Mathematik des 19. Jahrhunderts

Die Mathematik des 19. Jahrhunderts veränderte das Fach tiefer als jede Epoche zuvor. Die Analysis erhielt mit Grenzwert, Stetigkeit und reellen Zahlen ein strenges Fundament. Neben die Geometrie Euklids traten gleichberechtigte nichteuklidische Geometrien. Die Algebra wandelte sich von der Lehre vom Gleichungslösen zur Untersuchung von Strukturen wie Gruppen, Matrizen und Quaternionen, und mit Mengenlehre und formaler Logik begann die Frage, worauf Mathematik überhaupt beruht.

Zugleich wurde Mathematik zum Beruf, mit Forschungsuniversitäten, Fachzeitschriften und 1897 dem ersten internationalen Kongress. Prägende Gestalten waren Carl Friedrich Gauß, Augustin-Louis Cauchy, Évariste Galois, Bernhard Riemann, Karl Weierstraß, Georg Cantor und Henri Poincaré. Erstmals erkämpften sich auch Frauen wie Sophie Germain und Sofja Kowalewskaja einen Platz in der Forschung.

Revolution, Universitäten und Fachzeitschriften

Am Anfang des Jahrhunderts stand Frankreich an der Spitze. Die 1794 gegründete École polytechnique bildete Ingenieure und Offiziere mit einem anspruchsvollen Mathematikprogramm aus; Napoleon förderte die Wissenschaften, nahm Mathematiker wie Gaspard Monge und Joseph Fourier 1798 auf seinen Ägyptenfeldzug mit. Lehrer und Absolventen der Polytechnique wie Cauchy, Fourier und Siméon Denis Poisson bestimmten die Pariser Mathematik bis zur Jahrhundertmitte.

In Preußen führte die Niederlage gegen Napoleon 1806 zu Reformen. Wilhelm von Humboldt gründete 1810 die Berliner Universität nach dem Ideal der Einheit von Forschung und Lehre, und die neuen humanistischen Gymnasien brauchten gut ausgebildete Mathematiklehrer. Diese Reformen erklären allerdings nicht den Aufstieg von Gauß, dessen Ausbildung der Herzog von Braunschweig schon in den 1790er-Jahren finanziert hatte; sie schufen aber die Grundlage dafür, dass Berlin, Göttingen und Königsberg ab etwa 1830 zu Zentren der Forschung wurden. Mathematische Seminare, zuerst 1834 in Königsberg, führten Studenten an die eigene Forschung heran.

Die Forschung bekam eigene Publikationsorte. August Leopold Crelle gründete 1826 das Journal für die reine und angewandte Mathematik, dessen erste Bände Arbeiten von Niels Henrik Abel enthielten; Joseph Liouville folgte 1836 in Paris, 1868 entstanden die Mathematischen Annalen und 1882 in Stockholm die Acta Mathematica. Hinzu kamen Fachgesellschaften: die London Mathematical Society (1865), die Société mathématique de France (1872), die American Mathematical Society (1888) und die Deutsche Mathematiker-Vereinigung (1890). 1897 fand in Zürich der erste Internationale Mathematikerkongress statt.

Carl Friedrich Gauß

Carl Friedrich Gauß (1777–1855), Sohn eines Braunschweiger Handwerkers, verband wie kaum ein anderer reine und angewandte Mathematik. Mit 18 Jahren zeigte er 1796, dass sich das regelmäßige Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt: der erste Fortschritt bei solchen Konstruktionen seit der Antike. 1799 bewies er in seiner Doktorarbeit den Fundamentalsatz der Algebra, nach dem jedes Polynom eine komplexe Nullstelle besitzt. 1801 erschienen die Disquisitiones Arithmeticae, die das Rechnen mit Kongruenzen (Restklassen) einführten, den ersten vollständigen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes enthielten und die Zahlentheorie zu einer systematischen Wissenschaft machten.

Im selben Jahr wurde Gauß über Nacht berühmt: Der Zwergplanet Ceres, der nach seiner Entdeckung am 1. Januar 1801 hinter der Sonne verschwunden war, wurde Ende 1801 genau dort wiedergefunden, wo Gauß ihn vorausberechnet hatte. Dabei nutzte er die Methode der kleinsten Quadrate. Weil Adrien-Marie Legendre diese 1805 zuerst veröffentlichte, Gauß sie aber nach eigener Aussage schon seit 1795 verwendete, kam es zu einem Prioritätsstreit; 1809 begründete Gauß die Methode mit der Normalverteilung der Messfehler (siehe Statistik).

Ab 1807 leitete Gauß die Göttinger Sternwarte. Die Landvermessung des Königreichs Hannover führte ihn zur Differentialgeometrie: Sein Theorema egregium (1827/28) zeigt, dass die Krümmung einer Fläche allein durch Messungen auf der Fläche bestimmt werden kann. 1831 machte er die Darstellung komplexer Zahlen als Punkte einer Ebene populär, die Caspar Wessel (1797) und Jean-Robert Argand (1806) schon vor ihm beschrieben hatten; im Deutschen heißt sie Gaußsche Zahlenebene. Gauß veröffentlichte nur, was ihm vollendet schien („Pauca sed matura“, wenig, aber Ausgereiftes, lautete sein Wahlspruch).

Strenge in der Analysis

Die Analysis des 18. Jahrhunderts war erfolgreich, aber unsicher begründet. Mit unendlich kleinen Größen und unendlichen Reihen ließen sich auch Widersprüche herleiten. Den Anstoß zur Klärung gab Joseph Fourier: In seiner Wärmelehre (Abhandlung 1807, Buch 1822) behauptete er, man könne praktisch jede Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen schreiben. Diese Fourier-Reihen wurden zu einem Grundwerkzeug von Physik und Technik, zwangen die Mathematiker aber zu klären, was eine Funktion, eine stetige Funktion und ein Integral eigentlich sind.

Der Prager Priester und Philosoph Bernard Bolzano bewies 1817 den Zwischenwertsatz rein analytisch und definierte Stetigkeit ohne Rückgriff auf geometrische Anschauung. Seine Arbeiten blieben jedoch weitgehend unbeachtet, auch weil man ihn 1819 aus politischen Gründen von seinem Lehrstuhl entfernt hatte. Breite Wirkung erzielte dagegen Cauchy mit seinem Cours d’analyse (1821) für die École polytechnique: Er stellte den Grenzwertbegriff an den Anfang, definierte damit Stetigkeit, Konvergenz von Reihen, Ableitung und Integral und gab ein Kriterium für die Konvergenz von Folgen an.

„Die divergenten Reihen sind eine Erfindung des Teufels, und es ist eine Schande, auf sie irgendeinen Beweis zu gründen.“

Ganz fehlerfrei war auch Cauchy nicht: Er behauptete, eine konvergente Reihe stetiger Funktionen sei stets stetig, und Abel fand 1826 ein Gegenbeispiel. Die Lösung, der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, setzte sich erst Jahrzehnte später durch. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewies 1829 die Konvergenz von Fourier-Reihen unter genauen Bedingungen und vertrat 1837 den heute üblichen Funktionsbegriff: eine beliebige Zuordnung, die jedem x genau ein y zuweist. Riemann definierte 1854 das nach ihm benannte Integral.

Den Abschluss brachte Karl Weierstraß, der bis 1856 als Gymnasiallehrer in Westpreußen gearbeitet hatte, bevor er nach Berlin berufen wurde. In seinen Vorlesungen formulierte er Grenzwert und Stetigkeit ausschließlich mit Ungleichungen, die berühmte Epsilon-Delta-Definition. 1872 stellte er eine Funktion vor, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist: eine Kurve ohne einzige Tangente, die jeder Anschauung widersprach und zeigte, wie nötig strenge Definitionen waren.

Die Formel oben besagt: f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn sich zu jeder noch so kleinen Toleranz ε ein Abstand δ finden lässt, sodass Funktionswerte nahe x₀ um weniger als ε von f(x₀) abweichen. Es fehlte nur noch ein Fundament für die reellen Zahlen selbst. 1872 legten Richard Dedekind (mit „Schnitten“ in den rationalen Zahlen) und Georg Cantor (mit Folgen rationaler Zahlen) unabhängig voneinander exakte Konstruktionen vor. Damit war die Analysis „arithmetisiert“: auf die natürlichen Zahlen und die Logik zurückgeführt. Wie das heute im Unterricht aussieht, zeigt die Seite Analysis.

Funktionentheorie: Analysis im Komplexen

Ein neues Großgebiet war die Funktionentheorie, die Analysis von Funktionen komplexer Zahlen. Cauchy bewies 1825 seinen Integralsatz, Riemann entwickelte in seiner Dissertation (1851) einen geometrischen Zugang mit den nach ihm benannten Flächen, und Weierstraß baute die Theorie auf Potenzreihen auf. Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi revolutionierten ab 1827 die Theorie der elliptischen Funktionen, indem sie die schwierigen elliptischen Integrale umkehrten.

Die Revolution der Algebra

Gleichungen fünften Grades: Abel und Galois

Seit dem 16. Jahrhundert besaß man Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades (siehe Tartaglia, Cardano und Ferrari), doch für den fünften Grad fand niemand eine. Paolo Ruffini legte 1799 einen lückenhaften Unmöglichkeitsbeweis vor; den ersten vollständigen veröffentlichte der junge Norweger Abel 1824 auf eigene Kosten und 1826 in Crelles Journal: Die allgemeine Gleichung fünften Grades ist nicht durch Wurzelausdrücke lösbar. Abel starb 1829 mit 26 Jahren an Tuberkulose, zwei Tage bevor ein Brief mit der Aussicht auf eine Stelle in Berlin eintraf.

Évariste Galois ging noch weiter. Er ordnete jeder Gleichung eine Gruppe von Vertauschungen ihrer Lösungen zu und zeigte, dass die Gleichung genau dann durch Wurzeln lösbar ist, wenn diese Gruppe eine bestimmte Struktur hat. Damit ließ sich für jede einzelne Gleichung entscheiden, ob es eine Lösungsformel gibt. Seine Arbeiten wurden von der Pariser Akademie verlegt oder als unverständlich abgelehnt; als überzeugter Republikaner saß er 1831/32 im Gefängnis. Am 30. Mai 1832 wurde er in einem Duell verwundet und starb tags darauf mit 20 Jahren. Erst 1846 veröffentlichte Joseph Liouville seine Schriften, und Camille Jordans Lehrbuch von 1870 machte die Galoistheorie allgemein bekannt.

Aus diesen Ideen entstand die Gruppentheorie, die Lehre von Symmetrien. Cauchy untersuchte in den 1840er-Jahren Permutationsgruppen, Arthur Cayley gab 1854 eine erste abstrakte Definition, und am Ende des Jahrhunderts wurde der Gruppenbegriff zu einem der wichtigsten Werkzeuge der gesamten Mathematik.

Quaternionen, Matrizen und neue Zahlbereiche

In Großbritannien hatte die Mathematik seit dem Streit zwischen Newton und Leibniz den Anschluss verloren. 1812 gründeten Studenten in Cambridge um Charles Babbage, George Peacock und John Herschel die Analytical Society, um die kontinentale Analysis einzuführen. Peacock unterschied 1830 in seinem Treatise on Algebra zwischen der Arithmetik und einer „symbolischen Algebra“, deren Regeln man auch für andere Objekte als Zahlen festlegen kann. Damit war der Weg frei für Rechensysteme mit neuen Gesetzen.

Den spektakulärsten Schritt tat der Ire William Rowan Hamilton. Nachdem er die komplexen Zahlen als Zahlenpaare gedeutet hatte, suchte er jahrelang nach einer entsprechenden Rechnung mit Zahlentripeln. Am 16. Oktober 1843 kam ihm auf einem Spaziergang in Dublin die Lösung: Man braucht vier Komponenten. Er ritzte die Grundformel der Quaternionen in einen Stein der Broom Bridge.

Das Revolutionäre daran: Bei Quaternionen ist das Kommutativgesetz verletzt, denn i · j = k, aber j · i = −k. Heute steuern Quaternionen Drehungen in Computergrafik, Robotik und Raumfahrt. Noch im Dezember 1843 fand John Graves die achtdimensionalen Oktaven, die Cayley 1845 unabhängig davon veröffentlichte. Ebenfalls unabhängig entwickelte der Stettiner Gymnasiallehrer Hermann Grassmann 1844 in seiner Ausdehnungslehre eine Theorie beliebig vieldimensionaler Vektorräume; sie blieb so unverstanden, dass Grassmann sich später der Sanskritforschung zuwandte. Cayley schließlich begründete 1858 die Matrizenrechnung; den Namen „Matrix“ hatte sein Freund James Joseph Sylvester 1850 geprägt (siehe Matrizen und Vektoren).

Auch die Zahlentheorie verlangte neue Strukturen. Als Gabriel Lamé 1847 glaubte, den Großen Fermatschen Satz bewiesen zu haben, zeigte Ernst Eduard Kummer, dass in den verwendeten Zahlbereichen die Zerlegung in Primfaktoren nicht eindeutig ist. Kummer rettete die Eindeutigkeit mit „idealen Zahlen“ und bewies den Satz für viele Exponenten; Dedekind machte daraus 1871 den allgemeinen Begriff des Ideals. Gruppen, Ringe, Körper und Ideale bildeten am Jahrhundertende den Grundstock der abstrakten Algebra.

Nichteuklidische Geometrie

Euklids Parallelenaxiom besagt in heutiger Form: Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt. Seit der Antike hielten Mathematiker diese Aussage für beweisbar, und noch im 18. Jahrhundert versuchten Giovanni Saccheri und Johann Heinrich Lambert, sie durch Widerspruch herzuleiten (siehe Mathematik des 18. Jahrhunderts). Im 19. Jahrhundert setzte sich die Einsicht durch, dass das nicht geht: Man kann das Axiom durch ein anderes ersetzen und erhält eine ebenso widerspruchsfreie Geometrie.

Gauß war spätestens in den 1820er-Jahren davon überzeugt, veröffentlichte aber nichts. An Friedrich Wilhelm Bessel schrieb er 1829, er scheue „das Geschrei der Böotier“, also das Unverständnis der Fachwelt. So gebührt der Ruhm zwei anderen, die unabhängig voneinander und ohne Kenntnis von Gauß’ Überlegungen arbeiteten: Nikolai Lobatschewski und János Bolyai. Lobatschewski, Professor und später Rektor in Kasan, trug seine Geometrie 1826 vor und veröffentlichte sie 1829/30 auf Russisch. Der ungarische Offizier Bolyai legte seine Entdeckung 1832 als Anhang zu einem Lehrbuch seines Vaters Farkas Bolyai vor. Gauß antwortete dem Vater, das Werk zu loben hieße sich selbst zu loben; der Sohn empfand das als Kränkung und veröffentlichte nie wieder etwas.

In dieser hyperbolischen Geometrie gibt es durch einen Punkt unendlich viele Geraden, die eine gegebene Gerade nicht schneiden; die Winkelsumme jedes Dreiecks ist kleiner als 180°, und der Flächeninhalt hängt davon ab, wie weit sie unter 180° liegt. Bernhard Riemann verallgemeinerte das Bild 1854 in seinem Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, dessen Thema Gauß ausgewählt hatte. Riemann beschrieb Räume beliebiger Dimension, deren Krümmung sich von Ort zu Ort ändern darf. Bei positiver Krümmung, etwa auf einer Kugel, gibt es gar keine Parallelen, und die Winkelsumme ist größer als 180° (elliptische Geometrie). Die Riemannsche Geometrie wurde 1915 zur mathematischen Sprache von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

Dass die neuen Geometrien wirklich widerspruchsfrei sind, zeigten Modelle: Eugenio Beltrami verwirklichte die hyperbolische Geometrie 1868 auf einer gekrümmten Fläche, Felix Klein 1871 und Poincaré 1882 in einer Kreisscheibe. Jeder Widerspruch in der hyperbolischen Geometrie wäre damit auch ein Widerspruch in der euklidischen. Mehr zu den Grundlagen bietet die Seite Geometrie.

Projektive Geometrie, Topologie und Symmetrie

Auch innerhalb der klassischen Geometrie entstanden neue Zweige. Jean-Victor Poncelet entwarf als Kriegsgefangener in Russland (1813/14) die moderne projektive Geometrie (veröffentlicht 1822), die an Girard Desargues anknüpfte. August Ferdinand Möbius führte 1827 mit seinem baryzentrischen Kalkül homogene Koordinaten ein, ebenso unabhängig Julius Plücker. Mit Lagen, Zusammenhängen und Löchern von Figuren, unabhängig von Längen und Winkeln, befasste sich die Topologie, die Johann Benedict Listing 1847 so benannte. Listing (im Juli 1858) und Möbius (im September 1858) entdeckten unabhängig voneinander das Band mit nur einer Seite und einer Kante, das heute Möbiusband heißt.

Felix Klein ordnete die Vielfalt 1872 in seinem Erlanger Programm: Jede Geometrie wird durch eine Gruppe von Transformationen bestimmt und untersucht genau die Eigenschaften, die bei diesen Transformationen erhalten bleiben. Die euklidische Geometrie gehört zu den Bewegungen, die projektive zu den Projektionen. 1882 beschrieb Klein die nach ihm benannte Flasche, eine geschlossene Fläche ohne Innen und Außen, die sich im dreidimensionalen Raum nur mit Selbstdurchdringung darstellen lässt. Der Norweger Sophus Lie untersuchte stetige Symmetriegruppen von Differentialgleichungen; diese Lie-Gruppen sind heute in der Teilchenphysik unentbehrlich.

Henri Poincaré schuf 1895 mit der Abhandlung Analysis situs die algebraische Topologie, die Räume durch algebraische Größen unterscheidet. Seine Vermutung von 1904 über dreidimensionale Räume bewies erst Grigori Perelman 2002/03. Ein weiteres Problem, das in diesen Jahren entstand, war der Vierfarbensatz: Francis Guthrie fragte 1852, ob vier Farben für jede Landkarte genügen. Bewiesen wurde der Satz erst 1976 mit Computerhilfe.

Zahlentheorie: Primzahlen und transzendente Zahlen

Dirichlet bewies 1837, dass jede arithmetische Folge a, a + d, a + 2d, … mit teilerfremden a und d unendlich viele Primzahlen enthält, und nutzte dafür Methoden der Analysis. Damit begann die analytische Zahlentheorie. Ihr berühmtestes Dokument ist Riemanns einzige zahlentheoretische Arbeit von 1859. Darin erweiterte er die schon von Euler untersuchte Zetafunktion auf komplexe Zahlen und zeigte, dass ihre Nullstellen die Verteilung der Primzahlen steuern. Seine Vermutung, alle nichttrivialen Nullstellen hätten den Realteil ½, ist als Riemannsche Vermutung das bekannteste offene Problem der Mathematik.

Wie dicht die Primzahlen liegen, hatte Gauß schon als Jugendlicher (1792/93) aus Zahlentafeln vermutet, unabhängig davon auch Legendre (1798): Die Anzahl π(x) der Primzahlen bis x wächst ungefähr wie x / ln x. Bewiesen wurde dieser Primzahlsatz 1896 unabhängig voneinander von Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin, gestützt auf Riemanns Ideen. Ein Beispiel zeigt, wie langsam die Näherung greift: Bis 1000 gibt es 168 Primzahlen, während 1000 / ln 1000 ≈ 145 ergibt.

Ein zweites großes Thema waren transzendente Zahlen, die keine Lösung einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Joseph Liouville gab 1844 die ersten Beispiele an, Charles Hermite bewies 1873 die Transzendenz von e und Ferdinand von Lindemann 1882 die von π. Damit war das antike Problem der Quadratur des Kreises endgültig als unlösbar erwiesen; dass Winkeldreiteilung und Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal unmöglich sind, hatte Pierre Wantzel schon 1837 gezeigt.

Logik, Mengenlehre und die Grundlagen der Mathematik

Der weitgehend autodidaktisch gebildete Engländer George Boole zeigte 1847 und 1854, dass sich logisches Schließen wie Algebra behandeln lässt. In seinem System gilt etwa x · x = x, weil „x und x“ dasselbe ist wie x; 1 steht für das Universum der betrachteten Dinge, 0 für das Nichts. Die heutige Boolesche Algebra mit dem einschließenden Oder (in dem 1 + 1 = 1 gilt) formten erst Nachfolger wie William Stanley Jevons. 1937 zeigte Claude Shannon, dass sich damit elektrische Schaltungen beschreiben lassen, die Grundlage aller Digitaltechnik. John Venn veranschaulichte logische Beziehungen 1880 mit den nach ihm benannten Diagrammen.

Gottlob Frege ging 1879 mit seiner Begriffsschrift weit über Boole hinaus. Er führte Quantoren („für alle“, „es gibt“) ein und schuf die Prädikatenlogik, mit der sich mathematische Beweise vollständig formalisieren lassen. Sein Ziel, die Arithmetik allein aus der Logik abzuleiten, scheiterte 1902, als Bertrand Russell ihm einen Widerspruch in seinem System mitteilte.

Georg Cantor, Professor in Halle, begründete ab 1874 die Mengenlehre. Er bewies, dass es zwar ebenso viele rationale wie natürliche Zahlen gibt, aber mehr reelle Zahlen: Unendlich ist nicht gleich unendlich. Sein Diagonalargument von 1891 zeigt allgemein, dass es zu jeder Menge eine größere gibt. Diese Hierarchie des Unendlichen stieß auf heftigen Widerstand, vor allem bei Leopold Kronecker. Cantor litt ab 1884 wiederholt an Depressionen, gründete aber 1890 die Deutsche Mathematiker-Vereinigung mit und wurde ihr erster Vorsitzender. Seine Kontinuumshypothese setzte David Hilbert 1900 an die Spitze seiner berühmten Problemliste.

„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“

Richard Dedekind definierte 1888 in Was sind und was sollen die Zahlen? unendliche Mengen und gab eine Begründung der natürlichen Zahlen. Kurz darauf formulierte Giuseppe Peano 1889 die nach ihm benannten Axiome und führte das Zeichen ∈ für „ist Element von“ ein. Gegen Ende des Jahrhunderts tauchten in der Mengenlehre jedoch Widersprüche (Antinomien) auf; sie lösten im 20. Jahrhundert die Grundlagenkrise aus. Einen Einstieg in die Begriffe bietet die Seite Mengenlehre.

Rechenmaschinen: Babbage und Ada Lovelace

Gedruckte Rechentafeln waren voller Fehler. Charles Babbage schlug deshalb 1822 eine Differenzmaschine vor, die Polynomwerte mit dem Verfahren der endlichen Differenzen automatisch berechnen und drucken sollte. Trotz staatlicher Förderung ab 1823 wurde sie nie vollendet. Ab 1834 plante er die viel ehrgeizigere Analytical Engine: eine frei programmierbare Maschine mit Lochkarten nach dem Vorbild des Jacquard-Webstuhls, einem Zahlenspeicher („store“), einem Rechenwerk („mill“) und bedingten Sprüngen. Gebaut wurde auch sie nie. Dass die Pläne taugten, bewies das Londoner Science Museum: 1991 stellte es nach Babbages Entwürfen von 1847 bis 1849 die Differenzmaschine Nr. 2 fertig, und sie rechnet fehlerfrei.

Ada Lovelace, Tochter des Dichters Lord Byron, war von Mary Somerville und Augustus De Morgan in Mathematik gefördert worden. 1843 übersetzte sie einen Aufsatz des italienischen Ingenieurs Luigi Menabrea über die Analytical Engine und ergänzte ihn um Anmerkungen, die weit länger waren als der Originaltext. In Anmerkung G beschrieb sie Schritt für Schritt, wie die Maschine die Bernoulli-Zahlen berechnen könnte. Das gilt als erstes veröffentlichtes Computerprogramm; allerdings hatte Babbage schon kleinere Rechenpläne entworfen, und ihr genauer Anteil ist umstritten. Unbestritten ist ihr Weitblick: Sie erkannte, dass eine solche Maschine nicht nur Zahlen, sondern beliebige Symbole verarbeiten könnte, etwa Musik.

Frauen in der Mathematik des 19. Jahrhunderts

Frauen blieben von Universitäten und Akademien meist ausgeschlossen. Sophie Germain schrieb ab 1804 unter dem Namen „Monsieur Le Blanc“ an Gauß. Als französische Truppen 1806 Braunschweig besetzten, bat sie einen befreundeten General, für Gauß’ Sicherheit zu sorgen; so erfuhr Gauß, wer sein Briefpartner war, und reagierte mit großer Anerkennung. 1816 gewann Germain den Preis der Pariser Akademie für eine Theorie schwingender elastischer Platten. Ihr Satz über den Großen Fermatschen Satz, den Legendre 1825 veröffentlichte, war der wichtigste Fortschritt dazu seit Euler; die dabei auftretenden Primzahlen p, für die auch 2p + 1 prim ist, heißen heute Sophie-Germain-Primzahlen.

Die Schottin Mary Somerville machte 1831 mit The Mechanism of the Heavens die Himmelsmechanik von Pierre-Simon Laplace in England zugänglich und wurde 1835 mit Caroline Herschel erstes weibliches Ehrenmitglied der Royal Astronomical Society. Florence Nightingale, bekannt als Begründerin der modernen Krankenpflege, wertete die Sterblichkeit im Krimkrieg statistisch aus, erfand dafür anschauliche Kreisdiagramme und wurde als erste Frau Mitglied der Royal Statistical Society.

Sofja Kowalewskaja durfte in Russland nicht studieren. Sie ging 1868 eine Scheinehe ein, um ins Ausland zu gelangen, und wurde von 1870 bis 1874 privat von Weierstraß unterrichtet, weil die Berliner Universität sie nicht zuließ. 1874 promovierte sie in Göttingen mit drei Arbeiten, darunter dem heute nach Cauchy und ihr benannten Satz über partielle Differentialgleichungen. 1884 wurde sie in Stockholm Professorin, die erste für Mathematik in Nordeuropa, und erhielt 1888 den Prix Bordin der Pariser Akademie für ihre Untersuchung eines rotierenden starren Körpers. Sie starb 1891 mit nur 41 Jahren.

Mathematik und Naturwissenschaft: von Fourier bis Poincaré

Die Physik lieferte dem Jahrhundert ständig neue Aufgaben. Fourier behandelte die Wärmeleitung mit partiellen Differentialgleichungen, Claude Navier und George Gabriel Stokes stellten die Gleichungen für zähe Strömungen auf (1822 und 1845), George Green entwickelte 1828 Methoden der Potentialtheorie, und Hamilton formulierte 1834/35 die Mechanik neu, wie sie später auch die Quantenmechanik verwendet. James Clerk Maxwell fasste 1865 Elektrizität, Magnetismus und Licht in einem System von Gleichungen zusammen.

Auch die Statistik wurde mathematisch: von Laplaces Théorie analytique des probabilités (1812) über Adolphe Quetelets „mittleren Menschen“ (1835) bis zu Francis Galtons Regression (1886) und Karl Pearsons Korrelationsrechnung in den 1890er-Jahren.

Am Ende des Jahrhunderts ragte Henri Poincaré heraus. Für ein Preisausschreiben des schwedischen Königs Oskar II. untersuchte er das Dreikörperproblem, die Bewegung dreier sich gegenseitig anziehender Himmelskörper, und erhielt 1889 den Preis. Bei der Durchsicht entdeckte Lars Edvard Phragmén einen Fehler. Poincaré korrigierte ihn auf eigene Kosten, die das Preisgeld überstiegen, und stieß dabei auf Bahnen von unvorstellbarer Verwicklung, die empfindlich von den Anfangswerten abhängen: der erste Blick auf das, was im 20. Jahrhundert Chaostheorie heißen sollte (siehe Edward Lorenz). Weil Poincaré in fast allen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik Grundlegendes leistete, gilt er als einer der letzten Universalisten.

Wichtige Mathematiker des 19. Jahrhunderts

• Analysis und Funktionentheorie: Joseph Fourier (1768–1830), Bernard Bolzano (1781–1848), Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), Karl Weierstraß (1815–1897), Bernhard Riemann (1826–1866), Sofja Kowalewskaja (1850–1891)
• Algebra: George Peacock (1791–1858), William Rowan Hamilton (1805–1865), Évariste Galois (1811–1832), Arthur Cayley (1821–1895), Richard Dedekind (1831–1916), Sophus Lie (1842–1899)
• Zahlentheorie: Adrien-Marie Legendre (1752–1833), Sophie Germain (1776–1831), Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
• Geometrie und Topologie: August Ferdinand Möbius (1790–1868), Nikolai Lobatschewski (1792–1856) und János Bolyai (1802–1860), Felix Klein (1849–1925), Henri Poincaré (1854–1912)
• Logik und Mengenlehre: George Boole (1815–1864), John Venn (1834–1923), Georg Cantor (1845–1918), Gottlob Frege (1848–1925), Giuseppe Peano (1858–1932)
• Rechenmaschinen: Charles Babbage (1791–1871), Ada Lovelace (1815–1852)

Eine chronologische Gesamtübersicht bietet die Seite Wichtige Mathematiker.

Zeitleiste: Mathematik von 1800 bis 1900

1. 1801 Gauß veröffentlicht die Disquisitiones Arithmeticae und berechnet die Bahn der Ceres.
2. 1816 Sophie Germain gewinnt den Preis der Pariser Akademie zur Elastizitätstheorie.
3. 1821 Cauchys Cours d’analyse stellt die Analysis auf den Grenzwertbegriff.
4. 1824 Abel beweist die Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades; 1826 erscheint Crelles Journal.
5. 1829 Lobatschewski veröffentlicht die hyperbolische Geometrie, Bolyai folgt 1832.
6. 1832 Galois stirbt nach einem Duell; seine Theorie erscheint erst 1846.
7. 1843 Hamilton entdeckt die Quaternionen; Ada Lovelace veröffentlicht ihre Anmerkungen zur Analytical Engine.
8. 1854 Riemanns Habilitationsvortrag über die Grundlagen der Geometrie; Booles Laws of Thought.
9. 1859 Riemann formuliert die Riemannsche Vermutung.
10. 1872 Erlanger Programm, Dedekinds Schnitte und Weierstraß’ nirgends differenzierbare Funktion.
11. 1874 Cantor begründet die Mengenlehre; Kowalewskaja promoviert in Göttingen.
12. 1896 Hadamard und de La Vallée Poussin beweisen den Primzahlsatz; 1897 erster Internationaler Mathematikerkongress.

Erbe: Was das 19. Jahrhundert hinterließ

Das 19. Jahrhundert löste viele Fragen, die das 18. Jahrhundert offen gelassen hatte: Die Analysis war streng begründet, die Gleichung fünften Grades als unlösbar erkannt, das Parallelenaxiom als unabhängig nachgewiesen und die Kreisquadratur als unmöglich bewiesen. Wichtiger noch war ein neues Verständnis von Mathematik. Sie handelte nicht mehr nur von Zahlen und Figuren, sondern von Strukturen, die durch Axiome festgelegt werden.

Dieses Erbe prägt die Mathematik des 20. Jahrhunderts. David Hilbert eröffnete es 1900 mit 23 Problemen, darunter Cantors Kontinuumshypothese und die Riemannsche Vermutung. Die Widersprüche der Mengenlehre führten zur Grundlagenkrise und zu Kurt Gödels Unvollständigkeitssätzen, Emmy Noether vollendete die abstrakte Algebra, Riemanns Geometrie wurde zur Sprache der Relativitätstheorie, und aus Booles Logik und Babbages Maschinen entstand mit Alan Turing die Informatik.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin 2009.
• Jeremy Gray: Plato’s Ghost. The Modernist Transformation of Mathematics, Princeton University Press, Princeton 2008.
• Jeremy Gray: Worlds Out of Nothing. A Course in the History of Geometry in the 19th Century, Springer, London 2007.
• Erhard Scholz (Hrsg.): Geschichte der Algebra. Eine Einführung, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1990.
• MacTutor History of Mathematics: Non-Euclidean geometry (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Sofia Kovalevskaya (englisch)