Griechische Mathematik

Die griechische Mathematik der klassischen Zeit umfasst rund drei Jahrhunderte: von den ersten Nachrichten über Thales von Milet um 600 v. Chr. bis zum Tod Alexanders des Großen 323 v. Chr. In dieser Zeit veränderte sich weniger der Stoff, denn vieles davon kannten Babylonier und Ägypter längst. Neu war die Art, mit ihm umzugehen. Griechische Denker begannen, mathematische Aussagen allgemein zu formulieren und sie aus wenigen anerkannten Grundsätzen logisch herzuleiten. Damit entstand der Beweis, bis heute das Markenzeichen der Mathematik.

Zum ersten Mal verbinden sich in dieser Epoche auch Namen mit Entdeckungen: Thales, Pythagoras, Zenon, Hippokrates von Chios, Eudoxos. Allerdings ist fast keine Schrift aus dieser Zeit erhalten. Das heutige Wissen stammt überwiegend aus späteren Berichten, die teils Jahrhunderte nach den Ereignissen entstanden. Wer sich mit der frühen griechischen Mathematik beschäftigt, muss deshalb immer zwischen gesicherten Ergebnissen, plausiblen Zuschreibungen und Legenden unterscheiden.

Die klassische Epoche endet nicht mit einem Bruch. Ihre Ergebnisse flossen in die großen Lehrbücher der folgenden hellenistischen Mathematik ein, allen voran in Euklids „Elemente“, die um 300 v. Chr. in Alexandria entstanden.

Historischer Kontext: Stadtstaaten, Handel und Streitkultur

Ein „griechisches Reich“ gab es in dieser Zeit nicht. Die griechische Welt bestand aus Hunderten selbstständiger Stadtstaaten (poleis), die sich vom Schwarzen Meer über die Westküste Kleinasiens bis nach Sizilien und Süditalien verteilten. Gerade die Randgebiete waren wissenschaftlich aktiv: In Milet an der ionischen Küste wirkte Thales, in Kroton und Tarent in Süditalien die Pythagoreer, in Elea Parmenides und Zenon. Erst im 5. Jahrhundert v. Chr. wurde Athen zum Mittelpunkt des geistigen Lebens.

Die Griechen eroberten Ägypten und Mesopotamien in dieser Zeit nicht; das geschah erst unter Alexander. Sie kamen aber über Handel, Reisen und Söldnerdienste mit beiden Kulturen in Kontakt. Ionien selbst gehörte ab etwa 546 v. Chr. zum Perserreich, das auch Babylonien und Ägypten umfasste. Berichte, Thales und Pythagoras hätten in Ägypten oder Babylon gelernt, stammen erst aus späterer Zeit.

Warum ausgerechnet hier der Beweis entstand, ist umstritten. Genannt werden die Streitkultur der Polis, in der Bürger in Versammlungen und vor Gericht argumentieren mussten, das Fehlen einer Schreiberkaste mit Wissensmonopol und die aufkommende Philosophie, die nach den Gründen der Dinge fragte.

Die Quellenlage

Aus der klassischen Zeit ist kein einziges mathematisches Lehrbuch vollständig erhalten. Die wichtigste verlorene Quelle ist die „Geschichte der Geometrie“ des Eudemos von Rhodos, eines Schülers des Aristoteles. Auszüge daraus überliefert der Neuplatoniker Proklos (5. Jahrhundert n. Chr.) in seinem Kommentar zu Euklid, und Simplikios (6. Jahrhundert n. Chr.) zitiert aus ihr den Beweis des Hippokrates über die Möndchen. Hinzu kommen Bemerkungen bei Platon und Aristoteles.

Zahlen und Rechnen: attische Zahlzeichen und Rechenbrett

Für den Alltag benutzten die Griechen der klassischen Zeit die attischen oder herodianischen Zahlzeichen. Inschriften belegen sie spätestens seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. Das System ist dezimal und akrophon: Die meisten Zeichen sind die Anfangsbuchstaben der Zahlwörter.

Für 50, 500, 5.000 und 50.000 gab es zusammengesetzte Zeichen: ein Π, in das ein kleines Δ, Η, Χ oder Μ eingeschrieben war. Zahlen entstanden durch Aneinanderreihen, ganz ähnlich wie später bei den römischen Zahlen: 1.234 schrieb man ΧΗΗΔΔΔΙΙΙΙ. Eine Null und einen Stellenwert gab es nicht.

Gerechnet wurde mit diesen Zeichen kaum. Für Additionen, Multiplikationen und Divisionen legte man Rechensteine auf ein Rechenbrett mit Linien für Einer, Zehner, Hunderter und so weiter. Das bekannteste erhaltene Exemplar ist die Tafel von Salamis, eine Marmorplatte von etwa 150 × 75 Zentimetern, die 1846 auf der gleichnamigen Insel gefunden wurde und vermutlich um 300 v. Chr. entstand. Die Zahlzeichen dienten vor allem dazu, Ergebnisse festzuhalten, etwa in Abrechnungen, Tributlisten und Bauinschriften.

Platon unterschied deshalb zwischen logistikē, dem praktischen Rechnen der Händler, und arithmētikē, der Lehre von den Eigenschaften der Zahlen. Später setzte sich ein zweites System durch, das die Buchstaben des Alphabets als Zahlzeichen nutzte und zum Standard der hellenistischen Mathematiker wurde.

Thales von Milet: Der Anfang der beweisenden Geometrie

Thales von Milet (ca. 624–546 v. Chr.) zählte schon in der Antike zu den Sieben Weisen. Er lebte in der reichen Handelsstadt Milet und soll Kaufmann, Ingenieur und Staatsmann gewesen sein. Herodot berichtet, Thales habe eine Sonnenfinsternis vorausgesagt, vermutlich die vom 28. Mai 585 v. Chr. Ob er das mit den damaligen Mitteln tatsächlich konnte, bezweifeln viele Historiker.

Eudemos, zitiert bei Proklos, schreibt Thales mehrere geometrische Sätze zu: Ein Kreis wird von jedem Durchmesser halbiert, die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich, Scheitelwinkel sind gleich, und ein Dreieck ist durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt. Den letzten Satz soll Thales genutzt haben, um die Entfernung von Schiffen auf See zu ermitteln. Solche Tatsachen waren jedem Baumeister vertraut. Bemerkenswert ist deshalb weniger der Inhalt als der Anspruch, sie allgemein zu formulieren und zu begründen.

Der Satz des Thales

Am bekanntesten ist der nach ihm benannte Satz des Thales: Verbindet man die Endpunkte eines Kreisdurchmessers mit einem beliebigen weiteren Punkt auf dem Kreis, entsteht immer ein rechter Winkel. Eine einfache Begründung nutzt den Satz über gleichschenklige Dreiecke und die Winkelsumme: Zieht man vom Mittelpunkt eine Strecke zum Punkt auf dem Kreis, zerfällt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke, denn alle drei Strecken sind Radien. Deren Basiswinkel sind jeweils gleich; sie heißen hier α und β. Die Winkelsumme im großen Dreieck beträgt α + β + (α + β) = 180°, also ist α + β = 90°.

Diogenes Laertios erzählt, Thales habe zum Dank für diese Entdeckung einen Stier geopfert. Die Anekdote ist erst in Quellen der römischen Kaiserzeit belegt und ebenso unsicher wie die Frage, ob Thales den Satz wirklich bewiesen hat. In babylonischen Texten wird der Zusammenhang bereits Jahrhunderte früher in Einzelfällen genutzt.

Pyramidenhöhe und Strahlensatz

Eine weitere Anekdote berichtet, Thales habe in Ägypten die Höhe einer Pyramide über ihren Schatten bestimmt: zu der Tageszeit, in der der Schatten eines Stabes so lang ist wie der Stab selbst. Dahinter steckt die Ähnlichkeit von Dreiecken, die heute im Strahlensatz zusammengefasst wird. Im Französischen und Italienischen heißt dieser Satz deshalb ebenfalls „Satz des Thales“. Dass Thales ihn allgemein formuliert hat, ist allerdings nicht überliefert; die Zuschreibung ist eine moderne Ehrung. Wer die Sätze selbst nachvollziehen möchte, findet sie im Bereich Geometrie.

Pythagoras und die Pythagoreer: „Alles ist Zahl“

Pythagoras von Samos (ca. 570–495 v. Chr.) ist die berühmteste und zugleich rätselhafteste Gestalt der frühen griechischen Mathematik. Um 530 v. Chr. gründete er in Kroton in Süditalien eine Gemeinschaft mit religiösen, ethischen und wissenschaftlichen Zielen, deren Mitglieder nach strengen Regeln lebten. Pythagoras selbst hinterließ keine Schriften; die ausführlichen Lebensbeschreibungen stammen erst aus dem 3. Jahrhundert n. Chr. und sind voller Wundergeschichten.

Gesichert ist, dass die Pythagoreer die Zahl als Schlüssel zur Welt betrachteten. Ein starkes Argument dafür lieferte die Musik: Die harmonischsten Intervalle entsprechen einfachen Saitenverhältnissen: die Oktave 2 : 1, die Quinte 3 : 2, die Quarte 4 : 3. Die Erzählung, Pythagoras habe dies beim Vorbeigehen an einer Schmiede an den Klängen verschieden schwerer Hämmer entdeckt, ist dagegen eine Legende, die physikalisch nicht einmal stimmt.

Figurierte, vollkommene und befreundete Zahlen

Die Pythagoreer legten Zahlen mit Rechensteinen zu Figuren. So entstanden die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15 … und die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 … An solchen Mustern lässt sich etwa sehen, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen stets eine Quadratzahl ist: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Besonders verehrt wurde die Tetraktys, die Dreieckszahl 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Außerdem untersuchten sie gerade und ungerade Zahlen, vollkommene Zahlen, die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind (6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), und nach späterer Überlieferung auch das „befreundete“ Zahlenpaar 220 und 284. Mehr über diese Begriffe steht auf der Seite Zahlen und ihre Eigenschaften.

Der Satz des Pythagoras

Der nach Pythagoras benannte Satz besagt: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der längsten Seite, der Hypotenuse c, so groß wie die Quadrate über den beiden anderen Seiten zusammen: a² + b² = c². Der älteste erhaltene griechische Beweis steht in Euklids „Elementen“ (Buch I, Satz 47), also rund 200 Jahre nach Pythagoras. Spätere Autoren schreiben ihm außerdem zu, die Wörter „Philosophie“ und „Mathematik“ geprägt zu haben; auch das ist nicht verlässlich belegt. Das griechische mathēma bedeutet schlicht „das Gelernte“.

Inkommensurable Größen: Hippasos und die Krise der Zahlenlehre

Die Pythagoreer gingen davon aus, dass sich zwei beliebige Strecken immer durch ein gemeinsames Maß messen lassen: Passt eine kleine Einheit genau p-mal in die eine und q-mal in die andere Strecke, stehen beide im Verhältnis p : q zweier ganzer Zahlen. Solche Strecken heißen kommensurabel. Irgendwann im 5. Jahrhundert v. Chr. zeigte sich, dass diese Annahme falsch ist: Seite und Diagonale eines Quadrats haben kein gemeinsames Maß. In heutiger Sprache: √2 ist keine rationale Zahl.

Den Beweis, den bereits Aristoteles erwähnt, kann man heute in wenigen Zeilen führen. Angenommen, die Diagonale verhielte sich zur Seite wie p zu q, und der Bruch p/q sei vollständig gekürzt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann p² = 2q². Also ist p² gerade, damit auch p. Dann ist p² sogar durch 4 teilbar, folglich q² und q gerade. Beide Zahlen wären gerade, im Widerspruch zur Kürzung. Dieser indirekte Beweis gehört zu den ältesten der Mathematikgeschichte.

Die Entdeckung wird traditionell Hippasos von Metapont (um 500 v. Chr.) zugeschrieben, auch wenn keine antike Quelle ihn ausdrücklich als Entdecker nennt. Der Altphilologe Kurt von Fritz vermutete 1945, dass sie am regelmäßigen Fünfeck gemacht wurde, dessen Diagonalen das Pentagramm bilden, das Erkennungszeichen der Pythagoreer. Dort führt ein fortgesetztes Abtragen von Seite und Diagonale nie zu einem Ende, was die Inkommensurabilität sichtbar macht.

Folgenreicher als jede Legende war die mathematische Konsequenz. Für die Griechen waren Zahlen (arithmoi) die natürlichen Zahlen 2, 3, 4 … Brüche verstanden sie als Verhältnisse solcher Zahlen. Größen wie √2 passten in dieses Schema nicht. Die Mathematiker wichen deshalb auf die Geometrie aus: Strecken, Flächen und Körper ließen sich auch dann vergleichen, wenn keine Zahl ihr Verhältnis ausdrückte. Theodoros von Kyrene zeigte um 400 v. Chr. die Irrationalität der Wurzeln von 3 bis 17 (ohne die Quadratzahlen), sein Schüler Theaitetos (gest. 369 v. Chr.) ordnete die verschiedenen Arten irrationaler Größen. Seine Ergebnisse stehen im zehnten Buch von Euklids „Elementen“.

Zenon von Elea: Paradoxien des Unendlichen

Zenon von Elea (ca. 490–430 v. Chr.) war Schüler des Philosophen Parmenides, der lehrte, Bewegung und Veränderung seien Täuschungen der Sinne. Zenon verteidigte diese These mit Gedankenexperimenten, die Bewegung als widersprüchlich erweisen sollten. Überliefert sind sie vor allem in der „Physik“ des Aristoteles.

Achilles und die Schildkröte

Der schnelle Achilles läuft gegen eine Schildkröte mit Vorsprung. Hat er ihren Startpunkt erreicht, ist sie schon ein Stück weiter; erreicht er diesen Punkt, ist sie wieder etwas voraus, und so fort, ohne Ende. Also, folgert Zenon, könne Achilles sie niemals einholen.

Ein Zahlenbeispiel zeigt, wo der Denkfehler liegt: Achilles laufe zehnmal so schnell wie die Schildkröte, die 100 Meter Vorsprung hat. Dann muss Achilles nacheinander 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m … zurücklegen. Diese unendlich vielen Strecken ergeben zusammen nur 111,1… Meter, also genau 111 1/9 Meter. Nach dieser Strecke hat er die Schildkröte eingeholt. Eine unendliche Summe kann also einen endlichen Wert haben.

Die Dichotomie

Ähnlich argumentiert die Dichotomie (Zweiteilung): Wer eine Strecke durchlaufen will, muss zuerst die Hälfte schaffen, davor ein Viertel, davor ein Achtel und so weiter. Er müsste unendlich viele Teilaufgaben in endlicher Zeit erledigen. Mathematisch beschreibt die geometrische Reihe die Lage:

Zu Zenons weiteren Paradoxien gehört der „fliegende Pfeil“, der in jedem einzelnen Augenblick ruht und sich deshalb nie bewegen könne. Aristoteles antwortete darauf mit seiner Unterscheidung zwischen dem potenziell Unendlichen (eine Strecke lässt sich beliebig oft teilen) und dem aktual Unendlichen, einer vollendeten unendlichen Menge, die es seiner Ansicht nach nicht gibt. Eine mathematisch tragfähige Behandlung unendlicher Summen gelang erst mit dem Grenzwertbegriff der Analysis im 19. Jahrhundert. Ob damit auch alle philosophischen Fragen Zenons beantwortet sind, wird bis heute diskutiert.

Für die griechische Mathematik hatten die Paradoxien eine deutliche Folge: Man vermied es, mit unendlich kleinen Größen oder vollendeten Unendlichkeiten zu argumentieren, und entwickelte stattdessen Beweisverfahren, die mit endlich vielen Schritten auskommen.

Die drei klassischen Probleme der Antike

Im 5. Jahrhundert v. Chr. rückten drei Konstruktionsaufgaben in den Mittelpunkt, die die Mathematik über 2.000 Jahre beschäftigen sollten:

• Quadratur des Kreises: ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie ein gegebener Kreis.
• Würfelverdopplung (Delisches Problem): zu einem Würfel die Kante eines Würfels mit doppeltem Volumen zu finden.
• Winkeldreiteilung: einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen.

Als Werkzeuge waren nach dem klassischen Ideal nur Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung zugelassen. Diese Beschränkung war allerdings eher ein Qualitätsmaßstab als eine feste Regel. Griechische Mathematiker fanden durchaus Lösungen mit anderen Mitteln: Hippias von Elis wird eine besondere Kurve, die Quadratrix, zugeschrieben, mit der sich Winkel dreiteilen lassen. Archytas von Tarent löste die Würfelverdopplung mit einer räumlichen Konstruktion aus Zylinder, Kegel und Torus, und Menaichmos entdeckte um 350 v. Chr. bei der Suche nach einer Lösung die Kegelschnitte Parabel und Hyperbel.

Die Geschichte vom Orakel auf Delos, das zur Beendigung einer Seuche die Verdopplung eines würfelförmigen Altars verlangt habe, ist eine Legende. Sie ist durch einen späteren Bericht des Eratosthenes überliefert und erklärt den Namen „Delisches Problem“. Dass die Kreisquadratur schon im 5. Jahrhundert sprichwörtlich war, zeigt eine Komödie: In den „Vögeln“ des Aristophanes (414 v. Chr.) tritt der Astronom Meton auf und kündigt an, den Kreis quadratisch zu machen.

Erst im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass alle drei Aufgaben mit Zirkel und Lineal unlösbar sind: Pierre Wantzel zeigte 1837 die Unmöglichkeit von Würfelverdopplung und allgemeiner Winkeldreiteilung, Ferdinand von Lindemann 1882 die Transzendenz von π und damit die Unmöglichkeit der Kreisquadratur. Die jahrhundertelange Suche war dennoch nicht vergeblich: Sie brachte neue Kurven, die Kegelschnitte und schließlich die moderne Algebra hervor.

Hippokrates von Chios: Die ersten „Elemente“ und die Möndchen

Hippokrates von Chios (ca. 470–410 v. Chr.) ist nicht mit dem berühmten Arzt Hippokrates von Kos zu verwechseln. Nach Aristoteles war er ein glänzender Geometer, im Geschäftsleben aber ungeschickt: Er soll in Byzanz von Zollbeamten um sein Vermögen gebracht worden sein und daraufhin in Athen Geometrie gelehrt haben. Proklos nennt ihn als Ersten, der ein Lehrbuch mit dem Titel Stoicheia („Elemente“) verfasste, eine geordnete Sammlung geometrischer Sätze, vermutlich aus den Jahrzehnten nach 440 v. Chr. Das Werk ist verloren, war aber ein Vorläufer der „Elemente“ Euklids.

Berühmt sind seine Möndchen (Lunulae), sichelförmige Flächen zwischen zwei Kreisbögen. Ein einfaches Beispiel: Man nimmt einen Viertelkreis mit Mittelpunkt O und den Endpunkten A und B und zeichnet über der Sehne AB nach außen einen Halbkreis. Weil AB = r · √2 ist, hat dieser Halbkreis genau den Flächeninhalt des Viertelkreises. Zieht man von beiden Figuren dasselbe Kreissegment ab, bleibt auf der einen Seite das Möndchen, auf der anderen das Dreieck ABO. Beide sind also gleich groß. Damit war zum ersten Mal eine krummlinig begrenzte Fläche exakt in eine geradlinige verwandelt.

Hippokrates benutzte dabei den Satz, dass sich Kreisflächen wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten; streng bewiesen hat ihn erst Eudoxos. Den Bericht über die Möndchen hat Simplikios aus Eudemos übernommen; er gilt als das älteste bekannte längere Stück griechischer Mathematik. Außerdem führte Hippokrates die Würfelverdopplung auf die Suche nach zwei „mittleren Proportionalen“ zurück: Gilt a : x = x : y = y : 2a, dann ist x³ = 2a³. Auf dieser Umformung bauten die meisten späteren antiken Lösungen auf.

Demokrit: Atome, Kegel und Pyramiden

Demokrit (ca. 460–370 v. Chr.) aus Abdera ist vor allem als Begründer der Atomlehre bekannt. Der antike Schriftenkatalog des Diogenes Laertios nennt von ihm aber auch Werke wie „Über Geometrie“, „Zahlen“ und „Über irrationale Linien und Körper“. Erhalten ist davon nichts.

Wichtig ist ein Hinweis bei Archimedes: Demokrit habe als Erster ausgesprochen, dass eine Pyramide ein Drittel eines Prismas und ein Kegel ein Drittel eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ist (V = ⅓ · G · h), allerdings ohne strengen Beweis. Den lieferte erst Eudoxos. Plutarch überliefert zudem ein Rätsel Demokrits: Schneidet man einen Kegel parallel zur Grundfläche, sind die beiden Schnittflächen dann gleich oder ungleich? Sind sie gleich, wäre der Kegel ein Zylinder; sind sie ungleich, müsste seine Oberfläche Stufen haben. Hier ringt jemand mit unendlich dünnen Schichten, einer Idee, die erst im 17. Jahrhundert bei Bonaventura Cavalieri wieder aufgegriffen wurde.

Platon und die Akademie: Mathematik als Schule des Denkens

Platon (428/427–348/347 v. Chr.) war kein Mathematiker im engeren Sinne, hat die Mathematik aber wie kaum ein anderer gefördert. Um 387 v. Chr. gründete er in Athen die Akademie, an der neben Philosophie auch Mathematik betrieben wurde. Für Platon führte die Mathematik vom Sichtbaren zum Denkbaren: Ein gezeichneter Kreis ist ungenau, der gedachte vollkommen. Im siebten Buch der „Politeia“ entwirft er ein Studienprogramm aus Arithmetik, ebener Geometrie, Stereometrie, Astronomie und Harmonielehre, den Vorläufer des späteren Quadriviums.

In Platons Umfeld arbeiteten die führenden Mathematiker der Zeit, darunter Theaitetos, Eudoxos und Menaichmos; mit Archytas von Tarent war er befreundet. In seinem Dialog „Menon“ lässt Platon Sokrates einen Sklaven durch geschickte Fragen herausfinden, dass das Quadrat über der Diagonale doppelt so groß ist wie das Ausgangsquadrat. Im „Timaios“ ordnet er den vier Elementen regelmäßige Körper zu: Feuer dem Tetraeder, Luft dem Oktaeder, Wasser dem Ikosaeder, Erde dem Würfel; das Dodekaeder steht für das Weltganze. Daher heißen diese fünf Körper heute Platonische Körper. Dass es genau fünf gibt, bewies vermutlich Theaitetos; der Beweis bildet den Abschluss von Euklids „Elementen“.

Über dem Eingang der Akademie soll gestanden haben: „Kein der Geometrie Unkundiger trete ein.“ Dieser Satz ist allerdings erst in Texten aus dem 4. bis 6. Jahrhundert n. Chr. belegt, also viele Jahrhunderte nach Platon, und gilt als spätere Erfindung.

Eudoxos von Knidos: Proportionenlehre und Exhaustionsmethode

Eudoxos von Knidos (ca. 400–347 v. Chr.) war wohl der bedeutendste Mathematiker vor Euklid. Er lernte bei Archytas in Tarent, hielt sich in Athen im Kreis der Akademie und in Ägypten auf und gründete in Kyzikos eine eigene Schule. Als Astronom entwarf er ein Modell ineinander geschachtelter Kugelschalen, das die Bewegungen der Planeten erklären sollte.

Eine Proportionenlehre für alle Größen

Nach der Entdeckung inkommensurabler Strecken fehlte eine Theorie, mit der man Verhältnisse wie Diagonale : Seite überhaupt vergleichen konnte. Eudoxos löste das Problem mit einer neuen Definition: Zwei Verhältnisse a : b und c : d sind gleich, wenn für alle natürlichen Zahlen m und n gilt: Ist m · a größer, gleich oder kleiner als n · b, dann ist entsprechend m · c größer, gleich oder kleiner als n · d. Die Definition kommt ohne gemeinsames Maß aus und funktioniert deshalb auch für irrationale Verhältnisse. Sie bildet das fünfte Buch der „Elemente“. Richard Dedekind griff 1872 bei seiner Begründung der reellen Zahlen auf einen eng verwandten Gedanken zurück. Wie man heute mit Verhältnissen rechnet, erklärt die Seite Verhältnisse und Proportionalität.

Die Exhaustionsmethode

Für Flächen und Volumina krummlinig begrenzter Figuren entwickelte Eudoxos ein Beweisverfahren, das im 17. Jahrhundert den Namen Exhaustionsmethode („Ausschöpfung“) erhielt. Man schöpft etwa einen Kreis mit einbeschriebenen Vielecken immer weiter aus, bis der Rest kleiner ist als jede vorgegebene Größe. Den eigentlichen Beweis führt man dann doppelt indirekt: Man zeigt, dass die gesuchte Fläche weder größer noch kleiner als der behauptete Wert sein kann. So bewies Eudoxos, dass Kreisflächen sich wie die Quadrate der Durchmesser verhalten und dass Pyramide und Kegel jeweils ein Drittel von Prisma und Zylinder sind.

Die Methode ist keine Integralrechnung, denn sie berechnet keine Grenzwerte, sondern bestätigt Ergebnisse, die man schon kennen muss. Sie vermeidet aber genau die Fallstricke, auf die Zenon hingewiesen hatte, und wurde zur Grundlage für die Flächen- und Volumenberechnungen des Archimedes.

Aristoteles: Logik, Axiome und das Unendliche

Aristoteles (384–322 v. Chr.) war zwanzig Jahre Mitglied der Akademie, später Lehrer des jungen Alexander und gründete 335 v. Chr. in Athen eine eigene Schule, das Lykeion. Mathematische Entdeckungen hat er nicht hinterlassen, wohl aber das Werkzeug, mit dem Mathematik bis heute arbeitet: die formale Logik. In seiner Syllogistik untersuchte er, welche Schlussformen aus wahren Voraussetzungen zwingend zu wahren Folgerungen führen.

In den „Zweiten Analytiken“ beschreibt er, wie eine beweisende Wissenschaft aufgebaut sein soll: Am Anfang stehen Definitionen, allgemeine Grundsätze, die für alle Wissenschaften gelten (Axiome), und fachspezifische Annahmen (Postulate). Aus ihnen werden alle weiteren Sätze abgeleitet. Genau diesem Bauplan folgen wenige Jahrzehnte später Euklids „Elemente“. Zudem prägte Aristoteles mit der Unterscheidung von potenzieller und aktualer Unendlichkeit das mathematische Denken bis ins 19. Jahrhundert. Sein Schüler Eudemos verfasste die erste bekannte Geschichte der Geometrie. Ohne sie wäre über die frühe griechische Mathematik fast nichts bekannt.

Der mathematische Beweis: Was die Griechen neu machten

Ägyptische und babylonische Texte enthalten hoch entwickelte Rechenverfahren: Algorithmen für Brüche, quadratische Gleichungen, Flächen und Volumina, oft mit erstaunlicher Genauigkeit. Sie sind aber meist als Musteraufgaben formuliert („mache es so“) und begründen ihre Regeln nicht ausdrücklich. Die griechische Mathematik setzte dem drei Neuerungen entgegen:

• Allgemeinheit: Ein Satz gilt nicht für dieses eine Dreieck, sondern für jedes Dreieck.
• Deduktion: Jede Aussage wird aus bereits gesicherten Aussagen und wenigen Grundannahmen logisch abgeleitet.
• Indirekter Beweis: Man nimmt das Gegenteil an und führt es zum Widerspruch, so bei der Inkommensurabilität und der Exhaustionsmethode.

Ein Beweis in diesem Sinn ist unabhängig von Autorität und Zeitpunkt: Er gilt heute genauso wie vor 2.400 Jahren.

Wichtige Persönlichkeiten der griechischen Mathematik

Zeitleiste der griechischen Mathematik

1. um 585 v. Chr. Thales soll laut Herodot eine Sonnenfinsternis vorhergesagt haben; Beginn der ionischen Naturphilosophie.
2. um 530 v. Chr. Pythagoras lässt sich in Kroton (Süditalien) nieder und gründet seine Gemeinschaft.
3. 5. Jh. v. Chr. Pythagoreer entdecken inkommensurable Strecken; die Entdeckung wird Hippasos zugeschrieben.
4. um 450 v. Chr. Zenon von Elea formuliert seine Paradoxien der Bewegung.
5. um 430 v. Chr. Hippokrates von Chios lehrt in Athen, verfasst die ersten „Elemente“ und quadriert Möndchen.
6. 414 v. Chr. Aristophanes spottet in den „Vögeln“ über die Quadratur des Kreises.
7. um 400 v. Chr. Theodoros von Kyrene beweist die Irrationalität weiterer Quadratwurzeln.
8. um 387 v. Chr. Platon gründet die Akademie in Athen.
9. um 370 v. Chr. Eudoxos entwickelt Proportionenlehre und Exhaustionsmethode.
10. um 350 v. Chr. Menaichmos entdeckt bei der Würfelverdopplung die Kegelschnitte.
11. 335 v. Chr. Aristoteles gründet das Lykeion; sein Schüler Eudemos schreibt eine Geschichte der Geometrie.
12. 323 v. Chr. Tod Alexanders des Großen und Beginn der hellenistischen Epoche.

Erbe und Einfluss: Von Athen nach Alexandria und bis heute

Mit den Feldzügen Alexanders verlagerte sich der Schwerpunkt der griechischen Wissenschaft nach Alexandria. Dort fasste Euklid um 300 v. Chr. das Wissen der klassischen Zeit in den „Elementen“ zusammen: die Geometrie des Hippokrates, die Irrationalitätenlehre des Theaitetos, die Proportionenlehre und Exhaustionsmethode des Eudoxos. Er ordnete es nach dem Bauplan des Aristoteles. Auf dieser Grundlage erreichten Archimedes und Apollonios in der hellenistischen Mathematik den Höhepunkt der antiken Mathematik.

Über Übersetzungen ins Arabische gelangte dieses Erbe in die Mathematik der islamischen Welt und von dort ins lateinische Europa. Die drei klassischen Probleme regten bis ins 19. Jahrhundert neue Methoden an. Die Idee eines axiomatischen Aufbaus wirkt bis in die Gegenwart: David Hilbert stellte 1899 die Geometrie auf ein lückenloses Axiomensystem, und die moderne Mathematik insgesamt folgt dem Prinzip, jede Aussage zu beweisen. Wer heute im Unterricht den Satz des Thales begründet oder √2 als irrational erkennt, bewegt sich auf Wegen, die in dieser Epoche gebahnt wurden.

Häufige Fragen

Was ist das Besondere an der griechischen Mathematik?

Die Griechen formulierten mathematische Aussagen allgemein und begründeten sie durch logische Beweise aus wenigen Grundannahmen. Ältere Kulturen besaßen hoch entwickelte Rechenverfahren, legten deren Begründung aber nicht ausdrücklich dar.

Hat Pythagoras den Satz des Pythagoras erfunden?

Nein. Babylonische Schreiber kannten den Zusammenhang a² + b² = c² schon um 1800 v. Chr. Ob Pythagoras oder seine Schüler den ersten allgemeinen Beweis fanden, ist nicht überliefert. Der älteste erhaltene Beweis steht bei Euklid.

Was sind die drei klassischen Probleme der Antike?

Die Quadratur des Kreises, die Würfelverdopplung und die Dreiteilung eines beliebigen Winkels, jeweils nur mit Zirkel und unmarkiertem Lineal. Erst im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass alle drei so nicht lösbar sind.

Wer entdeckte die irrationalen Zahlen?

Die Entdeckung, dass Seite und Diagonale eines Quadrats kein gemeinsames Maß haben, gelang Pythagoreern im 5. Jahrhundert v. Chr. Die Überlieferung verbindet sie mit Hippasos von Metapont, sicher belegt ist das nicht.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Thomas L. Heath: A History of Greek Mathematics, 2 Bände, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Bartel L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik, Birkhäuser, Basel 1956.
• Oskar Becker: Das mathematische Denken der Antike, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1957.
• MacTutor History of Mathematics: Greek sources I (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Doubling the cube (englisch)