Sinusfunktion: Amplitude, Periode und Verschiebung

Die Sinusfunktion ordnet jeder reellen Zahl $x$ den Wert $\sin x$ zu, den Sinus des Winkels $x$ im Bogenmaß. Ihr Graph ist eine gleichmäßige Welle, die zwischen $- 1$ und $1$ hin- und herschwingt und sich nach $2 π$ wiederholt. Die Kosinusfunktion $x \mapsto \cos x$ sieht genauso aus, nur ein Stück zur Seite geschoben.

Solche Wellen findest du überall: in der Länge der Tage im Jahreslauf, bei Ebbe und Flut, im Schall und im Wechselstrom. Diese Seite vertieft den Abschnitt Graphen von Sinus und Kosinus. Den Einheitskreis und das Bogenmaß findest du bei Einheitskreis und Bogenmaß. Gleichungen wie $\sin x = 0,5$ löst du mit den Methoden aus Trigonometrische Gleichungen. Zum Üben gibt es das Arbeitsblatt Sinusfunktion.

Vom Einheitskreis zum Graphen

Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Zu jedem Winkel $x$ gehört ein Punkt $P$ auf ihm: Du misst $x$ von der positiven $x$ -Achse aus gegen den Uhrzeigersinn. Die Höhe von $P$ ist $\sin x$ , der waagerechte Abstand von der senkrechten Achse ist $\cos x$ .

Vom Kreis zur Welle: Der Sinus von x ist die Höhe des Punkts P auf dem Einheitskreis (hier für x = π/3). Trägst du diese Höhe über dem Winkel x im Bogenmaß ab, entsteht der Graph.

Läuft $P$ einmal um den Kreis, ändert sich seine Höhe gleichmäßig auf und ab. Trägst du die Höhe über dem Winkel ab, entsteht die Sinuskurve. Der Winkel wird dabei im Bogenmaß gemessen, also als Länge des Kreisbogens. Ein voller Umlauf ist $360 ° = 2 π \approx 6,28$ .

Die fünf Schlüsselpunkte

Eine Periode der Sinuskurve besteht aus vier gleich langen Vierteln. An den fünf Stellen $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ und $2 π$ liegen die wichtigen Punkte: Nullstelle, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt, Nullstelle.

Die fünf Schlüsselpunkte einer Periode
$x$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$\cos x$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$

Mit diesen fünf Punkten skizzierst du jede Sinus- und Kosinuskurve schnell und sauber, auch nach einer Verformung. Die Werte für Winkel wie 30° oder 60° kennst du von den besonderen Werten.

Wegen der Periode gilt $\sin (x + 2 π) = \sin x$ . Außerdem sind die Kurven symmetrisch: Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt $\sin (- x) = - \sin x$ . Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, es gilt $\cos (- x) = \cos x$ .

Der Kosinus als verschobener Sinus

Schiebst du den Graphen des Sinus um $\frac{π}{2}$ nach links, erhältst du den Graphen des Kosinus. Als Formel:

\cos x = \sin (x + \frac{π}{2}), \sin x = \cos (x - \frac{π}{2}) .

Zur Probe: Für $x = 0$ ist $\cos 0 = 1$ und $\sin \frac{π}{2} = 1$ . Beide Seiten stimmen überein.

Du kannst jede Welle also mit dem Sinus oder mit dem Kosinus beschreiben. In der Praxis nimmst du die Funktion, die besser zum Graphen passt: Beginnt die Schwingung in einem Hochpunkt, brauchst du beim Kosinus keine Verschiebung. Beginnt sie auf der Mittellinie und steigt, passt der Sinus.

Die allgemeine Sinusfunktion

Mit vier Zahlen $a$ , $b$ , $c$ und $d$ verformst du die Sinuskurve zu jeder beliebigen gleichmäßigen Welle.

Wirkung der vier Parameter
Parameter	Wirkung auf den Graphen	Kenngröße
$a$	Streckung in $y$ -Richtung, bei $a < 0$ Spiegelung an der Mittellinie	Amplitude $\| a \|$
$b$	Stauchung oder Streckung in $x$ -Richtung	Periode $p = \frac{2 π}{\| b \|}$
$c$	Verschiebung in $x$ -Richtung, bei $c > 0$ nach rechts	Phasenverschiebung $c$
$d$	Verschiebung in $y$ -Richtung, bei $d > 0$ nach oben	Mittellinie $y = d$

Was die Parameter bewirken. Die dünne Linie ist jeweils y = sin x, die dicke die veränderte Kurve. Gezeigt ist der Bereich von 0 bis 2π.

Amplitude a

Die Amplitude ist der größte Ausschlag nach oben oder unten, gemessen von der Mittellinie aus. Für $f (x) = 2 \sin x$ schwingt die Kurve zwischen $- 2$ und $2$ , die Amplitude ist 2. Bei negativem $a$ wird die Kurve an der Mittellinie gespiegelt, die Amplitude bleibt $| a |$ . So ist $- \sin x$ ein Sinus, der zuerst nach unten schwingt.

Periode b

Die Periode $p$ ist die Länge, nach der sich die Kurve wiederholt. Der Sinus durchläuft einen Umlauf, wenn sein Argument um $2 π$ wächst. Beim Argument $b x$ ist das bei $b \cdot p = 2 π$ der Fall, also

p = \frac{2 π}{| b |}, b = \frac{2 π}{p} .

Für $\sin (2 x)$ ist die Periode $π$ , die Welle läuft doppelt so schnell. Für $\sin (\frac{x}{2})$ ist sie $4 π$ . Bei Zeitangaben nennt man den Kehrwert der Periode die Frequenz. Sie wird in Hertz gemessen: 1 Hz ist eine Schwingung pro Sekunde.

Verschiebung c

Der Term $\sin (x - c)$ beschreibt die um $c$ nach rechts verschobene Sinuskurve: Den Wert, den der Sinus bei $0$ hat, nimmt die verschobene Kurve erst bei $x = c$ an. Mit $c = \frac{π}{2}$ wandert der Graph um $\frac{π}{2}$ nach rechts, bei $\sin (x + \frac{π}{2})$ um $\frac{π}{2}$ nach links. Diese Verschiebung heißt Phasenverschiebung.

Die Verschiebung $c$ liest du erst ab, wenn $b$ ausgeklammert ist. In $\sin (2 x - π)$ ist nicht $c = π$ , denn $\sin (2 x - π) = \sin (2 (x - \frac{π}{2}))$ . Die Kurve wird nur um $\frac{π}{2}$ verschoben.

Mittellinie d

Die Zahl $d$ hebt die gesamte Kurve an ( $d > 0$ ) oder senkt sie ( $d < 0$ ). Die Schwingung verläuft dann symmetrisch um die Mittellinie $y = d$ . Der Wertebereich ist $[d - | a |; d + | a |]$ . So schwingt $3 \sin x + 2$ zwischen $2 - 3 = - 1$ und $2 + 3 = 5$ .

Die Gleichung aus einem Graphen bestimmen

Oft ist ein Graph oder eine Messreihe gegeben, und du sollst die Gleichung aufstellen. Dann bestimmst du die vier Zahlen in dieser Reihenfolge.

Aus diesem Graphen liest du ab: Hochpunkt H(2|5), Tiefpunkt T(8|1), Periode 12. Die Mittellinie liegt bei y = 3, die Amplitude ist 2, und die Kurve steigt bei x = −1 durch die Mittellinie.

Beispiel: Temperatur im Tagesverlauf

In einem Raum wird um 4 Uhr die tiefste Temperatur von 18 °C gemessen, um 16 Uhr die höchste mit 26 °C. Gesucht ist $T (t)$ mit $t$ in Stunden nach Mitternacht, und wann es wärmer als 24 °C ist.

Mittellinie $d = \frac{26 + 18}{2} = 22$ , Amplitude $| a | = \frac{26 - 18}{2} = 4$ . Der Abstand von Tief- zu Hochpunkt ist 12 Stunden, die Periode also 24 Stunden und $b = \frac{2 π}{24} = \frac{π}{12}$ . Bei $t = 4$ liegt ein Tiefpunkt, deshalb nimmst du einen gespiegelten Kosinus mit $a = - 4$ :

T (t) = - 4 \cdot \cos (\frac{π}{12} (t - 4)) + 22 .

Probe: $T (16) = - 4 \cdot \cos π + 22 = 26$ . Für $T (t) > 24$ muss $\cos (\frac{π}{12} (t - 4)) < - 0,5$ gelten. Das ist für $\frac{2 π}{3} < \frac{π}{12} (t - 4) < \frac{4 π}{3}$ der Fall, also für $8 < t - 4 < 16$ . Es ist demnach von 12 bis 20 Uhr wärmer als 24 °C, insgesamt 8 Stunden. Wie du solche Lösungen am Einheitskreis findest, steht bei den Lösungen im Intervall.

Die Steigung der Welle

Die Ableitungen von Sinus und Kosinus kennst du aus dem Abschnitt Spezielle Funktionen: $(\sin x)' = \cos x$ und $(\cos x)' = - \sin x$ . Mit der Kettenregel folgt für die allgemeine Form

f' (x) = a \cdot b \cdot \cos (b (x - c)) .

Die Steigung schwankt also selbst wie eine Welle zwischen $- | a b |$ und $| a b |$ . Am steilsten ist die Kurve dort, wo sie die Mittellinie schneidet, an den Hoch- und Tiefpunkten ist die Steigung 0. Eine große Amplitude oder eine kurze Periode machen die Kurve steiler.

Anwendungen

Tageslänge im Jahreslauf

Die Sonne geht im Lauf des Jahres regelmäßig früher auf und später unter. Für Berlin passt das Modell

d (t) = 12,2 + 4,6 \cdot \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) .

Hier ist $t$ der Tag des Jahres (der 1. Januar ist $t = 1$ ) und $d (t)$ die Tageslänge in Stunden. Die Mittellinie liegt bei 12,2 Stunden, die Amplitude beträgt 4,6 Stunden, die Periode ist ein Jahr. Bei $t = 80$ , um den 21. März, steigt die Kurve durch die Mittellinie. Die Zahlen sind aus den berechneten Sonnenauf- und Sonnenuntergangszeiten für Berlin gewonnen und gerundet.

Tageslänge in Berlin als Sinusmodell d(t) = 12,2 + 4,6 · sin(2π/365 · (t − 80)). Die Buchstaben unter der Achse sind die Monatsanfänge von Januar bis Dezember.

Gezeiten

Ebbe und Flut folgen dem Mond. Weil sich die Erde unter dem Mond dreht und der Mond dabei weiterwandert, kehrt er erst nach etwa 24 Stunden und 50 Minuten an dieselbe Stelle des Himmels zurück. An der Nordsee gibt es pro Mondtag zwei Hochwasser, die Periode beträgt also gut 12 Stunden und 25 Minuten, etwa 12,4 Stunden. Der wirkliche Wasserstand setzt sich aus mehreren Wellen zusammen: Springtiden mit besonders hohem Wasser kehren zum Beispiel etwa alle 14¾ Tage wieder. Eine einzelne Sinuswelle ist trotzdem ein guter Anfang.

Schall

Ein reiner Ton ist eine Sinusschwingung des Luftdrucks. Die Amplitude bestimmt die Lautstärke, die Frequenz die Tonhöhe.

Instrumente erzeugen allerdings keinen reinen Sinuston, sondern mehrere Sinusschwingungen gleichzeitig, den Grundton und Obertöne. Wie sich jede periodische Schwingung aus Sinuswellen zusammensetzen lässt, hat Joseph Fourier gezeigt.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Kreisbogen zur Welle

Am Anfang standen nicht Funktionen, sondern Sehnen im Kreis. Ptolemäus stellte im 2. Jahrhundert n. Chr. eine Tafel der Sehnen auf, in Indien wurde daraus die halbe Sehne, die jya. Diese Entwicklung steht bei Indien: die jya, der erste Sinus. Über das arabische Wort dschaib („Tasche“, „Kleiderfalte“) kam der Begriff nach Europa: Gerhard von Cremona übersetzte es im 12. Jahrhundert mit lateinisch sinus. Der Name Kosinus kürzt complementi sinus ab, den Sinus des Komplementärwinkels.

Zur Funktion einer Zahl wurden Sinus und Kosinus im 18. Jahrhundert: Leonhard Euler behandelte sie 1748 in seiner Introductio in analysin infinitorum als Funktionen von Zahlen am Einheitskreis. Spätestens seit Fourier gelten die Sinuswellen dann als Bausteine für beliebige Schwingungen.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?

Beide Graphen haben dieselbe Form. Der Kosinus ist der um $\frac{π}{2}$ nach links verschobene Sinus. Am Einheitskreis ist der Sinus die Höhe und der Kosinus der waagerechte Abstand des Punkts $P$ .

Warum rechnet man bei Funktionen im Bogenmaß?

Nur im Bogenmaß haben Sinus und Kosinus ihre einfachen Ableitungen $(\sin x)' = \cos x$ und $(\cos x)' = - \sin x$ . Misst man in Grad, kommt der Faktor $\frac{π}{180}$ hinzu. Stelle deshalb den Taschenrechner auf RAD.

Ist die Gleichung einer Welle eindeutig?

Nein. Du kannst Sinus oder Kosinus verwenden, die Verschiebung $c$ um beliebige Vielfache der Periode ändern und das Vorzeichen von $a$ mit einer Verschiebung um die halbe Periode ausgleichen. Alle diese Gleichungen beschreiben dieselbe Kurve.

Warum schwingen so viele Dinge wie ein Sinus?

Wenn eine Kraft proportional zur Auslenkung zurückzieht, wie bei einer Feder, ergibt die Bewegungsgleichung genau eine Sinus- oder Kosinuswelle. Das steht bei den Schwingungen in den Differentialgleichungen.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Sinus und Kosinus
Wikipedia: Schwingung
Wikipedia: Gezeiten
Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748.