Zeit-Weg-Diagramme und Geschwindigkeit

Du fährst mit dem Rad zu einer Freundin, machst unterwegs eine Pause und radelst weiter. Wie könnte man diese Fahrt aufzeichnen? Genau dafür gibt es das Zeit-Weg-Diagramm. Auf der waagerechten Achse steht die Zeit, auf der senkrechten der Weg, also hier die Entfernung vom Start. Jeder Punkt im Diagramm sagt: „Zu dieser Zeit war ich so weit weg.“ Verbindest du die Punkte, entsteht eine Linie, an der du ablesen kannst, wann du schnell, langsam oder gar nicht unterwegs warst.

Zeit-Weg-Diagramme verbinden zwei Themen, die du schon kennst: das Koordinatensystem und die Proportionalität. Die Linie ist ein Stück einer linearen Funktion, und die Geschwindigkeit ist ihre Steigung. Das Arbeitsblatt Geschwindigkeit berechnen übt die Formel, hier lernst du die Bilder dazu.

Zeit-Weg-Diagramme lesen

Das Diagramm zeigt die Radtour von Anna. Sie startet zu Hause und fährt zu einer Freundin. Sie zeigt an, wie weit sie zu jeder Zeit vom Start entfernt ist.

So liest du ein Diagramm in drei Schritten. Erstens: Schau auf die Achsen und die Einheiten. Hier sind es Stunden und Kilometer. Zweitens: Gehe von einem Zeitpunkt senkrecht nach oben bis zur Linie und dann waagerecht nach links zur Weg-Achse. Nach 1 Stunde ist Anna 20 km vom Start entfernt, nach 2,5 Stunden 35 km. Drittens: Teile die Linie in Abschnitte. Zwischen 1 und 1,5 Stunden verläuft sie waagerecht, Anna steht also. Nach 2,5 Stunden sinkt die Linie, Anna kehrt um und fährt Richtung Start.

Geschwindigkeit als Steigung

Die Geschwindigkeit sagt, wie viel Weg in einer Zeit zurückgelegt wird. Im Diagramm ist das die Steigung der Linie: wie viel sie nach oben geht, wenn du eine Einheit nach rechts gehst. Wie du die Steigung einer Geraden berechnest, steht auf der Seite Lineare Funktionen.

Die Einheit km/h liest sich „Kilometer pro Stunde“. Für andere Einheiten rechnest du um: 1 m/s sind 3,6 km/h. Ein Fußgänger mit 5 km/h legt also pro Sekunde etwa 1,4 m zurück, ein Auto mit 72 km/h genau 20 m. Die Zeiten kannst du mit der Seite Zeit: s, min, h, Tag umrechnen, etwa 30 Minuten in 0,5 Stunden.

Ein Zeit-Weg-Diagramm zeichnen

1. Achsen und Maßstab wählen. Die Zeit kommt waagerecht, der Weg senkrecht. Wähle den Maßstab so, dass die ganze Bewegung auf das Blatt passt, und halte ihn gleichmäßig ein.
2. Wertetabelle anlegen. Notiere für wichtige Zeitpunkte die Entfernung: Start, Beginn und Ende jeder Pause, Wendepunkte.
3. Punkte eintragen. Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem.
4. Mit dem Lineal verbinden. Bei gleichmäßiger Bewegung zwischen zwei Punkten ist die Verbindung eine Gerade.
5. Kontrollieren. Lies einige Werte zurück ab und vergleiche mit dem Text.

Wann treffen sich zwei Bewegungen?

Zeichnest du zwei Bewegungen in dasselbe Diagramm, zeigt der Schnittpunkt der Linien, wann und wo sie sich begegnen. Im Beispiel liegen zwei Orte A und B 60 km voneinander entfernt. Anna fährt in A los und radelt mit 15 km/h Richtung B. Ben fährt gleichzeitig in B los und fährt mit 25 km/h Richtung A.

Aus dem Bild liest du ab: Treffpunkt nach etwa 1,5 Stunden bei etwa 22,5 km. Genau rechnest du so: Zusammen legen die beiden pro Stunde 15 km + 25 km = 40 km zurück. Die 60 km sind nach 60 : 40 = 1,5 Stunden aufgebraucht. Anna ist dann 15 km/h · 1,5 h = 22,5 km von A entfernt. Rechnen mit Gleichungen geht ebenso: Anna s = 15 · t, Ben s = 60 − 25 · t. Gleichsetzen ergibt 15 · t = 60 − 25 · t, also 40 · t = 60 und t = 1,5. Das Gleichsetzen und seine Schritte findest du bei den Gleichungssystemen, der Schnittpunkt ist der gleiche wie bei zwei Geraden.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Bei einer Fahrt ändert sich die Geschwindigkeit ständig. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ersetzt sie durch eine einzige Zahl: den gesamten Weg geteilt durch die gesamte Zeit. Die Pausen zählen dabei mit. Bei Annas Radtour in der ersten Abbildung sind es 20 + 15 + 35 = 70 km in 4,5 Stunden, also etwa 15,6 km/h. Ohne die halbe Stunde Pause wären es 70 km in 4 Stunden, also 17,5 km/h. Für die Hinfahrt allein gilt: 35 km in 2,5 Stunden sind 14 km/h.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Wie die Bewegung ein Bild wurde

Die Griechen untersuchten Bewegung vor allem mit Worten, etwa in den Paradoxien von Zenon von Elea. Erst im 14. Jahrhundert zeichnete Oresme Eigenschaften, die sich ändern, als Figuren. Die Voraussetzung dafür war das Koordinatensystem, das René Descartes im 17. Jahrhundert in der Mathematik durchsetzte. Mit Newton und Leibniz kam die Frage dazu, wie schnell sich etwas in einem einzigen Augenblick ändert. Die Antwort ist die Ableitung: Sie gibt die Steigung der Tangente an die Kurve an, die Momentangeschwindigkeit. Das Tachometer im Auto zeigt genau diese Zahl. In der Schule begegnet dir diese Idee in der Oberstufe wieder.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Weg-Zeit-Diagramm
• Wikipedia: Geschwindigkeit
• MacTutor History of Mathematics: Nicole Oresme (englisch)