Gaston Julia

Gaston Julia (1893–1978) war ein französischer Mathematiker und begründete zusammen mit Pierre Fatou die komplexe Dynamik. Dieses Gebiet fragt, was geschieht, wenn man eine Rechenvorschrift immer wieder auf ihr eigenes Ergebnis anwendet, das nennt man Iteration, und zwar mit komplexen Zahlen. Nach ihm ist die Julia-Menge benannt: die Grenze zwischen den Startpunkten, die bei der Iteration ins Unendliche davonlaufen, und den Startpunkten, die in einem begrenzten Bereich gefangen bleiben.

Julia war 25 Jahre alt, als seine große Abhandlung 1918 erschien. Der Erste Weltkrieg hatte ihn schwer verwundet. Seine Mengen kannte er nur aus Formeln und Beweisen; als „Fraktale“ wurden sie erst nach seinem Tod berühmt. Die Theorie dahinter entwickelte er mit reiner Denkarbeit.

Kindheit und Ausbildung

Gaston Maurice Julia wurde am 3. Februar 1893 in Sidi Bel Abbès im damals französischen Algerien geboren. Sein Vater reparierte Landmaschinen. Der Junge besuchte die Schule in Oran und ging mit einem Stipendium ab 1910 auf ein Gymnasium in Paris. Dort schnitt er bei den Aufnahmeprüfungen so gut ab, dass er sowohl an der École normale supérieure als auch an der École polytechnique hätte beginnen können. Er entschied sich 1911 für die École normale supérieure.

Im Krieg verwundet: 1915

Als der Erste Weltkrieg ausbrach, wurde Julia Unteroffizier. Am 25. Januar 1915, bei seinem ersten Gefecht am Chemin des Dames, traf ihn ein Schuss mitten ins Gesicht. Er verlor seine Nase und konnte zunächst nicht sprechen. Mehrere Operationen blieben ohne Erfolg. Für den Rest seines Lebens trug er deshalb einen Lederriemen quer über dem Gesicht. Trotz der Verletzung arbeitete er schon im Lazarett an seiner Mathematik weiter und promovierte noch während des Krieges bei Émile Picard, einem der führenden französischen Analytiker. 1916 heiratete er Marianne Chausson, die Tochter des Komponisten Ernest Chausson; das Paar bekam sechs Kinder.

Iteration: Immer wieder dieselbe Rechnung

Die Idee an einem Zahlenbeispiel

Nimm die Vorschrift z → z² − 1: Quadriere die Zahl und ziehe 1 ab. Das Ergebnis steckst du wieder in die Vorschrift, und so weiter. Je nach Startwert passiert Verschiedenes:

Der Startwert 0,5 bleibt in einem engen Bereich gefangen, 1,7 läuft davon. Auf der Zahlengeraden lässt sich die Grenze genau angeben. Die Vorschrift lässt eine Zahl in Ruhe, wenn z² − 1 = z gilt, und das ist bei z = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 der Fall, dem goldenen Schnitt. Alle Zahlen zwischen −1,618 und 1,618 bleiben gefangen, alle anderen entkommen.

Von der Geraden in die Ebene

Julia ließ den Startwert nicht auf einer Geraden, sondern in der komplexen Zahlenebene wandern. Komplexe Zahlen, die Carl Friedrich Gauß als Punkte einer Ebene deutete, sind Zahlen mit einer zweiten Richtung; die Zahl i ist definiert durch i² = −1. Mit ihnen rechnet die Funktionentheorie, die Augustin-Louis Cauchy mitbegründet hatte. Aus den beiden Grenzpunkten auf der Geraden wird dann eine verschlungene Kurve, die sich bei genauem Hinsehen immer feiner verzweigt. Das ist die Julia-Menge. Für die Vorschrift z → z² ist sie ein glatter Kreis, für andere Vorschriften z → z² + c dagegen ein Gebilde mit unendlich vielen Windungen, das aus verkleinerten Kopien seiner selbst besteht.

Der Grand Prix 1918 und der Wettstreit mit Fatou

Die Pariser Académie des sciences hatte ein Preisthema zur Iteration rationaler Funktionen ausgeschrieben. Julia reichte seine Ergebnisse ein und erhielt dafür 1918 den Grand Prix des sciences mathématiques. Seine Abhandlung Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles erschien im selben Jahr. Zur gleichen Zeit hatte Fatou ähnliche Ergebnisse veröffentlicht, vor allem mit der Idee der „normalen Familien“ von Paul Montel. Die Forschung spricht deshalb bis heute von der Fatou-Julia-Theorie. Fatou hatte sich nicht um den Preis beworben; die genauen Umstände hat die Mathematikerin Michèle Audin aufgearbeitet.

Beide Männer teilten eine Beobachtung: Für z → z² + c ist die Julia-Menge entweder zusammenhängend, also ein Stück, oder sie zerfällt in unendlich viele Punkte, die man als „Staub“ bezeichnen kann. Welcher der beiden Fälle eintritt, hängt vom Parameter c ab. Die Menge aller c mit zusammenhängender Julia-Menge zeichnete später Benoît Mandelbrot als Mandelbrot-Menge.

Professor und Akademiemitglied

Nach dem Krieg ging Julias Karriere schnell voran: 1919 wurde er Dozent an der École normale supérieure und Professor an der Sorbonne, 1925 und 1931 übernahm er dort Lehrstühle, 1937 den Lehrstuhl für Geometrie und Algebra an der École polytechnique. Am 5. März 1934 wählte ihn die Académie des sciences, 1950 war er ihr Präsident. Er schrieb zahlreiche Lehrbücher und Skripte zu Analysis und Geometrie. Zu seinen Hörern an der École polytechnique zählte Mandelbrot.

Ein Schatten liegt auf seiner Biografie: Nach Untersuchungen von Michèle Audin und Christophe Eckes half Julia während der deutschen Besatzung Frankreichs mit, französische Mathematiker als Mitarbeiter für das Zentralblatt für Mathematik zu gewinnen, eine unter deutscher Aufsicht stehende Referatezeitschrift. Das wird in der Wissenschaftsgeschichte kritisch bewertet. Seiner Laufbahn schadete es nach 1945 nicht.

Wiederentdeckung durch den Computer

Nach dem Erfolg von 1918 geriet die komplexe Dynamik für Jahrzehnte fast in Vergessenheit. Julia starb am 19. März 1978 in Paris, bevor die Theorie wiederentdeckt wurde. Mandelbrot griff die Ideen in den 1970er-Jahren auf und machte sie mit Computergrafiken berühmt. 1986 verbreiteten die Mathematiker Heinz-Otto Peitgen und Peter Richter die Bilder in dem Bildband The Beauty of Fractals (deutsch: Die Schönheit der Fraktale). Aus einem Spezialgebiet wurde ein lebendiges Forschungsfeld, für das die Fields-Medaillen an Jean-Christophe Yoccoz (1994) und Curtis McMullen (1998) vergeben wurden.

Zeitleiste: Gaston Julias Leben

1. 1893 Geburt am 3. Februar in Sidi Bel Abbès (Algerien)
2. 1911 Beginn des Studiums an der École normale supérieure in Paris
3. 1915 Schwere Gesichtsverletzung am 25. Januar am Chemin des Dames
4. 1918 Abhandlung über die Iteration rationaler Funktionen; Grand Prix der Académie des sciences
5. 1934 Aufnahme in die Académie des sciences
6. 1937 Professor an der École polytechnique
7. 1950 Präsident der Académie des sciences
8. 1978 Tod am 19. März in Paris

Bedeutung heute: Wo uns Julia-Mengen begegnen

Die Julia-Menge gehört zu den berühmtesten Formen der Mathematik. Sie zeigt, wie aus einer sehr einfachen Rechnung ein Gebilde mit unendlicher Feinheit entsteht, und sie ist ein Standardbeispiel für Chaos: Wer knapp neben der Grenze startet, landet an einem völlig anderen Ort, so wie beim Schmetterlingseffekt von Edward Lorenz. Auch das Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Funktionen sucht, erzeugt im Komplexen solche Grenzen, die „Newton-Fraktale“ nach Isaac Newton. Am natürlichsten lebt die Theorie auf der Zahlenkugel, die Bernhard Riemann erdacht hat: der Zahlenebene samt einem Punkt im Unendlichen. Inhaltlich knüpft sie an die Himmelsmechanik von Henri Poincaré an, den Wegbereiter der Chaosforschung. Mehr zum Umfeld bietet die Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Gaston Julia?

Gaston Julia wurde am 3. Februar 1893 in Sidi Bel Abbès geboren und starb am 19. März 1978 in Paris im Alter von 85 Jahren.

Was ist eine Julia-Menge?

Die Grenze zwischen Startwerten, die bei wiederholter Anwendung einer Rechenvorschrift ins Unendliche laufen, und Startwerten, die begrenzt bleiben. Für z → z² + c in der komplexen Ebene entstehen daraus verzweigte, selbstähnliche Kurven.

Was ist der Unterschied zwischen Julia-Menge und Mandelbrot-Menge?

Zu jedem Parameter c gehört eine eigene Julia-Menge. Die Mandelbrot-Menge sammelt alle c, deren Julia-Menge zusammenhängend ist.

Quellen und weiterführende Literatur

• Gaston Julia: Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Reihe 8, Band 1 (1918), S. 47–245.
• Michèle Audin: Fatou, Julia, Montel. The Great Prize of Mathematical Sciences of 1918, and Beyond. Springer, Berlin/Heidelberg 2011.
• Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Springer, Berlin 1986.
• MacTutor History of Mathematics: Gaston Maurice Julia (englisch)