Mathematisch arbeiten

Wer in Mathematik nur Rechenverfahren übt, lernt einen Teil des Fachs. Mathematisch arbeiten heißt auch: eine Frage stellen, eine Vermutung begründen, eine Alltagssituation in Mathematik übersetzen, ein Rätsel knacken und den eigenen Lösungsweg erklären. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz (KMK) nennen solche Tätigkeiten prozessbezogene Kompetenzen. Sie beschreiben, wie du mit Mathematik umgehst, nicht womit.

Diese Seite ist der Wegweiser: Du siehst die Kompetenzen im Überblick, jede mit einem Beispiel, und lernst die drei Anforderungsbereiche kennen, die zeigen, wie anspruchsvoll eine Aufgabe ist. Die Unterseiten vertiefen Argumentieren, Modellieren, Problemlösen und die Aufgabenverben (Operatoren).

Was heißt „mathematisch arbeiten“?

Zwei Schülerinnen können beide 24 · 25 ausrechnen. Die eine bemerkt außerdem, dass man geschickt 24 · 25 = 6 · 100 rechnet, und prüft, ob der Trick auch bei 36 · 25 klappt. Die andere rechnet jede Aufgabe von vorn. Die erste arbeitet mathematisch: Sie sucht Zusammenhänge, begründet und überträgt.

Die Bildungsstandards gliedern deshalb in zwei Richtungen. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen folgen Leitideen, in der Sekundarstufe I zum Beispiel Zahl und Operation, Größen und Messen, Raum und Form, Strukturen und funktionaler Zusammenhang sowie Daten und Zufall. Die prozessbezogenen Kompetenzen beschreiben das Vorgehen. Beide gehören zusammen, denn nach den Standards entwickeln sie sich nur in der aktiven Auseinandersetzung mit Inhalten.

Die sechs prozessbezogenen Kompetenzen

Die Standards für die Grundschule nennen sechs prozessbezogene Kompetenzen. Die Standards für den Ersten und Mittleren Schulabschluss (Fassung 2022) führen im Kern dieselben auf und ergänzen „Mit Medien mathematisch arbeiten“, wozu auch Taschenrechner und GeoGebra gehören. Die Standards für die Allgemeine Hochschulreife (2012) nennen sechs allgemeine mathematische Kompetenzen, bei zweien lauten die Namen etwas anders.

Die drei Anforderungsbereiche: Wie anspruchsvoll ist eine Aufgabe?

Die KMK unterscheidet bei jeder Kompetenz drei Anforderungsbereiche (AFB). Im Bereich I, Reproduzieren, gibst du Gelerntes wieder und wendest bekannte Verfahren direkt an. Im Bereich II, Zusammenhänge herstellen, erkennst du Zusammenhänge und verknüpfst Wissen aus verschiedenen Gebieten. Im Bereich III, Verallgemeinern und Reflektieren, überträgst du Erkenntnisse auf Unbekanntes und entwickelst und bewertest Strategien und Begründungen. Der Anspruch nimmt nach den Standards im Allgemeinen von I bis III zu.

Die Bereiche sind keine Noten und nicht dasselbe wie „leicht, mittel, schwer“. Eine Rechnung in Bereich I kann lang sein, eine kurze Begründung kann in Bereich III liegen. Nach den Standards sollen alle Lernenden Aufgaben aus allen drei Bereichen bearbeiten.

Wegweiser: So geht es weiter

Jede Unterseite erklärt eine Kompetenz mit Beispielen, Übungen und einem Arbeitsblatt:

• Argumentieren und Begründen: Behauptung und Begründung, Gegenbeispiel, Wenn-dann-Aussagen, Satzanfänge (Klasse 3 bis 10).
• Mathematisch modellieren: Modellierungskreislauf, Annahmen, Fermi-Aufgaben, Ergebnisse prüfen (Klasse 3 bis Abitur).
• Probleme lösen: Die vier Phasen nach Pólya und viele Strategien zum Knobeln (Klasse 1 bis Abitur).
• Operatoren in Mathe: Was „nenne“, „berechne“ und „begründe“ verlangen (Klasse 5 bis Abitur).

Alle Themen findest du auf der Seite Mathematik lernen. Ausführliche Seiten gibt es schon zu Beweisverfahren und Sachaufgaben, und mit dem Arbeitsblatt Textaufgaben zu Gleichungen übst du das Übersetzen in Gleichungen. Lehrkräfte finden den Bezug zu den Leitideen unter Bildungsstandards und Lehrpläne.

Übungen

Geschichte: Mathematisch gearbeitet wurde schon immer

Auf Tontafeln der sumerischen und babylonischen Mathematik stehen Aufgaben mit Rechenvorschriften, und der Papyrus Rhind aus der ägyptischen Mathematik enthält mehr als 80 Aufgaben mit Lösungen. Das Begründen als Methode wurde in der griechischen Mathematik wichtig: Euklid ordnete um 300 v. Chr. in seinen Elementen Sätze und Beweise zu einem Lehrgebäude. Das Wort Kompetenz im Unterricht ist dagegen jung: Die KMK beschloss die ersten Bildungsstandards für Mathematik 2003 und 2004 und überarbeitete die für Grundschule und Sekundarstufe I 2022.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik, Primarbereich (Beschluss vom 15.10.2004, i. d. F. vom 23.06.2022)
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik, Erster und Mittlerer Schulabschluss (i. d. F. vom 23.06.2022)
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012)
• George Pólya: How to Solve It, Princeton University Press, Princeton 1945.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.