrumpft dabei wie ein exponentiell abnehmender Bestand: In jedem Schritt wird er mit dem Faktor $q$ mit $0<q<1$ malgenommen.

Logistisches Wachstum

Das logistische Wachstum verbindet exponentielles und beschränktes Wachstum. Am Anfang ist der Bestand klein und Platz im Überfluss: Der Bestand wächst fast exponentiell. Nähert er sich der Grenze $S$, bremst das fehlende Platzangebot. Zwischen beiden Phasen liegt der Wendepunkt: Dort ist der Bestand genau halb so groß wie die Grenze, und die Zunahme ist am größten.

Die Formel kommt aus der Aussage, dass die Änderungsrate zum Bestand und zum Abstand zur Grenze proportional ist, $B\prime (t)=r·B(t)·(1-\frac{B(t)}{S})$. Ist $B$ klein, steht in der Klammer fast 1, und es bleibt $B\prime \approx r·B$, also exponentielles Wachstum. Ist $B$ fast $S$, geht die Klammer gegen 0, und das Wachstum kommt zum Stillstand. Die Herleitung steht bei Logistisches Wachstum in den Differentialgleichungen.

Das Modell aus Messwerten erkennen

Oft hast du keine Formel, sondern eine Messreihe zu gleichen Zeitabständen. Dann bildest du aus den Werten die Differenzen $B(t+1)-B(t)$ und die Quotienten $\frac{B(t+1)}{B(t)}$ und prüfst, was gleich bleibt.

Eine vierte Reihe lautet 10, 27, 69, 169, 355, 600, 803, 917, 968. Die Differenzen 17, 42, 100, 186, 245, 203, 114, 51 steigen zuerst und sinken dann, die Quotienten fallen von 2,7 auf 1,06. Das ist ein S-Verlauf, also logistisch mit einer Grenze bei etwa 1.000. Kennst du die Grenze $S$, hilft noch ein Test: Beim logistischen Wachstum ändert sich der Quotient $\frac{B}{S-B}$ in jedem Schritt um denselben Faktor.

Echte Messwerte schwanken. Dann sind Differenzen oder Quotienten nur ungefähr gleich. Zeichne die Punkte und vergleiche die ganze Reihe, nicht nur zwei Werte.

Welches Modell passt wozu?

• Linear: gleichmäßiger Zufluss, konstante Geschwindigkeit, ein Taxitarif pro Kilometer.
• Exponentiell: Zinseszins, Bakterien am Anfang, Verbreitung eines Virus am Anfang, radioaktiver Zerfall (mit $q<1$).
• Beschränkt: Abkühlen und Aufwärmen, Lernen, Aufladen eines Kondensators, ein Medikamentenspiegel bei dauerhafter Infusion, der sich einem Gleichgewicht nähert.
• Logistisch: Tierbestände in einem begrenzten Lebensraum, Ausbreitung einer Pflanze, Verbreitung eines Gerüchts oder einer neuen Technik in einer begrenzten Gruppe.

Jedes Modell ist eine Vereinfachung. Auf einem kurzen Stück sehen verschiedene Modelle fast gleich aus: Der Anfang einer logistischen Kurve ähnelt einer Exponentialkurve. Mit Daten nur vom Anfang kannst du die Grenze noch nicht erkennen. Sei deshalb vorsichtig, wenn du ein Modell weit über die Messwerte hinaus fortsetzt.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Malthus zu Verhulst

Die Frage, wie schnell eine Bevölkerung wächst, hat die Modelle angestoßen. 1798 behauptete der englische Ökonom Thomas Robert Malthus in seinem anonym erschienenen Essay on the Principle of Population: Die Bevölkerung wachse in geometrischer Progression, also exponentiell, die Nahrungsmittel nur in arithmetischer Progression, also linear. Daraus folge, dass die Menschen früher oder später mehr würden, als sich ernähren ließen. Das Bevölkerungsgesetz von Malthus regte später auch Charles Darwin und Alfred Russel Wallace zu ihren Gedanken über die Entwicklung der Arten an.

Der belgische Mathematiker Pierre-François Verhulst stellte 1838 ein Modell vor, das das exponentielle Wachstum um wachstumshemmende Terme ergänzte. In einer ausführlichen Arbeit erschien es 1845. Es ist die logistische Gleichung, die auch auf der Seite Differentialgleichungen steht. Seit den 1970er-Jahren findet die logistische Gleichung zudem in der Chaostheorie große Beachtung, weil sie schon in einfacher Form überraschend komplexes Verhalten zeigen kann.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Wachstum (Mathematik)
• Wikipedia: Beschränktes Wachstum
• Wikipedia: Logistische Funktion
• Wikipedia: Thomas Robert Malthus
• Thomas Robert Malthus: An Essay on the Principle of Population, London 1798.
• Pierre-François Verhulst: Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population, Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Bruxelles 18, 1845, S. 1–42.