Analysis

Die Analysis ist die Mathematik der Veränderung. Sie beantwortet zwei Fragen: Wie schnell ändert sich eine Größe in einem einzigen Augenblick? Und wie groß ist die Fläche unter einer krummen Kurve? Die erste Frage führt zur Ableitung, die zweite zum Integral. Beide beruhen auf dem Grenzwert, und überraschenderweise sind sie zwei Seiten derselben Medaille.

Ein Beispiel: Der Tacho deines Autos zeigt 80 km/h. Doch in einem einzigen Augenblick legt das Auto gar keine Strecke zurück. Wie kann es dann eine Geschwindigkeit geben? Genau dieses Rätsel löst die Analysis. Diese Seite gibt dir den Überblick von den Folgen bis zum Hauptsatz. Du brauchst dafür sichere Kenntnisse über Funktionen und Potenzen.

Folgen und Grenzwerte

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen $a_1,a_2,a_3,\dots$, die nach einer Vorschrift gebildet wird. Bei $a_n=\frac{n}{n+1}$ lautet die Liste $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots$ Die Werte kommen der 1 immer näher, ohne sie je zu erreichen. Man sagt, die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 1, und schreibt $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$.

Grenzwerte lösen ein sehr altes Rätsel. Zenon von Elea fragte um 450 v. Chr., wie Achilles eine Schildkröte einholen kann, wenn er jedes Mal erst deren Vorsprung aufholen muss. Die Teilstrecken $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ sind unendlich viele, und doch ist ihre Summe endlich, nämlich 1. Der Grenzwert erklärt, wie das zusammenpasst.

Im Bild ist $\epsilon =\mathrm{0,1}$. Wegen $|\frac{n}{n+1}-1|=\frac{1}{n+1}$ gilt die Bedingung genau dann, wenn $n+1>10$ ist. Ab $n=10$ liegen also alle Punkte im Streifen. Verlangt jemand $\epsilon =\mathrm{0,001}$, wird die Toleranz ab $n=1.000$ eingehalten. Für jedes ε findet sich ein N, und das macht den Grenzwert streng.

Stetigkeit

Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn du ihren Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen. Genau gilt: $f$ ist an der Stelle a stetig, wenn der Grenzwert von $f\left(x\right)$ für x gegen a existiert und gleich $f\left(a\right)$ ist, also $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$. Polynome, Wurzeln, Sinus und Exponentialfunktion sind überall stetig, wo sie erklärt sind.

Es gibt drei typische Unstetigkeiten: den Sprung (etwa ein Tarif, der bei einer Grenze plötzlich teurer wird), die Polstelle (bei $\frac{1}{x}$ in x = 0) und die Lücke (bei $\frac{x^2-4}{x-2}$ in x = 2).

Der Satz hat eine Alltagsversion: Lag die Temperatur um 6 Uhr bei 3 °C und um 12 Uhr bei 15 °C, dann muss sie dazwischen irgendwann genau 10 °C erreicht haben, denn die Temperatur springt nicht. Genau so findest du Lösungen von Gleichungen, die du nicht umformen kannst.

Ableitung: die Steigung der Tangente

Die Steigung einer Geraden kennst du: Höhenunterschied geteilt durch Breite. Bei einer Kurve ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt. Um sie bei x zu messen, legst du durch den Punkt P(x | $f\left(x\right)$) und einen zweiten Punkt Q(x + h | $f(x+h)$) eine Sekante. Ihre Steigung heißt Differenzenquotient:

Lässt du h gegen null gehen, wandert Q auf P zu, und die Sekante wird zur Tangente, die die Kurve in P berührt. Ihre Steigung ist die Ableitung.

Die Ableitung hat eine anschauliche Bedeutung. Fällt ein Stein, gilt für den Weg etwa $s\left(t\right)=5t^2$ (in Metern, t in Sekunden). Die Ableitung $s\prime \left(t\right)=10t$ ist die Momentangeschwindigkeit: Nach 3 s fällt der Stein mit 30 m/s, das sind 108 km/h. Genau das misst der Tacho.

Ableitungsregeln im Überblick

Meist leitest du nicht mit dem Grenzwert ab, sondern mit Regeln. Alle lassen sich aus der Definition beweisen.

Die Kettenregel gehört zur Verkettung von Funktionen: Du leitest die äußere Funktion ab und multiplizierst mit der Ableitung der inneren. Die Funktionen $e^x$ und $\ln x$ sind Umkehrungen voneinander, wie auf der Seite über Logarithmen erklärt.

Extremstellen finden

An einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagerecht, also gilt $f\prime \left(x\right)=0$. Ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, verrät die zweite Ableitung $f\prime \prime$, die Ableitung der Ableitung: Bei $f\prime \prime \left(x\right)>0$ ist es ein Tiefpunkt, bei $f\prime \prime \left(x\right)<0$ ein Hochpunkt.

Integral: die Fläche unter der Kurve

Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse? Bei geraden Linien rechnest du mit Rechtecken und Dreiecken. Bei Kurven nähert man die Fläche durch schmale Rechtecke an: Je schmaler sie sind, desto genauer wird das Ergebnis. Für $f\left(x\right)=x^2$ zwischen 0 und 2 siehst du vier Rechtecke der Breite 0,5.

Die niedrigen Rechtecke liegen unter der Kurve und ergeben die Untersumme 1,75, denn $\mathrm{0,5}·(0+\mathrm{0,25}+1+\mathrm{2,25})=\mathrm{1,75}$. Die hohen Rechtecke überragen die Kurve und ergeben die Obersumme $\mathrm{0,5}·(\mathrm{0,25}+1+\mathrm{2,25}+4)=\mathrm{3,75}$. Die gesuchte Fläche liegt zwischen beiden. Mit mehr Rechtecken rücken die Summen zusammen:

Im Beispiel streben beide Summen auf 2,666… zu, das ist $\frac{8}{3}$. Das Verfahren ist nützlich, weil Flächen oft etwas anderes bedeuten: Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die Fläche unter der Kurve der zurückgelegte Weg, im Leistungs-Zeit-Diagramm die verbrauchte Energie. Wie man den Wert ohne Tausende Rechtecke findet, zeigt der Hauptsatz.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Eine Stammfunktion $F$ von $f$ ist eine Funktion, deren Ableitung $f$ ist: $F\prime =f$. Zum Beispiel ist $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$ eine Stammfunktion von $f\left(x\right)=x^2$, denn $\left(\frac{x^3}{3}\right)\prime =x^2$. Der Hauptsatz sagt: Integrieren ist das Umkehren des Ableitens. Das ist erstaunlich, denn Steigung und Fläche haben auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun.

Warum gilt das? Stell dir ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm vor. Die Fläche unter der Kurve von 0 bis t ist der Weg $s\left(t\right)$. Wird t um eine winzige Zeitspanne größer, wächst die Fläche um einen schmalen Streifen, nämlich ungefähr Geschwindigkeit mal Zeitspanne. Die Fläche wächst also mit der Rate $v\left(t\right)$, und das heißt: Die Ableitung der Flächenfunktion ist die Geschwindigkeit. Deshalb ist die Flächenfunktion eine Stammfunktion.

Anwendungen der Analysis

Die Analysis ist das Werkzeug der Naturwissenschaften und der Technik. In der Physik ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit. Bei Wachstum und Zerfall folgt aus „die Änderung ist proportional zum Bestand“ die Exponentialfunktion. In der Wirtschaft liefert die Ableitung die Grenzkosten, in der Medizin beschreibt sie, wie schnell ein Wirkstoff abgebaut wird. Auch beim Training künstlicher Intelligenz suchen Computer mit Ableitungen den tiefsten Punkt einer Fehlerfunktion.

Geschichte: von der Ausschöpfung zur exakten Analysis

Archimedes: Flächen durch Ausschöpfen

Vor über 2.200 Jahren berechnete Archimedes (ca. 287–212 v. Chr.) die Fläche eines Parabelsegments. Er füllte es mit immer kleineren Dreiecken aus. Mit dem ersten Dreieck $T$ kommt die Reihe $T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\dots =\frac{4}{3}T$ heraus. Das ist ein Integral in Kindergestalt, doch einen Grenzwert im heutigen Sinn kannte er nicht. Er stützte sich auf die Methode der Ausschöpfung von Eudoxos und bewies das Ergebnis durch einen doppelten Widerspruch.

Newton und Leibniz: der Kalkül

Im 17. Jahrhundert häuften sich Teilergebnisse. Cavalieri berechnete Flächen mit „Unteilbaren“, Fermat fand Tangenten und Extremwerte. Isaac Newton entwickelte in den Pestjahren 1665 und 1666 seine Fluxionsrechnung, in der Größen „fließen“. Gottfried Wilhelm Leibniz fand um 1675 seinen Kalkül mit den Zeichen d und ∫ und veröffentlichte 1684 als Erster. Beide erkannten, dass Ableiten und Integrieren einander umkehren. Ihre Schreibweisen unterscheiden sich: Heute benutzt man meist die von Leibniz.

Cauchy, Weierstraß und Riemann: Strenge

Newton und Leibniz rechneten mit „unendlich kleinen“ Größen, die niemand sauber erklären konnte. Der Philosoph George Berkeley spottete 1734 über die „Geister verstorbener Größen“. Augustin-Louis Cauchy gab im Cours d’analyse (1821) dem Grenzwert und der Stetigkeit eine klare Fassung. Karl Weierstraß verfeinerte sie in seinen Berliner Vorlesungen zur ε-δ-Sprache, die ganz ohne Unendlichkleines auskommt. Bernhard Riemann definierte 1854 in seiner Habilitationsschrift das Integral als Grenzwert von Rechtecksummen, so wie du es auf dieser Seite kennengelernt hast.

Wie die Winkelfunktionen abgeleitet werden und wo sie vorkommen, erfährst du in der Trigonometrie.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Integral?

Die Ableitung misst die Steigung einer Funktion in einem Punkt, das Integral die Fläche unter ihrem Graphen. Nach dem Hauptsatz sind beide Umkehrungen voneinander.

Warum muss man Grenzwerte so streng definieren?

Ohne Grenzwertbegriff führen „unendlich kleine“ Größen zu Widersprüchen, etwa beim Teilen durch null. Die ε-Definition vermeidet das, weil sie nur mit gewöhnlichen Zahlen arbeitet.

Wozu braucht man die zweite Ableitung?

Sie misst, wie sich die Steigung ändert. In der Physik ist sie die Beschleunigung, am Graphen verrät sie die Krümmung: Bei $f\prime \prime \left(x\right)>0$ biegt sich die Kurve nach oben, bei $f\prime \prime \left(x\right)<0$ nach unten. Wechselt das Vorzeichen, liegt ein Wendepunkt vor.

Wann lerne ich Analysis in der Schule?

In der Regel in der gymnasialen Oberstufe. Im Studium folgt die strenge Begründung in der Vorlesung „Analysis“.

Quellen und weiterführende Literatur

• Carl B. Boyer: The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover Publications, New York 1959.
• Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung, Band 1, Springer, Berlin 1949.
• MacTutor History of Mathematics: Isaac Newton (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm von Leibniz (englisch)
• Wikipedia: Analysis