Mittelalterliche europäische Mathematik

Die mittelalterliche europäische Mathematik umfasst die Zeit vom Ende des Weströmischen Reiches um 500 bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts, als der Buchdruck aufkam. Sie beginnt bescheiden: Im lateinischen Westen waren nur Bruchstücke der griechischen Mathematik bekannt, man schrieb Zahlen mit römischen Zahlzeichen und rechnete mit den Fingern oder auf dem Rechenbrett. Am Ende der Epoche gab es Universitäten, an denen über Bewegung, Unendlichkeit und Verhältnisse nachgedacht wurde, Kaufleute, die mit indisch-arabischen Ziffern Buch führten, und erste Ansätze einer eigenständigen europäischen Algebra und Trigonometrie.

Den Wendepunkt brachte das 12. Jahrhundert. Übersetzer in Spanien und Italien übertrugen griechische und arabische Werke ins Lateinische, darunter Euklids „Elemente“ und die Algebra des al-Chwarizmi. 1202 veröffentlichte Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, sein Rechenbuch Liber Abaci, das die neuen Ziffern in die italienischen Handelsstädte trug. Im 14. Jahrhundert entwickelte Nikolaus von Oresme Ideen zu Funktionsgraphen und unendlichen Reihen, die erst Jahrhunderte später wieder aufgegriffen wurden.

Das Mittelalter war damit keine mathematisch „finstere“ Zeit, sondern eine Epoche des Aufholens, Aneignens und vorsichtigen Weiterdenkens. Ohne sie wäre der Aufschwung der Mathematik im 16. Jahrhundert nicht denkbar gewesen.

Ein „finsteres Mittelalter“? Zur Einordnung

Lange galt das europäische Mittelalter als Zeit des wissenschaftlichen Stillstands, in der Gelehrte über theologische Spitzfindigkeiten stritten, während anderswo geforscht wurde. Richtig ist: Im Vergleich mit der Mathematik der islamischen Welt, mit Indien oder China war das lateinische Europa zwischen 500 und 1100 mathematisch rückständig. Mit dem Zerfall des Weströmischen Reiches gingen Schulen, Bibliotheken und die Kenntnis des Griechischen im Westen weitgehend verloren. Die großen Werke von Euklid, Archimedes oder Ptolemäus waren dort nicht oder nur in Auszügen verfügbar.

Das Bild vom völligen Stillstand ist dennoch ein Zerrbild. Es geht vor allem auf Humanisten der Renaissance und Aufklärer zurück, die sich von der Zeit vor ihnen absetzen wollten. Im Byzantinischen Reich wurden die griechischen Handschriften weiter abgeschrieben; viele antike Texte kennen wir nur dank byzantinischer Kopien. Im Westen hielten Klöster und Domschulen ein Grundwissen lebendig, und ab dem 12. Jahrhundert holte Europa in erstaunlichem Tempo auf.

Frühmittelalter: Boethius, Klöster und Osterrechnung

Die Brücke von der Antike ins Mittelalter schlug der römische Gelehrte und Staatsmann Boethius (um 480–524). Er plante, die wichtigsten griechischen Schriften ins Lateinische zu übertragen, wurde aber unter dem Ostgotenkönig Theoderich wegen angeblichen Hochverrats hingerichtet. Erhalten ist vor allem seine De institutione arithmetica, eine freie Bearbeitung der Zahlenlehre des Nikomachos von Gerasa. Sie behandelt gerade und ungerade, vollkommene und figurierte Zahlen sowie Verhältnisse und Mittelwerte: Zahlentheorie im pythagoreischen Sinn, ohne praktische Rechenverfahren. Von seiner Geometrie, die Teile der „Elemente“ enthielt, sind nur Bruchstücke überliefert.

Boethius prägte auch den Begriff Quadrivium für die vier mathematischen Fächer Arithmetik, Geometrie, Musik und Astronomie. Zusammen mit dem sprachlichen Trivium (Grammatik, Rhetorik, Dialektik) bildeten sie die sieben freien Künste, das Bildungsprogramm des ganzen Mittelalters. Cassiodor und Isidor von Sevilla fassten das Wissen der Spätantike in Handbüchern zusammen, die in den Klöstern immer wieder abgeschrieben wurden.

Die wichtigste Anwendung der Mathematik im frühen Mittelalter war der Computus, die Berechnung des Osterdatums. Ostern fällt auf den ersten Sonntag nach dem ersten Frühlingsvollmond. Um diesen Tag für Jahre im Voraus zu bestimmen, musste man Mondzyklen und Sonnenjahr miteinander in Einklang bringen. Der angelsächsische Mönch Beda Venerabilis (672/673–735) schrieb dazu 725 das Lehrbuch De temporum ratione. Es beginnt mit einer Anleitung zum Fingerrechnen, bei dem man mit bestimmten Fingerhaltungen Zahlen bis 9.999 darstellen konnte. Beda verbreitete außerdem die Jahreszählung nach Christi Geburt.

Am Hof Karls des Großen sammelte Alkuin von York (um 735–804) Gelehrte um sich und erneuerte das Schulwesen. Ihm wird die Sammlung Propositiones ad acuendos iuvenes („Aufgaben zur Schärfung des Verstandes der Jugend“) zugeschrieben, die älteste lateinische Sammlung mathematischer Unterhaltungsaufgaben.

Römische Zahlen, Rechenbrett und Fingerrechnen

Im Alltag schrieb man Zahlen mit römischen Zahlzeichen. Für Rechnungen waren sie kaum geeignet, denn sie kennen weder Stellenwert noch Null: Mit MDCCCLXXXVIII und XLIV lässt sich nicht schriftlich multiplizieren wie mit 1888 und 44. Gerechnet wurde deshalb mit Hilfsmitteln, mit den Fingern oder auf dem Rechenbrett (Abakus). Das war eine Tafel oder ein Tuch mit Linien, auf denen Rechensteine (calculi, „Steinchen“) für Einer, Zehner, Hunderter und so weiter verschoben wurden. Nur das Ergebnis wurde wieder in römischen Zahlen notiert.

Primitiv war das Rechenbrett keineswegs: Geübte Rechner addierten und subtrahierten darauf schnell und sicher. Es blieb in Europa bis ins 16. Jahrhundert verbreitet; in Deutschland lehrte Adam Ries noch 1518 das „Rechnen auf den Linien“. Das Wort „kalkulieren“ (von calculus) und das englische Exchequer für das Schatzamt, benannt nach dem karierten Rechentuch, erinnern bis heute an diese Praxis.

Gerbert von Aurillac und der Kolumnenabakus

Die erste Begegnung des lateinischen Europas mit den indisch-arabischen Ziffern verbindet sich mit Gerbert von Aurillac (um 950–1003). Der junge Mönch aus der Auvergne verbrachte die Jahre von etwa 967 bis 970 in Katalonien, das an das muslimische al-Andalus grenzte. In Vic und im Kloster Ripoll lernte er dort Mathematik und Astronomie. Später leitete er die Domschule von Reims, wurde Erzbischof von Reims und Ravenna und bestieg 999 als Silvester II. den Papstthron. Seine ungewöhnliche Gelehrsamkeit trug ihm nach seinem Tod die Legende ein, er habe mit dem Teufel im Bund gestanden.

Gerbert führte an seiner Schule einen Kolumnenabakus ein, ein Rechenbrett mit senkrechten Spalten für Einer, Zehner, Hunderter und so weiter. Statt vieler gleicher Steine legte man in jede Spalte eine einzige Marke aus Horn, auf der eine Zahl von 1 bis 9 stand. Die Zeichen darauf, apices genannt, stammen von den westarabischen Ziffern ab. Eine Null brauchte man nicht, denn eine leere Spalte blieb einfach leer. Gerberts Abakus zeigt, dass der Stellenwertgedanke im Westen angekommen war, nicht aber das schriftliche Rechnen. Im Umfeld seiner Schüler entstanden im 11. Jahrhundert zahlreiche Lehrschriften über den Abakus.

Die Übersetzungswelle des 12. Jahrhunderts

Im 12. Jahrhundert öffnete sich Europa dem Wissen der islamischen Welt. Mit der Eroberung Toledos durch Kastilien 1085 kam eine Stadt mit reichen arabischen Bibliotheken unter christliche Herrschaft; auch das normannische Sizilien wurde zu einem Ort des Austauschs. Gelehrte aus ganz Europa reisten nach Spanien, um dort arabische Texte ins Lateinische zu übertragen, oft mit Hilfe jüdischer und mozarabischer Dolmetscher.

• Adelard von Bath übersetzte in den 1120er-Jahren Euklids „Elemente“ aus dem Arabischen und 1126 die astronomischen Tafeln al-Chwarizmis.
• Robert von Chester übertrug 1145 in Segovia al-Chwarizmis Algebra ins Lateinische (Liber algebrae et almucabola).
• Gerhard von Cremona (um 1114–1187) übersetzte in Toledo mehr als 70 Werke, darunter 1175 den „Almagest“ des Ptolemäus, die „Elemente“ und erneut al-Chwarizmis Algebra.
• Lateinische Bearbeitungen von al-Chwarizmis Rechenbuch, beginnend mit den Worten Dixit Algorizmi, machten das Rechnen mit indischen Ziffern bekannt. Daraus entstand der Begriff „Algorismus“.

Um 1260 stellte Campanus von Novara aus verschiedenen Übersetzungen eine lateinische Euklid-Ausgabe zusammen. Sie wurde zum Standardtext der Universitäten und erschien 1482 in Venedig als erster gedruckter Euklid. Werke des Archimedes übersetzte Wilhelm von Moerbeke 1269 direkt aus dem Griechischen.

Abakisten gegen Algoristen: der lange Weg der neuen Ziffern

Mit den Übersetzungen traten zwei Arten zu rechnen in Konkurrenz. Die Abakisten rechneten weiter auf dem Rechenbrett und schrieben ihre Ergebnisse in römischen Zahlen. Die Algoristen, benannt nach al-Chwarizmi, rechneten schriftlich mit den neun indisch-arabischen Ziffern und der Null. Lehrgedichte wie das Carmen de algorismo des Alexander de Villa Dei (um 1200) und der Algorismus des Johannes de Sacrobosco (um 1230) machten das Ziffernrechnen an Schulen und Universitäten bekannt.

Der Übergang dauerte Jahrhunderte. Die neuen Ziffern erlaubten schriftliche Multiplikation und Division und machten Rechenwege nachprüfbar. Sie galten aber auch als fälschungsanfällig, weil sich etwa aus einer 0 mit einem Federstrich eine 6 oder 9 machen ließ. 1299 untersagte die Zunft der Geldwechsler in Florenz ihren Mitgliedern, Beträge in den Geschäftsbüchern mit den neuen Ziffern zu schreiben; zum Rechnen durften sie sie weiter verwenden. Viele Kaufleute und Behörden führten ihre Bücher noch bis ins 16. Jahrhundert in römischen Zahlen.

Leonardo von Pisa und der Liber Abaci

Den Durchbruch der neuen Ziffern im Handel leitete Leonardo von Pisa (ca. 1170–nach 1240) ein. Den Beinamen Fibonacci, eine Verkürzung von filius Bonacci („Sohn des Bonacci“), erhielt er erst durch Historiker des 19. Jahrhunderts. Sein Vater war als Beamter für die Pisaner Kaufleute in Bugia tätig, dem heutigen Béjaïa in Algerien, und ließ den Sohn dort im Rechnen unterrichten. Auf Reisen nach Ägypten, Syrien, Byzanz, Sizilien und in die Provence lernte Leonardo die Rechenverfahren der arabischen Welt gründlich kennen.

1202 erschien sein Liber Abaci („Buch der Rechenkunst“), 1228 eine überarbeitete Fassung. Trotz des Titels geht es nicht um das Rechenbrett, sondern um das Rechnen mit Ziffern. Gleich zu Beginn erklärt Leonardo, dass man mit den neun indischen Zeichen und dem Zeichen 0 jede Zahl schreiben könne. Danach behandelt er Grundrechenarten, Bruchrechnung, Dreisatz, Münz- und Maßumrechnung, Gesellschafts- und Zinsrechnung, Wurzeln und Algebra nach arabischem Vorbild. Viele Aufgaben übernahm er von al-Chwarizmi und Abu Kamil.

Weitere Werke zeigen Leonardo als eigenständigen Mathematiker: die Practica geometriae (1220) und das Liber quadratorum (1225) über Quadratzahlen, das ihn als bedeutendsten Zahlentheoretiker zwischen Diophant und Fermat ausweist. Kaiser Friedrich II. ließ ihm an seinem Hof Aufgaben stellen, und die Stadt Pisa gewährte ihm 1240 ein Ehrengehalt.

Der Liber Abaci begründete in Italien die Tradition der Abakusschulen (scuole d’abaco). In Florenz, Venedig oder Pisa lernten Kaufmannssöhne bei Rechenmeistern, den maestri d’abaco, das Ziffernrechnen, Wechselkurse, Zinsrechnung und einfache Algebra. Aus ihren Lehrbüchern ging die italienische Algebra hervor, die im 16. Jahrhundert die kubische Gleichung lösen sollte. Zugleich bildete sich in den italienischen Handelshäusern die doppelte Buchführung heraus, ein neues Anwendungsfeld für das Rechnen mit Ziffern.

Universitäten und Scholastik: von Jordanus bis zu den Oxford Calculators

Um 1200 entstanden in Bologna, Paris und Oxford die ersten Universitäten. Jeder Student durchlief zunächst die Artistenfakultät mit den sieben freien Künsten; Arithmetik, Geometrie und Astronomie gehörten dazu, wenn auch oft nur auf elementarem Niveau. Gelesen wurden vor allem die ersten Bücher der „Elemente“, Sacroboscos Algorismus und seine Einführung in die Kugelgeometrie, De sphaera.

Einige Gelehrte gingen deutlich weiter. Jordanus Nemorarius verwendete im 13. Jahrhundert in Schriften wie De numeris datis Buchstaben als Platzhalter für beliebige Zahlen. Allerdings bekam bei ihm jedes Zwischenergebnis einen neuen Buchstaben, sodass noch keine Formeln im heutigen Sinn entstanden. Der jüdische Gelehrte Levi ben Gerson bewies 1321 Sätze der Kombinatorik, etwa über die Zahl der möglichen Anordnungen von n Dingen, mit einem Schluss von n auf n + 1.

Am Merton College in Oxford entwickelte in den 1330er-Jahren eine Gruppe von Gelehrten um Thomas Bradwardine (um 1300–1349), die Oxford Calculators, eine mathematische Beschreibung von Bewegung. Sie unterschieden gleichförmige und gleichförmig beschleunigte Bewegung und formulierten die Merton-Regel: Ein Körper, der aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt, legt in einer bestimmten Zeit denselben Weg zurück wie ein Körper, der sich die ganze Zeit mit der Geschwindigkeit bewegt, die der erste in der Mitte der Zeitspanne erreicht. Rund 300 Jahre später wurde dieser Satz zu einem Baustein von Galileis Fallgesetz.

Nikolaus von Oresme: Diagramme, Reihen und Potenzen

Der vielseitigste Mathematiker des späten Mittelalters war der Franzose Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382). Er studierte und lehrte in Paris, übersetzte für König Karl V. Schriften des Aristoteles ins Französische und wurde 1377 Bischof von Lisieux. Drei seiner Ideen machen ihn zu einem Vorläufer der neuzeitlichen Mathematik.

Veränderliche Größen im Diagramm

In seiner Schrift Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (um 1350) stellte Oresme veränderliche Größen wie Geschwindigkeit oder Wärme grafisch dar. Auf einer waagerechten Grundlinie (longitudo) trug er etwa die Zeit ab, senkrecht darüber (latitudo) die jeweilige Stärke der Größe. Eine gleichförmige Bewegung ergab ein Rechteck, eine gleichmäßig beschleunigte ein Dreieck oder Trapez. Die Fläche der Figur entsprach dem zurückgelegten Weg; so konnte Oresme die Merton-Regel durch einen einfachen Flächenvergleich beweisen. Ein Koordinatensystem im Sinne von René Descartes war das noch nicht, wohl aber die Grundidee des Funktionsgraphen.

Die harmonische Reihe wächst über alle Grenzen

In seinen Quaestiones super geometriam Euclidis zeigte Oresme als Erster, dass die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … keinen endlichen Wert hat, obwohl ihre Glieder immer kleiner werden. Sein Argument wird bis heute in jeder Analysis-Vorlesung verwendet: Man fasst die Glieder in Gruppen zusammen, von denen jede mindestens ½ ergibt.

Da man unendlich viele solcher Gruppen bilden kann, wächst die Summe über jede Schranke. Im 17. Jahrhundert fanden Pietro Mengoli und die Brüder Bernoulli den Beweis neu.

Gebrochene Exponenten

In De proportionibus proportionum (um 1360) rechnete Oresme mit „Verhältnissen von Verhältnissen“ und kam dabei auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Er erkannte etwa, dass man ein Verhältnis „anderthalbfach“ nehmen kann, was in heutiger Schreibweise einer Potenz wie 2^3/2 = √8 entspricht, und gab Rechenregeln dafür an. Außerdem fragte er, ob die Umlaufzeiten der Himmelskörper in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen, und hielt es für wahrscheinlicher, dass sie inkommensurabel sind.

Das 15. Jahrhundert: Cusanus, Regiomontanus und der Buchdruck

Nikolaus von Kues

Nikolaus von Kues (Cusanus, 1401–1464), Kardinal, Philosoph und Kirchenpolitiker, beschäftigte sich zeitlebens mit Mathematik. In De docta ignorantia („Über die belehrte Unwissenheit“, 1440) dachte er mit mathematischen Bildern über das Unendliche nach: Ein Kreis mit unendlich großem Radius falle mit einer Geraden zusammen, und ein Vieleck nähere sich mit wachsender Eckenzahl dem Kreis, ohne ihn je zu erreichen. Er bestritt, dass die Erde der ruhende Mittelpunkt des Weltalls sei. Elliptische Planetenbahnen, wie gelegentlich behauptet wird, sagte er jedoch nicht voraus; diese fand erst Johannes Kepler 1609. Seine Versuche, den Kreis zu quadrieren, blieben erfolglos und wurden von Regiomontanus kritisiert. Philosophiehistoriker sehen in Cusanus einen frühen Vordenker des Unendlichen, das Georg Cantor im 19. Jahrhundert mathematisch fassbar machte.

Regiomontanus

Der bedeutendste Mathematiker des 15. Jahrhunderts war Johannes Müller aus Königsberg in Franken (1436–1476), der sich nach seiner Heimatstadt Regiomontanus nannte. Er studierte in Leipzig und Wien, wo er Schüler und Mitarbeiter des Astronomen Georg von Peuerbach wurde. Nach dessen Tod 1461 vollendete er die gemeinsame Kurzfassung des „Almagest“, die 1496 gedruckt wurde und Generationen von Astronomen, auch Nikolaus Kopernikus, als Lehrbuch diente.

Sein Hauptwerk De triangulis omnimodis („Über Dreiecke aller Art“, verfasst 1462–1464) ist die erste europäische Darstellung der ebenen und sphärischen Trigonometrie als eigenständiges Fach, mit dem Sinussatz und vielen Musteraufgaben. Regiomontanus stützte sich dabei stark auf arabische Vorlagen, vor allem auf Dschabir ibn Aflah aus Sevilla, ohne ihn zu nennen; Gerolamo Cardano warf ihm später deshalb Plagiat vor. Gedruckt wurde das Werk erst 1533 in Nürnberg. Tangenstafeln veröffentlichte Regiomontanus in seinen Tabulae directionum.

1471 ließ er sich in Nürnberg nieder und richtete eine eigene Druckerei ein, um mathematische und astronomische Texte fehlerfrei zu verbreiten. Seine Ephemeriden (gedruckt 1474) mit Gestirnspositionen für die Jahre 1475 bis 1506 nutzten auch Seefahrer des Entdeckungszeitalters. 1476 starb Regiomontanus in Rom, wohin ihn der Papst wegen einer geplanten Kalenderreform gerufen hatte, vermutlich an einer Seuche. Gerüchte über eine Vergiftung sind nicht belegt.

Buchdruck und erste gedruckte Rechenbücher

Um 1450 entwickelte Johannes Gutenberg in Mainz den Buchdruck mit beweglichen Lettern. Für die Mathematik war das ein tiefer Einschnitt: Tabellen, Figuren und Rechenwege ließen sich nun ohne Abschreibfehler in hoher Auflage verbreiten. 1478 erschien in Treviso das erste gedruckte Rechenbuch, ein anonymes Lehrbuch für Kaufleute in italienischer Sprache; 1482 folgte in Venedig der erste Druck der „Elemente“. In Frankreich schrieb Nicolas Chuquet 1484 seinen Triparty mit Namen für große Zahlen wie „Billion“ und einer Schreibweise für negative Exponenten. Das Werk blieb allerdings ungedruckt. Mit den gedruckten Rechenbüchern begann die Zeit der Rechenmeister, die das 16. Jahrhundert prägen sollte.

Wichtige Persönlichkeiten

• Boethius (um 480–524): Zahlenlehre nach Nikomachos, Begriff Quadrivium
• Beda Venerabilis (672/673–735): Osterrechnung, Fingerrechnen, Zeitrechnung nach Christi Geburt
• Alkuin von York (um 735–804): Schulreform unter Karl dem Großen, Sammlung von Rechenrätseln
• Gerbert von Aurillac, Papst Silvester II. (um 950–1003): Kolumnenabakus mit apices
• Adelard von Bath, Robert von Chester, Gerhard von Cremona (12. Jh.): Übersetzungen aus dem Arabischen
• Leonardo von Pisa (Fibonacci) (ca. 1170–nach 1240): Liber Abaci, Liber quadratorum
• Jordanus Nemorarius (13. Jh.): Buchstaben als allgemeine Zahlzeichen
• Thomas Bradwardine (um 1300–1349): Oxford Calculators, mathematische Bewegungslehre
• Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382): Diagramme, harmonische Reihe, gebrochene Exponenten
• Nikolaus von Kues (1401–1464): Unendlichkeit, Annäherung des Kreises durch Vielecke
• Regiomontanus (1436–1476): Trigonometrie, Ephemeriden, wissenschaftlicher Buchdruck

Zeitleiste der mittelalterlichen europäischen Mathematik

1. um 500 Boethius verfasst De institutione arithmetica, das Arithmetiklehrbuch des Mittelalters.
2. 725 Beda Venerabilis schreibt De temporum ratione über Osterrechnung und Fingerrechnen.
3. um 980 Gerbert von Aurillac lehrt in Reims mit dem Kolumnenabakus und den apices.
4. 1145 Robert von Chester übersetzt al-Chwarizmis Algebra ins Lateinische.
5. 1202 Leonardo von Pisa veröffentlicht den Liber Abaci.
6. 1299 Die Florentiner Geldwechsler verbieten indisch-arabische Ziffern in ihren Geschäftsbüchern.
7. um 1335 Die Oxford Calculators formulieren die Merton-Regel.
8. um 1350 Nikolaus von Oresme stellt veränderliche Größen in Diagrammen dar und beweist die Divergenz der harmonischen Reihe.
9. 1440 Nikolaus von Kues veröffentlicht De docta ignorantia.
10. um 1450 Johannes Gutenberg entwickelt in Mainz den Buchdruck mit beweglichen Lettern.
11. 1464 Regiomontanus vollendet De triangulis omnimodis.
12. 1478 In Treviso erscheint das erste gedruckte Rechenbuch.

Erbe: Was das Mittelalter der Neuzeit hinterließ

Um 1450 hatte das lateinische Europa den Rückstand gegenüber der islamischen Welt weitgehend aufgeholt. Es besaß Euklid, Ptolemäus und Teile des Archimedes in lateinischer Sprache, kannte die Algebra al-Chwarizmis und rechnete zunehmend mit indisch-arabischen Ziffern. Die Universitäten hatten Mathematik fest im Lehrplan verankert, und der Buchdruck stand bereit, um Wissen schneller zu verbreiten als je zuvor.

Mehrere Fäden führen direkt in die Neuzeit. Aus den italienischen Abakusschulen ging die Algebra hervor, mit der Luca Pacioli, Tartaglia und Cardano im 16. Jahrhundert die Gleichungen dritten und vierten Grades bewältigten. Die Rechenbücher der Kaufleute fanden ihre Fortsetzung bei deutschen Rechenmeistern wie Adam Ries. Regiomontanus’ Trigonometrie wurde zum Werkzeug von Kopernikus und seinen Nachfolgern, und Oresmes Diagramme und die Merton-Regel nahmen Ideen vorweg, die Galilei und Descartes im 17. Jahrhundert ausarbeiteten. Wie es weiterging, zeigt der Artikel über die Mathematik des 16. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

War das Mittelalter für die Mathematik ein „dunkles Zeitalter“?

Nur teilweise. Im frühen Mittelalter war das lateinische Europa gegenüber Byzanz, der islamischen Welt, Indien und China mathematisch rückständig. Ab dem 12. Jahrhundert holte es jedoch durch Übersetzungen, Universitäten und Gelehrte wie Leonardo von Pisa und Nikolaus von Oresme rasch auf.

Wann setzten sich die arabischen Ziffern in Europa durch?

Gerbert von Aurillac kannte die Ziffernzeichen schon um 980, und Leonardo von Pisa warb 1202 im Liber Abaci für das schriftliche Rechnen. Im Alltag setzten sie sich aber erst im 15. und 16. Jahrhundert durch, gefördert durch gedruckte Rechenbücher.

Was ist der Unterschied zwischen Abakisten und Algoristen?

Abakisten rechneten mit Rechensteinen auf dem Rechenbrett und schrieben Zahlen römisch. Algoristen rechneten schriftlich mit den indisch-arabischen Ziffern einschließlich der Null. Ihr Name geht auf al-Chwarizmi zurück.

Wer war Fibonacci?

Fibonacci ist der spätere Beiname des Kaufmannssohns Leonardo von Pisa (ca. 1170–nach 1240). Sein Liber Abaci von 1202 machte die indisch-arabischen Ziffern in Italien bekannt; die nach ihm benannte Zahlenfolge stammt aus einer Aufgabe dieses Buches.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Menso Folkerts: Essays on Early Medieval Mathematics. The Latin Tradition, Ashgate (Variorum), Aldershot 2003.
• Laurence E. Sigler: Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation, Springer, New York 2002.
• Edward Grant (Hrsg.): A Source Book in Medieval Science, Harvard University Press, Cambridge (Massachusetts) 1974.
• MacTutor History of Mathematics: Gerbert of Aurillac (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Nicole Oresme (englisch)