Kongruenzabbildungen: Verschiebung, Drehung, Spiegelung

Du schiebst ein Blatt über den Tisch, drehst eine Münze oder siehst dein Spiegelbild. Immer ändert sich der Ort einer Figur, aber nicht ihre Größe und nicht ihre Form. Solche Abbildungen heißen Kongruenzabbildungen. Kongruent bedeutet „deckungsgleich“: Wenn du das Bild über das Original legen könntest, würden beide genau passen. Zu den Kongruenzabbildungen gehören die Verschiebung, die Drehung und die Spiegelung.

Einen Überblick über die vier Abbildungen gibt der Abschnitt Abbildungen: Spiegeln, Drehen, Verschieben bei der Symmetrie. Die Achsenspiegelung ist dort unter Achsensymmetrie ausführlich erklärt. Hier gehst du weiter: Du konstruierst jede Abbildung genau, bestimmst Zentrum und Winkel aus Punkt und Bild, rechnest mit Abbildungen im Koordinatensystem und erfährst, was passiert, wenn du Abbildungen hintereinander ausführst.

Abbildungen und Kongruenz

Eine Abbildung ordnet jedem Punkt P der Ebene genau einen Bildpunkt P′ zu. Das Bild einer Figur F ist die Figur F′, die aus allen Bildpunkten besteht. Bei einer Kongruenzabbildung ist der Abstand zweier Bildpunkte immer so groß wie der Abstand der Originalpunkte, und alle Winkel bleiben erhalten. Daraus folgt: Geraden werden zu Geraden, parallele Geraden zu parallelen Geraden, und Umfang und Flächeninhalt ändern sich nicht.

Der Umlaufsinn einer Figur zeigt einen Unterschied. Gehst du die Ecken eines Dreiecks der Reihe nach ab, drehst du dich im oder gegen den Uhrzeigersinn. Bei Verschiebung, Drehung und Punktspiegelung bleibt dieser Umlaufsinn gleich, das Bild ist gleichsinnig kongruent. Bei der Achsenspiegelung kehrt er sich um, das Bild ist gegensinnig kongruent. Der Unterschied ist der zwischen deiner linken und rechten Hand: Beide sind kongruent, aber du bekommst sie nicht durch Verschieben oder Drehen ineinander.

Die Verschiebung

Eine Verschiebung bewegt jeden Punkt um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung. Du gibst sie durch einen Verschiebungspfeil an. Der Pfeil sagt, wie weit und wohin: Beginnst du an einem beliebigen Punkt P und folgst dem Pfeil, landest du bei P′. Ein Pfeil, den man beliebig verschieben darf, ist ein Vektor, und in Koordinaten schreibst du ihn als Zahlenpaar. So konstruierst du ein Bild:

1. Zeichne durch jede Ecke der Figur eine Parallele zum Verschiebungspfeil (Geodreieck).
2. Trage auf jeder Parallelen die Länge des Pfeils ab (Lineal oder Zirkel). Du erhältst den Bildpunkt.
3. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie im Original.

Eine Verschiebung hat keinen Fixpunkt, und jede Gerade ist zu ihrer Bildgeraden parallel (oder fällt mit ihr zusammen, wenn sie in Pfeilrichtung liegt). Führst du zwei Verschiebungen hintereinander aus, entsteht wieder eine Verschiebung, deren Pfeil die Summe der beiden Pfeile ist. Die Regeln in Koordinaten stehen im Koordinatensystem: Aus $(x|y)$ wird $(x+a|y+b)$.

Die Drehung

Bei einer Drehung brauchst du ein Zentrum Z und einen Drehwinkel α. Die Punkte werden auf Kreisen um Z gedreht. Das Zentrum selbst bleibt fest, es ist der einzige Fixpunkt. Der Drehwinkel zählt positiv gegen den Uhrzeigersinn. Jeder Punkt P hat von Z denselben Abstand wie sein Bildpunkt P′, und der Winkel ∠PZP′ ist der Drehwinkel.

So konstruierst du den Bildpunkt von P:

1. Verbinde Z mit P.
2. Trage mit dem Geodreieck den Drehwinkel α an der Strecke ZP an (gegen den Uhrzeigersinn, wenn α positiv ist). Zeichne den neuen Schenkel (Winkel messen und zeichnen).
3. Stich den Zirkel in Z ein, öffne ihn auf die Länge ZP und markiere auf dem neuen Schenkel P′.

Die Umkehrung einer Drehung um α ist die Drehung um −α um dasselbe Zentrum. Eine Drehung um 180° ist die Punktspiegelung. Dann ist Z die Mitte jeder Strecke PP′. Wie Drehungen im Alltag und bei Symmetrie vorkommen, zeigt der Abschnitt Drehsymmetrie.

Achsenspiegelung und Punktspiegelung genauer

Bei der Achsenspiegelung gilt: Die Spiegelachse a steht senkrecht auf PP′ und halbiert die Strecke, sie ist also die Mittelsenkrechte von PP′. Das gibt dir zwei Werkzeuge. Erstens konstruierst du das Bild eines Punktes, indem du das Lot von P auf a fällst und hinter der Achse die gleiche Strecke noch einmal abträgst (Ein Spiegelbild konstruieren, Lot fällen). Zweitens findest du die Achse, wenn P und P′ gegeben sind: Konstruiere die Mittelsenkrechte von PP′. Alle Punkte der Achse sind Fixpunkte. Die Punktspiegelung am Zentrum Z bildet jeden Punkt P auf P′ ab, sodass Z die Mitte von PP′ ist.

Ein- und Ausfallswinkel sind bei diesem Weg gleich. Dieses Reflexionsprinzip kennt man vom Licht und vom Billard. Heron von Alexandria beschrieb es schon in seiner Katoptrik, seiner Schrift über Spiegel.

Abbildungen hintereinander ausführen

Führst du zwei Abbildungen nacheinander aus, nennt man das eine Verkettung. Wieder entsteht eine Kongruenzabbildung. Besonders schön sind die Ergebnisse bei zwei Achsenspiegelungen.

Die Reihenfolge der Abbildungen ist also wichtig, man sagt: Die Verkettung ist nicht kommutativ. Bei der Verschiebung oder bei Drehungen um dasselbe Zentrum macht sie dagegen nichts aus. Dass sich Abbildungen verketten lassen und wieder Abbildungen ergeben, ist die Grundidee der Gruppen (Gruppentheorie).

Abbildungen im Koordinatensystem

Die Regeln für Abbildungen mit dem Ursprung als Zentrum stehen schon unter Abbildungen im Koordinatensystem, zum Beispiel (x|y) → (−y|x) für die Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Liegen Achse oder Zentrum anderswo, brauchst du allgemeinere Formeln:

Beispiel: Der Punkt $P(5|2)$ wird um $Z(2|1)$ um 90° gedreht. Es ist $m+n-y=2+1-2=1$ und $x-m+n=5-2+1=4$, also $P^{\prime }(1|4)$. Zur Probe: Der Vektor von Z zu P ist $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, nach der Drehung $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$. Zu Z addiert ergibt das $(1|4)$. Die Spiegelung von $P(5|3)$ an $x=2$ liefert $(2·2-5|3)=(-1|3)$. Drehungen mit anderen Winkeln beschreibt die Drehmatrix.

Übungen

Geschichte: vom Aufeinanderlegen zum Erlanger Programm

Schon Euklid benutzt die Deckung von Figuren. Im Beweis des Satzes über Dreiecke mit zwei gleichen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (Elemente I.4, um 300 v. Chr.) legt er das eine Dreieck gedanklich auf das andere. Als Grundsatz steht bei ihm, dass Dinge, die sich decken, gleich sind. Eine saubere Theorie der Abbildungen entstand erst viel später. Der Mathematiker Felix Klein formulierte 1872 im Erlanger Programm, dass eine Geometrie dadurch bestimmt wird, welche Abbildungen sie zulässt und welche Eigenschaften dabei gleich bleiben. Die euklidische Geometrie ist die Geometrie der Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen, bei der Längen, Winkel und Flächen erhalten bleiben. Das Reflexionsprinzip, nach dem Licht den kürzesten Weg nimmt, kannte schon Heron. Kommt eine Streckung dazu, entstehen die Ähnlichkeitsabbildungen, mehr bei der zentrischen Streckung.

Häufige Fragen

Weiter geht es mit der Symmetrie von Figuren auf der Seite Symmetrie und Abbildungen und mit der Konstruktion von Dreiecken bei den Geometrischen Konstruktionen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Kongruenzabbildung
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book I, Proposition 4 (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Felix Klein (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.