Trigonometrie

Die Trigonometrie (griechisch trigonon, „Dreieck“, und metron, „Maß“) beschreibt, wie Winkel und Seitenlängen im Dreieck zusammenhängen. Mit ihr berechnest du die Höhe eines Turms, ohne hinaufzusteigen, oder die Breite eines Flusses, ohne ihn zu überqueren. Die wichtigsten Werkzeuge heißen Sinus, Kosinus und Tangens.

Die Grundidee ist einfach: Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Ein rechtwinkliges Dreieck mit einem 30°-Winkel hat, egal wie groß es ist, immer dasselbe Verhältnis von kurzer Kathete zu Hypotenuse. Dieses Verhältnis hängt nur vom Winkel ab und bekommt deshalb einen Namen. Später zeigt sich, dass dieselben Funktionen auch Schwingungen, Wellen und Kreisbewegungen beschreiben. Du solltest den Satz des Pythagoras kennen.

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Welche Kathete wie heißt, hängt vom Winkel ab, den du betrachtest: Die Gegenkathete liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber, die Ankathete liegt an ihm an.

Besondere Werte: 0°, 30°, 45°, 60° und 90°

Für ein paar Winkel kannst du Sinus und Kosinus exakt angeben, ohne Taschenrechner. Das halbe Quadrat mit der Seite 1 hat die Diagonale $\sqrt{2}$, daraus folgt $\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Das halbe gleichseitige Dreieck mit der Seite 2 hat die Höhe $\sqrt{3}$ und die kurze Kathete 1, daraus folgen $\sin 30°=\frac{1}{2}$ und $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Merken kannst du dir die Sinuswerte als $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$. Die Kosinuswerte stehen in umgekehrter Reihenfolge, denn $\cos \alpha =\sin (90°-\alpha )$.

Der Einheitskreis: Winkel über 90°

Im Dreieck funktionieren nur Winkel unter 90°. Der Einheitskreis räumt diese Grenze weg. Er hat den Radius 1 und den Mittelpunkt im Ursprung. Du misst den Winkel $\alpha$ von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn und erhältst einen Punkt P auf dem Kreis. Aus O, P und dem Fußpunkt auf der x-Achse entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1. Deshalb ist der Kosinus die x-Koordinate von P und der Sinus die y-Koordinate.

Gradmaß und Bogenmaß

Im Alltag misst man Winkel in Grad, ein Vollkreis hat 360°. Die Zahl geht auf die Babylonier zurück, die mit Sechzigerzahlen rechneten. In der Mathematik ist das Bogenmaß praktischer. Es misst einen Winkel durch die Länge des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis. Ist der Bogen so lang wie der Radius, beträgt der Winkel 1 Radiant (1 rad).

Das Bogenmaß hat einen großen Vorteil: Der Winkel wird zu einer gewöhnlichen Zahl, und damit sind Sinus und Kosinus gewöhnliche Funktionen, die du in der Analysis ableiten kannst. Diesen Schritt machte Leonhard Euler in seiner Introductio von 1748, indem er den Sinus als Funktion einer Zahl, der Länge des Bogens am Kreis mit Radius 1, behandelte.

Graphen von Sinus und Kosinus

Trägst du den Winkel (im Bogenmaß) nach rechts und den Sinus nach oben ab, entsteht eine Welle. Der Kosinus sieht genauso aus, ist aber um $\frac{\pi }{2}$ nach links verschoben: $\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$.

Dabei ist k eine ganze Zahl. Mit Faktoren verformst du die Welle: Bei $y=A·\sin (b·x)$ gibt $\left|A\right|$ die Amplitude an, also die Höhe der Welle, und $\frac{2\pi }{\left|b\right|}$ die Periode. Der Tangens $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ hat die Periode $\pi$ und senkrechte Asymptoten bei $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, denn dort ist der Kosinus null.

Sinussatz und Kosinussatz

Nicht jedes Dreieck hat einen rechten Winkel. Für beliebige Dreiecke brauchst du zwei Sätze. Dabei liegt die Seite a dem Winkel $\alpha$ gegenüber, b dem Winkel $\beta$ und c dem Winkel $\gamma$.

Anwendungen: Höhen und Entfernungen messen

Der Klassiker ist die Höhenmessung. Du stellst dich in bekanntem Abstand vor den Turm, Baum oder Berg und misst den Höhenwinkel zur Spitze, etwa mit einem Winkelmesser und einem Visier. Dann liefert der Tangens die Höhe über deinen Augen. Die Augenhöhe addierst du am Ende dazu.

Dieselbe Rechnung steckt hinter Straßenschildern: Eine Steigung von 12 % bedeutet $\tan \alpha =\mathrm{0,12}$, also $\alpha \approx \mathrm{6,8}°$. Landvermesser überziehen ein Gebiet mit einem Netz aus Dreiecken und rechnen die Entfernungen aus Winkeln und einer einzigen gemessenen Strecke aus. So leitete Carl Friedrich Gauß ab 1820 die Landesvermessung im Königreich Hannover. Moderne Navigation funktioniert ähnlich: Dein Smartphone bestimmt seine Position aus den Abständen zu mehreren Satelliten.

Geschichte: von der Sehnentafel zum Sinus

Hipparchos: Winkel und Sehnen

Die Trigonometrie entstand aus der Himmelskunde. Wer Sterne vermisst, braucht eine Verbindung zwischen Winkeln und Strecken. Hipparchos von Nicäa (ca. 190–120 v. Chr.) gilt als Begründer der Trigonometrie, weil er Winkeln die Länge der zugehörigen Sehne im Kreis zuordnete. Seine Tafel ist verloren, wir kennen sie nur aus späteren Berichten.

Ptolemäus: die Sehnentafel im Almagest

Aus dem Almagest von Ptolemäus (um 150 n. Chr.) wissen wir, wie die Tafel aussah: Für einen Kreis mit dem Radius 60 gab er die Sehnenlängen von ½° bis 180° in Schritten von ½° an. Die Sehne zum Winkel 60° ist genau 60 lang. Zwischen Sehne und Sinus besteht der einfache Zusammenhang: Die Sehne zum Winkel $\alpha$ ist $2r·\sin \frac{\alpha }{2}$.

Indien: die jya, der erste Sinus

In Indien ging man einen Schritt weiter: Aryabhata (476–550) benutzte im Aryabhatiya von 499 nicht die ganze Sehne, sondern die Hälfte, die jya. Das ist der Sinus. Seine Tafel gilt für einen Viertelkreis mit dem Radius 3.438 und hat 24 Werte, die auf eine Einheit genau stimmen. Über arabische Übersetzungen kam das Wort nach Europa und wurde dort zu sinus.

At-Tusi: Trigonometrie als eigenes Fach

In der islamischen Welt wurde die Trigonometrie vom Hilfsmittel der Astronomie zu einer eigenen Wissenschaft. Nasir ad-Din at-Tusi (1201–1274) behandelte im 13. Jahrhundert ebene Dreiecke und Kugeldreiecke ohne astronomischen Zweck und formulierte den Sinussatz. Der Kosinussatz steckt der Sache nach schon in Euklids Elementen (Buch II, Sätze 12 und 13), allerdings als Aussage über Flächen.

Regiomontanus: Trigonometrie in Europa

Nach Europa brachte das Wissen Johannes Müller aus Königsberg in Franken (1436–1476), der sich Regiomontanus nannte. Sein Buch De triangulis omnimodis („Über Dreiecke aller Art“) entstand um 1464 und stellt die Trigonometrie erstmals in Europa als eigenes Fach dar, für ebene Dreiecke und für Kugeldreiecke. Gedruckt wurde es erst 1533 in Nürnberg. Regiomontanus berechnete außerdem genaue Sinus- und Tangenstafeln, die Seefahrer und Astronomen jahrzehntelang benutzten.

Seit dem 17. Jahrhundert wuchs die Trigonometrie mit der Analysis zusammen: Sinus und Kosinus wurden zu Funktionen von Zahlen. Heute stecken sie in Musik, Funktechnik, Computergrafik und überall dort, wo etwas schwingt. Mehr zu diesen Funktionen findest du bei den Funktionstypen.

Häufige Fragen

Was bedeutet sin⁻¹ auf dem Taschenrechner?

Das ist die Umkehrfunktion des Sinus, auch arcsin genannt. Sie liefert zu einem Sinuswert den passenden Winkel, etwa $\arcsin \mathrm{0,5}=30°$. Es ist nicht der Kehrwert $\frac{1}{\sin }$.

Warum hat ein Kreis 360 Grad?

Die Zahl geht auf die Babylonier zurück, die ein Sechzigersystem benutzten. Dazu passt, dass 360 viele Teiler hat und das Jahr ungefähr 360 Tage zählt.

Wofür braucht man Trigonometrie im Alltag?

Überall dort, wo Winkel und Längen zusammenspielen: beim Bauen und Vermessen, in der Navigation, in der Computergrafik, bei Schall- und Funkwellen und beim Wechselstrom.

Quellen und weiterführende Literatur

• Glen Van Brummelen: The Mathematics of the Heavens and the Earth. The Early History of Trigonometry, Princeton University Press, Princeton 2009.
• Eli Maor: Trigonometric Delights, Princeton University Press, Princeton 1998.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Regiomontanus (englisch)
• Wikipedia: Trigonometrie