Integrationsmethoden: Substitution, partielle Integration

Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Zu $f (x)$ suchst du eine Stammfunktion $F (x)$ mit $F' (x) = f (x)$ . Für einfache Funktionen wie $x^{n}$ oder $e^{x}$ kennst du die Stammfunktion aus der Tabelle. Bei einem Produkt wie $x \cdot e^{x}$ oder bei einer verketteten Funktion wie $e^{x^{2}} \cdot 2 x$ reicht die Tabelle nicht. Dann helfen die Integrationsmethoden.

Jede Methode ist eine Ableitungsregel, rückwärts gelesen: Die Substitution kehrt die Kettenregel um, die partielle Integration die Produktregel. Der Überblick über das Integral und den Hauptsatz steht auf der Seite Analysis. Hier lernst du die Methoden im Einzelnen.

Die Grundintegrale

Bevor du eine Methode anwendest, musst du die einfachen Stammfunktionen im Kopf haben. Nach jeder Rechnung läuft es am Ende auf sie hinaus.

Wichtige Stammfunktionen
Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$x^{n}$ mit $n \neq - 1$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln \| x \|$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\sin x$	$- \cos x$
$\cos x$	$\sin x$

Jede Stammfunktion kommt nur bis auf eine Konstante $C$ vor, die Integrationskonstante. Bei bestimmten Integralen mit Grenzen fällt sie weg. Die Rechenregeln, die du aus der Tabelle weiterhin brauchst: Konstanten dürfen vor das Integral, und Summen darfst du gliedweise integrieren.

Lineare Substitution

Steht in der Funktion statt x ein Ausdruck $a x + b$ , brauchst du nur einen Korrekturfaktor. Das ist die Kettenregel rückwärts: Beim Ableiten von $F (a x + b)$ kommt der Faktor a dazu, also musst du beim Integrieren durch a teilen.

Die Probe beim ersten Beispiel: $(\frac{{(3 x + 1)}^{5}}{15})' = \frac{5 \cdot {(3 x + 1)}^{4} \cdot 3}{15} = {(3 x + 1)}^{4}$ . Das stimmt. Mehr zur Kettenregel steht bei den Ableitungsregeln.

Die Substitution

Oft ist die innere Funktion nicht linear. Dann hilft die Substitution, wenn die Ableitung der inneren Funktion (bis auf einen Zahlenfaktor) als Faktor im Integranden steckt. Du ersetzt die innere Funktion durch eine neue Variable u. Dadurch wird das Integral einfacher.

Bestimmte Integrale: Grenzen umrechnen

Bei einem bestimmten Integral $\int_{a}^{b}$ musst du die Grenzen mit substituieren. Sie gelten für x, nach der Substitution aber für u. Du rechnest sie mit $u = g (x)$ um und brauchst dann nicht zurückzusubstituieren.

Partielle Integration

Bei einem Produkt aus zwei Funktionen wie $x \cdot e^{x}$ hilft die Substitution oft nicht. Dann nutzt du die Produktregel rückwärts. Sie sagt, wie ein Produkt $f \cdot g$ abgeleitet wird:

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

Integrierst du beide Seiten, steht links $f \cdot g$ . Umgestellt ergibt sich die Formel der partiellen Integration:

Partielle Integration als Flächenbild: Unter der Kurve liegt ∫ y dx = 8/3, links von ihr ∫ x dy = 16/3. Beide zusammen füllen das Rechteck mit der Fläche x · y = 2 · 4 = 8. Daraus folgt ∫ y dx = x · y − ∫ x dy.

Das Bild zeigt die Idee mit Flächen: Das Rechteck mit den Seiten x und y besteht aus der Fläche unter der Kurve ( $\int y d x$ ) und der Fläche links von ihr ( $\int x d y$ ). Es gilt also $\int y d x = x \cdot y - \int x d y$ . Das ist dieselbe Formel.

Welcher Faktor wird g?

Als g wählst du den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird: ein Polynom wie x oder $x^{2}$ (es wird kleiner) oder $\ln x$ (die Ableitung ist ein Bruch). Als $f'$ wählst du den Faktor, den du leicht integrieren kannst: $e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$ .

Mehrfach anwenden

Manchmal brauchst du die Methode zweimal. Bei $x^{2} \cdot e^{x}$ wird nach dem ersten Schritt aus $x^{2}$ ein $2 x$ . Bei $e^{x} \cdot \sin x$ passiert etwas Schönes: Nach zwei Schritten taucht das Ausgangsintegral wieder auf, und du löst die entstandene Gleichung danach auf.

Partialbruchzerlegung (kurz)

Bei einem Bruch aus zwei Polynomen, etwa $\frac{1}{x^{2} - 1}$ , zerlegst du den Bruch in einfache Brüche, die du einzeln integrierst. Wie die Zerlegung genau funktioniert, steht auf der Seite Rationale Ausdrücke. Hier nur ein Beispiel für den Zweck.

Steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, brauchst du keine Zerlegung: Es ist $\int \frac{g' (x)}{g (x)} d x = \ln | g (x) | + C$ . Das ist eine Substitution mit $u = g (x)$ .

Welche Methode passt?

Schau dir den Integranden an. Die folgende Tabelle ordnet typische Formen den Methoden zu.

Entscheidungshilfe
So sieht der Integrand aus	Methode	Beispiel
$f (a x + b)$ mit einer Grundfunktion	lineare Substitution	$\sin (5 x)$
Innere Funktion und ihre Ableitung als Faktor	Substitution	$2 x \cdot e^{x^{2}}$
Produkt aus Polynom und $e^{x}$ , $\sin x$ oder $\cos x$	partielle Integration	$x \cdot e^{x}$
$\ln x$ oder eine Umkehrfunktion allein	partielle Integration mit dem Faktor 1	$\ln x$
Bruch aus zwei Polynomen	Partialbruchzerlegung	$\frac{1}{x^{2} - 1}$
Zähler ist Ableitung des Nenners	Substitution $u =$ Nenner	$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Wenn du dir unsicher bist, probiere zuerst eine Substitution. Sie ist schneller. Hilft sie nicht, ist es meist ein Produkt für die partielle Integration. Es gibt Integrale, bei denen mehrere Methoden nacheinander nötig sind, und solche, die sich gar nicht in einer einfachen Formel lösen lassen.

Zwei Hinweise zur Praxis. Erstens: Schreibe dir bei der Substitution immer ausdrücklich $d u = \dots d x$ auf. Zweitens: Wähle bei der partiellen Integration zuerst den Faktor, der beim Ableiten verschwindet oder einfacher wird, und prüfe, ob das neue Integral wirklich leichter ist. Wenn nicht, tausche die Rollen der beiden Faktoren.

Die Probe durch Ableiten

Integrieren lässt sich überprüfen, denn Ableiten ist einfacher. Leite dein Ergebnis ab. Wenn der Integrand herauskommt, stimmt die Stammfunktion. Das fängt Vorzeichen- und Faktorfehler ab.

Typische Fehler

Integrationskonstante vergessen: Beim unbestimmten Integral gehört $+ C$ dazu.
$d x$ nicht ersetzt: Bei der Substitution muss auch $d x$ durch $d u$ ausgedrückt werden. Danach darf kein x mehr im Integral stehen.
Grenzen nicht umgerechnet: Bei bestimmten Integralen gelten die alten Grenzen nur für x. Nach der Substitution brauchst du die Werte von u.
Produkt als Produkt der Integrale: Es ist nicht $\int f \cdot g = \int f \cdot \int g$ . Dafür gibt es die partielle Integration.
Falsche Wahl bei der partiellen Integration: Bei $x \cdot e^{x}$ ist $g = e^{x}$ ungeschickt. Das neue Integral $\int \frac{x^{2}}{2} e^{x}$ wäre schwerer als das alte.
Vorzeichen bei $- \int$ : Die Formel hat ein Minus vor dem zweiten Integral. Achte auf das Vorzeichen, wenn $f$ selbst negativ ist, wie bei $f = - \cos x$ .
Faktor bei linearer Substitution vergessen: $\int e^{2 x} d x$ ist $\frac{1}{2} e^{2 x}$ und nicht $e^{2 x}$ .

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Integrale: Aufgaben, Ableitungsregeln: Aufgaben und Integrationsmethoden: Aufgaben.

Geschichte: von Leibniz bis Euler

Die Zeichen $\int$ und $d x$ führte Gottfried Wilhelm Leibniz im Herbst 1675 ein. Seine Schreibweise ist der Grund, warum die Substitution so natürlich aussieht: Mit $d u = g' (x) d x$ rechnet man mit den Differentialen fast wie mit Brüchen. Eine geometrische Vorform der partiellen Integration steht schon in Blaise Pascals Arbeit über Kurvendreiecke von 1658. Leibniz bewies einen Spezialfall und nannte ihn Transmutationstheorem. Damit untersuchte er die Kreisfläche und fand die Reihe $\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots$ .

Brüche aus Polynomen zerlegten Leibniz und Johann Bernoulli ab 1702, um sie zu integrieren (Bernoulli-Brüder). Leonhard Euler ordnete all diese Methoden in seinen Institutiones calculi integralis (1768 bis 1770) zu einem Lehrgebäude. Er fand auch Substitutionen für Integrale mit Wurzeln aus quadratischen Ausdrücken, die heute seinen Namen tragen. Auch Isaac Newton hatte unabhängig von Leibniz Integrale als Umkehrung seiner Fluxionen berechnet.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich, ob Substitution oder partielle Integration besser ist?

Steckt in einem Produkt die Ableitung des anderen Faktors oder einer inneren Funktion, wie bei $2 x \cdot e^{x^{2}}$ , substituierst du. Ist es ein Produkt zweier „unabhängiger“ Faktoren wie $x \cdot e^{x}$ , nutzt du die partielle Integration.

Warum braucht die Substitution kein Zurückrechnen bei Grenzen?

Weil du die Grenzen mit umrechnest, rechnest du das ganze Integral in der Variable u. Das Ergebnis ist eine Zahl und hängt nicht mehr von x oder u ab.

Muss ich bei der partiellen Integration die Konstante

C

im Zwischenschritt mitführen?

Nein. Du brauchst nur eine Stammfunktion $f$ von $f'$ . Die Konstante schreibst du am Ende einmal dazu.

Die Grundintegrale

Lineare Substitution

Die Substitution

Bestimmte Integrale: Grenzen umrechnen

Partielle Integration

Welcher Faktor wird g?

Mehrfach anwenden

Partialbruchzerlegung (kurz)

Welche Methode passt?

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Typische Fehler

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