Verhältnisse und Proportionalität

Zwei Größen sind proportional, wenn sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Verdoppelst du die Menge der Äpfel, verdoppelt sich der Preis. Genau dieses Muster begegnet dir beim Kochen, beim Tanken, auf Landkarten und beim Währungsumtausch. Ein Verhältnis vergleicht dagegen zwei Größen miteinander, zum Beispiel Saft und Wasser in einem Getränk.

Hier lernst du, Verhältnisse zu kürzen und zu erweitern, Proportionen zu lösen und mit dem Dreisatz zu rechnen. Du unterscheidest direkte und umgekehrte Proportionalität an Tabellen und Graphen. Am Ende erfährst du, wie der Mathematiker Eudoxos Verhältnisse für beliebige Größen erklärte. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Verhältnisse (Ratios) verstehen

Ein Verhältnis schreibst du mit einem Doppelpunkt und liest es „a zu b“. Es ist nichts anderes als ein Bruch: a : b = a/b. Ein Mischungsverhältnis von Saft zu Wasser von 1 : 4 bedeutet: Auf 1 Teil Saft kommen 4 Teile Wasser. Zusammen sind das 5 Teile, der Saftanteil beträgt also $\frac{1}{5}$ = 20 %. Aus 200 ml Saft werden mit 800 ml Wasser genau 1 Liter Getränk.

Aufteilen im Verhältnis

Verhältnisse brauchst du, wenn etwas gerecht oder nach Vorgabe geteilt wird. Zwei Geschwister teilen sich 240 € im Verhältnis 3 : 5. Insgesamt gibt es 3 + 5 = 8 Teile. Ein Teil ist 240 € : 8 = 30 €. Das erste Kind bekommt 3 · 30 € = 90 €, das zweite 5 · 30 € = 150 €. Probe: 90 € + 150 € = 240 €.

Proportionen und Variationen

Sind zwei Verhältnisse gleich, nennt man das eine Proportion. Die äußeren Zahlen heißen Außenglieder, die inneren Innenglieder. Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. Damit kannst du eine unbekannte Zahl berechnen, was man auch Kreuzmultiplikation nennt.

Der Begriff Variation beschreibt, wie sich eine Größe verändert, wenn eine andere sich ändert. Man unterscheidet drei Arten, die du in der folgenden Tabelle findest.

Bei der zusammengesetzten Variation hängt eine Größe von mehreren anderen ab. Die einfache Zinsformel Z = K · p % · t ist ein Beispiel: Verdoppelst du das Kapital oder die Zeit, verdoppeln sich die Zinsen. Eine besondere Proportion ist a : b = b : c, die „stetige Proportion“. Sie führt zum Goldenen Schnitt.

Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn das Doppelte der einen Größe zum Doppelten der anderen gehört, das Dreifache zum Dreifachen und die Hälfte zur Hälfte. Dann ist der Quotient der beiden Größen immer derselbe Wert k, die Proportionalitätskonstante.

Ein Beispiel: 1 kg Äpfel kostet 2 €. In der Wertetabelle steht in der letzten Spalte immer dasselbe Ergebnis, nämlich 2 €/kg.

Dreisatz bei direkter Proportionalität

Der Dreisatz ist das wichtigste Rechenverfahren für proportionale Größen. Er besteht aus drei Sätzen: Du schreibst das Gegebene auf, rechnest auf die Einheit 1 zurück und dann auf die gesuchte Menge hoch. Bei direkter Proportionalität teilst du erst und multiplizierst dann.

Auch die Prozentrechnung lässt sich so lösen, denn Prozentwert und Prozentsatz sind direkt proportional.

Umgekehrte (indirekte) Proportionalität

Zwei Größen sind umgekehrt proportional (auch antiproportional oder indirekt proportional), wenn das Doppelte der einen Größe zur Hälfte der anderen gehört. Nicht der Quotient, sondern das Produkt bleibt dann konstant.

Ein Gärtner braucht 12 Tage, um ein großes Beet umzugraben. Zwei Gärtner schaffen es in 6 Tagen, drei in 4 Tagen. Die Arbeit ist immer gleich groß, nämlich 12 „Gärtnertage“. Das Produkt aus Anzahl und Tagen ist hier die Konstante k = 12 (vorausgesetzt, alle arbeiten gleich schnell).

Dreisatz bei umgekehrter Proportionalität

Auch hier gehst du über die Einheit 1, aber diesmal multiplizierst du zuerst und teilst dann. Denn eine einzelne Person braucht viel länger als eine ganze Gruppe.

Geschichte: Eudoxos, Euklid und die Proportionenlehre

Die alten Griechen waren überzeugt, dass sich alle Verhältnisse als Verhältnisse ganzer Zahlen schreiben lassen. Die Pythagoreer bauten darauf sogar Musik und Weltbild auf. Dann kam ein Schock: Die Diagonale eines Quadrats und seine Seite haben kein gemeinsames Maß, ihr Verhältnis √2 : 1 lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Eine Überlieferung verbindet diese Entdeckung mit Hippasos von Metapont. Sicher belegt ist das nicht. Auf jeden Fall gerieten alle Beweise ins Wanken, die mit Verhältnissen arbeiteten.

Gerettet hat die Lage Eudoxos von Knidos (um 400 bis um 347 v. Chr.). Er fand eine Definition für „gleiche Verhältnisse“, die ohne Brüche und ohne Dividieren auskommt und für beliebige Strecken, Flächen und Winkel gilt. Sie steht als Definition 5 in Buch V der Elemente von Euklid (um 300 v. Chr.). In heutiger Schreibweise lautet sie:

Das klingt umständlich, ist aber ein genialer Trick. Statt zu fragen, ob zwei Verhältnisse als Brüche gleich sind, vergleicht man sie durch Ganzzahl-Vielfache. So lassen sich auch Verhältnisse wie √2 : 1 vergleichen, obwohl es dafür keinen Bruch gibt. Mathematikhistoriker sehen in dieser Idee einen Vorläufer der Schnitte, mit denen Richard Dedekind 1872 die reellen Zahlen begründete. Euklid baute auf Eudoxos’ Lehre in Buch V auf und wendete sie in Buch VI auf ähnliche Figuren an. Bei ihm sind Verhältnisse noch keine Zahlen, sondern Beziehungen zwischen Größen.

Das Rechnen mit Dreisatz entwickelte sich unabhängig davon. Indische Gelehrte wie Aryabhata (um 500) und Brahmagupta (628) beschrieben eine „Regel der drei“. Über die islamische Welt gelangte sie nach Europa, wo Kaufleute sie für Preise und Mengen einsetzten. Fibonacci nutzte den Dreisatz in seinem Liber Abaci (1202), und in späteren Rechenbüchern hieß er oft „Goldene Regel“.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, Cambridge University Press, Cambridge 1908 (Nachdruck Dover, New York 1956).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Eudoxus of Cnidus (englisch)
• Wikipedia: Proportionalität