Joseph Fourier

Joseph Fourier (1768–1830) war ein französischer Mathematiker und Physiker. Als Sohn eines Schneiders aus Auxerre wuchs er als Waise auf, erlebte die Französische Revolution, begleitete Napoleon nach Ägypten und leitete danach als Präfekt das Département Isère. Neben all dem fand er die Mathematik, die bis heute seinen Namen trägt: die Fourier-Reihen und die Wärmeleitungsgleichung.

Seine Grundidee klingt einfach: Auch eine unregelmäßige Schwingung lässt sich als Summe regelmäßiger Sinuswellen beschreiben. Das ist der Kern von Audio- und Bildkompression, Funktechnik und medizinischer Bildgebung.

Vom Waisenkind zum Professor

Fourier wurde am 21. März 1768 in Auxerre geboren. Sein Vater war Schneider, er selbst das neunte von zwölf Kindern aus dessen zweiter Ehe. Mit neun Jahren verlor er die Mutter, ein Jahr später den Vater. Er besuchte die Militärschule von Auxerre und hatte mit 14 Jahren das sechsbändige Lehrbuch von Étienne Bézout durchgearbeitet. Ab 1787 bereitete er sich auf das Priesteramt vor, legte aber kein Gelübde ab; ab 1790 unterrichtete er in Auxerre.

Die Revolution zog ihn in die Politik. Er schloss sich 1793 dem örtlichen Revolutionskomitee an und wurde im Juli 1794 verhaftet; nach dem Sturz Robespierres kam er frei. 1795 studierte er an der neu gegründeten École normale, unter anderem bei Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace und Gaspard Monge. 1797 folgte er Lagrange auf den Lehrstuhl für Analysis und Mechanik an der École polytechnique.

Mit Napoleon in Ägypten und als Präfekt in Grenoble

1798 schloss sich Fourier der Ägypten-Expedition Napoleons an, an der mehr als 150 Gelehrte teilnahmen. Er half, das Institut d’Égypte in Kairo zu gründen, und war dessen Sekretär. Zurück in Frankreich, schrieb er das historische Vorwort für die Description de l’Égypte, das monumentale Sammelwerk über die Expedition, dessen erster Band 1809 erschien.

Ab 1802 war er Präfekt des Départements Isère mit Sitz in Grenoble. Dort ließ er Sümpfe trockenlegen und eine Straße nach Turin bauen. Dort lernte der junge Jean-François Champollion ihn kennen; biografischen Berichten zufolge zeigte Fourier ihm seine ägyptischen Fundstücke. Champollion entzifferte später, 1822, die Hieroglyphen. 1808 erhob Napoleon Fourier zum Baron.

Wärme und Fourier-Reihen

Neben seinen Ämtern untersuchte Fourier, wie sich Wärme in festen Körpern ausbreitet. Er ging davon aus, dass die Wärme umso schneller von heiß nach kalt fließt, je größer das Temperaturgefälle ist; man spricht heute vom Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung. Daraus folgt: Die Temperatur an einer Stelle ändert sich umso schneller, je stärker die Temperaturkurve dort gekrümmt ist. Das fasst die Wärmeleitungsgleichung in einer Formel zusammen, in der u die Temperatur, t die Zeit, x den Ort und a eine Materialkonstante bezeichnet:

Um sie zu lösen, zerlegte Fourier den Anfangszustand, etwa die Temperaturverteilung in einem Stab, in Sinuswellen. Jede Welle klingt nach einem einfachen Gesetz ab, und zwar umso schneller, je kürzer sie ist. Addiert man die abklingenden Wellen wieder, erhält man den Temperaturverlauf zu jedem späteren Zeitpunkt. Die allgemeine Form einer solchen Fourier-Reihe lautet:

Fourier las seine Arbeit am 21. Dezember 1807 vor dem Pariser Institut vor. Lagrange und Laplace äußerten Zweifel, ob sich wirklich jede Kurve, auch eine mit Sprüngen, so darstellen lässt. Für eine überarbeitete Fassung erhielt Fourier 1811 den Preis der Akademie, doch die Gutachter bemängelten die fehlende Strenge. Sein Buch Théorie analytique de la chaleur erschien 1822. Die Bedingungen, unter denen die Reihen funktionieren, klärte erst Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1829.

Beispiel: Die Rechteckschwingung

Besonders anschaulich ist eine Rechteckschwingung, die zwischen +1 und −1 hin- und herspringt. Fourier zeigte, dass sie sich aus lauter Sinuswellen mit ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz zusammensetzen lässt:

Setzt man x = π/2 ein, so ist sin x = 1, sin 3x = −1, sin 5x = 1 und so weiter, und die Formel liefert 1 = (4/π) · (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …). Daraus folgt eine berühmte Reihe für die Kreiszahl: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … Der Überschwinger an den Sprüngen beträgt auch bei beliebig vielen Termen etwa 9 Prozent der Sprunghöhe; nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs heißt er Gibbssches Phänomen.

Die Atmosphäre als Wärmedecke

Fourier fragte auch, warum die Erde so warm ist. 1824 erklärte er, dass die Erde ohne ihre Lufthülle deutlich kälter wäre, denn die Atmosphäre hält einen Teil der Wärme zurück, ähnlich wie eine Glasscheibe über einem Kasten.

Späte Jahre in Paris

Nach Delambres Tod 1822 wurde Fourier ständiger Sekretär der Académie des sciences für die mathematischen Wissenschaften. 1823 nahm ihn die Royal Society als ausländisches Mitglied auf, 1826 die Académie française. Er förderte junge Talente, etwa Sophie Germain, für die er Zutritt zu den Akademiesitzungen erwirkte. Der Zeichner Julien-Léopold Boilly porträtierte ihn um 1820 in einer Karikatur gemeinsam mit Adrien-Marie Legendre; dort wirkt Fourier rundlich und gemütlich. Berichten zufolge lebte er in stark überheizten Räumen und ging selbst im Sommer dick eingepackt aus dem Haus. Ob eine in Ägypten erworbene Krankheit dahintersteckte, ist nicht gesichert. Nach einem Sturz auf einer Treppe im Mai 1830 verschlechterte sich sein Zustand, und er starb am 16. Mai in Paris.

Zeitleiste: Joseph Fouriers Leben

1. 1768 Geburt am 21. März in Auxerre
2. 1794 Verhaftung, Freilassung nach dem Sturz Robespierres
3. 1797 Nachfolger Lagranges an der École polytechnique
4. 1798 Teilnahme an Napoleons Ägypten-Expedition
5. 1802 Präfekt des Départements Isère in Grenoble
6. 1807 Erste Abhandlung über Wärmeleitung
7. 1822 Théorie analytique de la chaleur; Sekretär der Académie des sciences
8. 1830 Tod am 16. Mai in Paris

Bedeutung heute

Fouriers Methode ist aus der modernen Technik kaum wegzudenken:

• Bilder und Musik: Das Bildformat JPEG und das Audioformat MP3 zerlegen Signale in Wellen und speichern nur die wichtigen Anteile.
• Medizin und Forschung: Computertomografen, Kernspintomografen und Radioteleskope rechnen mit Fourier-Transformationen.
• Frequenzspektrum: Die Fourier-Transformation überträgt die Idee auf Signale, die sich nicht wiederholen. Sie zeigt, welche Töne, Farben oder Radiowellen in einem Gemisch stecken, ähnlich wie ein Equalizer die Bässe und Höhen einer Melodie anzeigt.
• Mathematik: Die Frage, welche Funktionen sich als Fourier-Reihe schreiben lassen, trieb die strenge Begründung der Analysis voran. Aus ihr entstand später auch die Mengenlehre von Georg Cantor.

Wie Wellen und Winkel zusammenhängen, erklärt die Lernseite Trigonometrie. Einordnen lässt sich Fourier in der Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was ist eine Fourier-Reihe?

Eine Summe aus Sinus- und Kosinuswellen, die zusammen eine vorgegebene periodische Kurve ergeben.

Wann lebte Joseph Fourier?

Er wurde am 21. März 1768 in Auxerre geboren und starb am 16. Mai 1830 in Paris.

Quellen und weiterführende Literatur

• Joseph Fourier: Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris 1822.
• Ivor Grattan-Guinness: Joseph Fourier 1768–1830. MIT Press, Cambridge (Mass.) 1972.
• Jean Dhombres, Jean-Bernard Robert: Fourier, créateur de la physique mathématique. Belin, Paris 1998.
• MacTutor History of Mathematics: Joseph Fourier (englisch)