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Geschichte der Mathematik

Arbeitsblatt · Klasse 3–6

Rechnen wie ein Schreiber im alten Ägypten

Die Schreiber am Nil kannten kein Einmaleins. Sie verdoppelten und addierten. Auf diesem Arbeitsblatt rechnest du so wie sie, von der Verdopplungstabelle bis zur Division.

Erklärung: Schriftliches Multiplizieren

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Für die Lehrkraft: Steckbrief

  • Klassenstufe: 3 bis 6, je nach Zahlenraum
  • Zeitbedarf: etwa 45 Minuten
  • Lernziele: Multiplikation als wiederholtes Verdoppeln und Addieren verstehen, Zahlen in Zweierpotenzen zerlegen, die Verbindung zum Distributivgesetz erkennen, historische Rechenverfahren mit dem heutigen vergleichen.
  • Material: dieses Blatt, Stift, nach Wunsch Karopapier. Ein Taschenrechner ist nicht nötig.
  • Bezug zur Lernseite: Schriftliches Multiplizieren, Hintergrund bei Ägyptische Mathematik

Ablaufvorschlag

  1. Einstieg (5 Minuten): Die Klasse liest die Geschichte oder hört sie vor. Impuls: „Wie rechnet man, wenn man das Einmaleins nicht kann?“
  2. Gemeinsam (10 Minuten): Das Beispiel 13 mal 24 an der Tafel nachvollziehen. Die Lernenden erklären, warum nur die markierten Zeilen zählen.
  3. Einzel- oder Partnerarbeit (20 Minuten): Aufgaben 1 bis 5.
  4. Auswertung (10 Minuten): Lösungen vergleichen, Aufgabe 6 als Gespräch oder Hausaufgabe.

Wie rechneten die Schreiber am Nil?

Vor etwa 3.500 Jahren lebte in Ägypten ein Schreiber namens Ahmes. Er schrieb Rechenaufgaben auf eine lange Papyrusrolle. Dabei kopierte er ein noch älteres Werk. Die Rolle heißt heute Papyrus Rhind, nach dem Schotten Henry Rhind, der sie 1858 in Luxor kaufte. Sie liegt im British Museum in London. Je nach Zählweise stehen darauf 84 bis 91 Aufgaben, etwa zu Brot, Bier, Feldern und Kornspeichern.

Ein Einmaleins zum Auswendiglernen gab es nicht. Die Schreiber kamen ohne aus. Sie konnten gut verdoppeln und addieren, und das reichte. So geht es, hier für 13 · 24:

  1. Links beginnst du mit 1, rechts mit der Zahl 24.
  2. Du verdoppelst beide Zahlen Zeile für Zeile. Du hörst auf, bevor die linke Zahl größer als 13 würde.
  3. Du suchst links Zahlen, die zusammen 13 ergeben: 13 = 1 + 4 + 8.
  4. Du addierst die Zahlen rechts in diesen Zeilen: 24 + 96 + 192 = 312.
13 · 24 wie ein Schreiber im alten Ägypten Faktor verdoppeln 1 24 2 48 4 96 8 192 13 = 1 + 4 + 8 24 + 96 + 192 = 312 zählt mit
Verdoppeln und Addieren: 13 · 24 = (1 + 4 + 8) · 24 = 24 + 96 + 192 = 312. Die markierten Zeilen kommen in die Summe.

Aufgaben

  1. Setze die Verdopplungstabelle für die Zahl 18 fort. Links steht 1, 2, 4, 8, 16. Rechts steht 18 und dann das Doppelte der Zahl darüber: 18, ___, ___, ___, ___.
  2. Rechne 13 · 18 wie ein Schreiber. Benutze die Tabelle aus Aufgabe 1 und zerlege 13 in 1, 4 und 8.
  3. Rechne 27 · 15 wie ein Schreiber. Verdopple die 15 und zerlege 27 in Zahlen, die in der linken Spalte vorkommen. Prüfe das Ergebnis mit dem schriftlichen Multiplizieren.
  4. Zerlege 45 und 100 in Summen aus verschiedenen Zahlen der Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Warum klappt das immer?
  5. Auch das Teilen ging mit Verdoppeln. Wie oft passt 7 in 91? Verdopple die 7 (7, 14, 28, 56, …) und suche Zeilen, die zusammen 91 ergeben. Die linken Zahlen dieser Zeilen ergeben das Ergebnis.
  6. Knobelaufgabe: Welche Zahlen kannst du aus 1, 2, 4, 8 und 16 zusammensetzen, wenn jede Zahl höchstens einmal vorkommen darf? Kommt jede Zahl von 1 bis 31 genau einmal vor? Finde heraus, was das mit dem Zahlensystem zu tun hat, das Computer benutzen.

Lösungen

  1. Die Tabelle lautet 1 | 18, 2 | 36, 4 | 72, 8 | 144, 16 | 288. Jede Zahl rechts ist das Doppelte der Zahl darüber.
  2. 13 = 1 + 4 + 8. Rechts stehen in diesen Zeilen 18, 72 und 144. Die Summe ist 18 + 72 + 144 = 234. Probe: 13 · 18 = 234.
  3. Die 15 wird verdoppelt: 1 | 15, 2 | 30, 4 | 60, 8 | 120, 16 | 240. Es ist 27 = 16 + 8 + 2 + 1. Rechts addierst du 240 + 120 + 30 + 15 = 405. Probe: 27 · 15 = 405.
  4. 45 = 32 + 8 + 4 + 1 und 100 = 64 + 32 + 4. Es klappt immer, weil sich jede natürliche Zahl auf genau eine Weise als Summe verschiedener Zweierpotenzen schreiben lässt. Man nimmt jedes Mal die größte Zweierpotenz, die noch hineinpasst (bei 45 zuerst 32, dann bleibt 13, dann 8, dann 4 und 1).
  5. Verdopplung der 7: 1 | 7, 2 | 14, 4 | 28, 8 | 56, 16 | 112. Die 112 ist schon größer als 91, also ist bei 8 | 56 Schluss. Es ist 91 = 56 + 28 + 7. Die linken Zahlen sind 8, 4 und 1, zusammen 13. Also passt 7 genau 13-mal in 91. Probe: 7 · 13 = 91.
  6. Erwartungshorizont: Mit 1, 2, 4, 8 und 16 lässt sich jede Zahl von 1 bis 31 bilden, und zwar genau auf eine Weise (zum Beispiel 25 = 16 + 8 + 1). Das sind die Stellenwerte des Zweiersystems (Binärsystems). Ein Computer speichert Zahlen mit Ja-Nein-Schaltern: 1 bedeutet „diese Zahl ist dabei“, 0 bedeutet „nicht dabei“. Die Zahl 25 wird so zu 11001. Die Methode der Ägypter ist also eng mit dem Zweiersystem verwandt.

Hinweise für die Lehrkraft

  • Typische Schwierigkeiten: Beim Verdoppeln in den unteren Zeilen entstehen Rechenfehler, die sich nach unten fortsetzen. Manche Kinder vergessen, die passenden Zeilen zu markieren, oder sie zerlegen den Faktor in Zahlen, die in der Tabelle nicht vorkommen. Tipp: Zeilen mit einem Haken versehen und die Probe mit der schriftlichen Multiplikation verlangen.
  • Leichter: Tabelle vorgeben (nur Aufgabe 2 und 3), Zahlen bis 20 verwenden.
  • Schwerer: Faktoren über 100, Division mit Rest (zum Beispiel 100 geteilt durch 7 ergibt 14 Rest 2, denn 56 + 28 + 14 = 98), Vergleich mit der „russischen Bauernmultiplikation“, bei der links halbiert und rechts verdoppelt wird.
  • Hintergrund: Hinweise zu den Quellen: Datierung des Papyrus Rhind um 1550 v. Chr., Kopie eines älteren Werks (Wikipedia: Papyrus Rhind). Die Form „Verdoppeln und Addieren“ ist in den ägyptischen Aufgabentexten belegt. Zur Vertiefung eignen sich die Übungen Verdoppeln und Halbieren und das Arbeitsblatt Einmaleins.
  • Weiterführung: Die 2:n-Tabelle im Papyrus Rhind (Stammbrüche) und das Zweiersystem im Informatikunterricht.
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