René Descartes

René Descartes (1596–1650) war ein französischer Philosoph, Mathematiker und Naturforscher. In der Mathematik ist er der Begründer der analytischen Geometrie: In seiner Schrift La Géométrie von 1637 zeigte er, wie man geometrische Kurven durch algebraische Gleichungen beschreibt und geometrische Probleme durch Rechnen löst. Unabhängig von ihm entwickelte zur selben Zeit Pierre de Fermat denselben Grundgedanken.

Nach Descartes ist das „kartesische“ Koordinatensystem benannt, das heute jedes Schulkind kennt, auch wenn er es in dieser Form nie gezeichnet hat. Seine Schreibweise mit x, y und z für Unbekannte und mit hochgestellten Exponenten wie x³ ist dagegen fast unverändert in Gebrauch. Außerhalb der Mathematik wurde er mit dem Satz „Ich denke, also bin ich“ zum Gründervater der neuzeitlichen Philosophie.

Herkunft und Ausbildung in La Flèche

René Descartes wurde am 31. März 1596 in La Haye en Touraine geboren, einer Kleinstadt südlich von Tours, die seit 1967 seinen Namen trägt. Sein Vater Joachim war Rat am Parlament der Bretagne, einem obersten Gericht. Die Mutter starb im Jahr nach seiner Geburt, und René wuchs bei seiner Großmutter auf. Er war ein kränkliches Kind.

Von 1607 bis 1614 besuchte er das Jesuitenkolleg in La Flèche, eine der angesehensten Schulen Frankreichs. Dort lernte er die scholastische Philosophie und die Mathematik nach den Lehrbüchern von Christoph Clavius kennen. Wegen seiner schwachen Gesundheit durfte er morgens lange im Bett bleiben, eine Gewohnheit, die er sein Leben lang beibehielt. 1616 schloss er ein Jurastudium in Poitiers ab, wollte aber nicht Jurist werden.

Wanderjahre: Beeckman und die Träume von 1619

1618 trat Descartes als Freiwilliger in das Heer des protestantischen Moritz von Oranien in Breda ein, das sich gerade in einer Waffenruhe befand. Dort lernte er im November 1618 den niederländischen Schulmeister und Naturforscher Isaac Beeckman kennen. Beeckman wollte physikalische Fragen mathematisch beantworten, etwa nach dem freien Fall oder dem Druck von Flüssigkeiten, und gewann Descartes für dieses Programm. Seine erste Schrift, ein Abriss der Musiktheorie, widmete Descartes ihm.

1619 wechselte er zum Heer des katholischen Herzogs Maximilian von Bayern. Im Winterquartier an der Donau, vermutlich bei Ulm, hatte er in der Nacht vom 10. auf den 11. November 1619 drei Träume, die er als Auftrag deutete, eine einheitliche, auf Mathematik gegründete Wissenschaft zu schaffen. Die folgenden Jahre verbrachte er auf Reisen durch Deutschland, Böhmen, Italien und Frankreich. In Paris fand er in Marin Mersenne einen Freund, der für den Rest seines Lebens sein wichtigster Briefpartner blieb und ihn mit den Gelehrten Europas verband.

Zwei Jahrzehnte in den Niederlanden

1628 zog Descartes in die Niederlande, wo er bis 1649 lebte und häufig den Wohnort wechselte. Er suchte dort vor allem Ruhe zum Arbeiten und eine vergleichsweise freie Buchkultur. Ein großes Werk über die Natur, Le Monde, war 1633 fast fertig, als er von der Verurteilung Galileo Galileis durch die römische Inquisition erfuhr. Weil auch er die Bewegung der Erde lehrte, hielt er das Buch zurück; es erschien erst nach seinem Tod.

Stattdessen veröffentlichte er 1637 in Leiden anonym den Discours de la méthode („Abhandlung über die Methode“) mit drei Anhängen als Beispielen der Methode: La Dioptrique über Optik, Les Météores über Wetterphänomene und La Géométrie. Es folgten 1641 die Meditationes de prima philosophia und 1644 die Principia philosophiae. In diese Jahre fällt auch die Geburt seiner Tochter Francine (1635), die 1640 im Alter von fünf Jahren starb.

Ernsthaften Ärger bereiteten ihm nicht katholische, sondern protestantische Theologen. In Utrecht erreichte der Theologe Gisbertus Voetius 1642, dass die Universität die Lehre der neuen Philosophie verurteilte; auch in Leiden kam es zu Auseinandersetzungen. Mit Fermat stritt Descartes 1637 und 1638 über Mersenne um die richtige Methode, Tangenten an Kurven zu legen, und um sein Brechungsgesetz.

„La Géométrie“ (1637): Algebra trifft Geometrie

La Géométrie umfasst rund hundert Seiten in drei Büchern. Descartes knüpfte an die Algebra von François Viète an, der als Erster Buchstaben für bekannte und unbekannte Größen verwendet hatte, und an die Kegelschnittlehre des Apollonios. Neu war, dass er Geometrie und Algebra zu einer einzigen Methode verschmolz: Ein geometrisches Problem wird in eine Gleichung übersetzt, die Gleichung algebraisch gelöst und das Ergebnis wieder geometrisch gedeutet.

Mit Strecken rechnen wie mit Zahlen

Für die griechischen Mathematiker und noch für Viète war das Produkt zweier Strecken eine Fläche und das Produkt dreier Strecken ein Körper. Man durfte deshalb nur gleichartige Größen addieren, also nicht etwa x² + x. Descartes beseitigte diese Schranke mit einem einfachen Kunstgriff: Er legte eine beliebige Strecke als Einheit fest. Mit ähnlichen Dreiecken lässt sich dann zu zwei Strecken a und b eine dritte Strecke der Länge a · b konstruieren, ebenso Quotienten und Quadratwurzeln. Strecken werden so zu Zahlen, mit denen man ohne Rücksicht auf Dimensionen rechnen kann.

Der Prüfstein: das Problem des Pappos

Wie leistungsfähig die Methode war, zeigte Descartes an einem Problem, auf das ihn der Leidener Mathematiker Jacob Golius 1631 aufmerksam gemacht hatte. Der spätantike Geometer Pappos von Alexandria hatte es überliefert: Gegeben sind vier Geraden; gesucht sind alle Punkte, für die das Produkt der Abstände zu zwei der Geraden in einem festen Verhältnis zum Produkt der Abstände zu den beiden anderen steht. Für vier Geraden ist die Lösung ein Kegelschnitt, für mehr Geraden fanden die antiken Mathematiker keine Antwort.

Descartes maß die Lage eines Punktes durch zwei Strecken: die Entfernung x entlang einer der gegebenen Geraden und die Strecke y, die von dort unter festem Winkel zum Punkt führt. Jede Bedingung des Problems wurde so zu einer Gleichung in x und y. Bei vier Geraden ergab sich eine Gleichung zweiten Grades, also ein Kegelschnitt; bei mehr Geraden entstehen Kurven höheren Grades. Damit hatte er nicht nur das antike Problem in voller Allgemeinheit gelöst, sondern zugleich das Grundprinzip der analytischen Geometrie vorgeführt: Eine Kurve ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten eine Gleichung erfüllen.

Kurven als Gleichungen

Descartes ordnete die Kurven nach dem Grad ihrer Gleichung. Als „geometrisch“ ließ er nur Kurven gelten, die eine algebraische Gleichung beschreibt; Kurven wie die archimedische Spirale nannte er „mechanisch“ und schloss sie aus. Er entwickelte außerdem ein Verfahren, um an einer Kurve die Normale und damit die Tangente zu bestimmen: Ein Kreis berührt die Kurve genau dann, wenn die zugehörige Gleichung eine doppelte Lösung hat.

Auch die Kegelschnitte erhalten so einfache Gleichungen. Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b und eine Hyperbel lassen sich schreiben als

Die Gleichung y² = 16x beschreibt eine nach rechts geöffnete Parabel mit dem Brennpunkt (4|0). Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehen, werden an der Parabel so reflektiert, dass sie parallel zur Achse verlaufen. Auf dieser Eigenschaft beruhen Scheinwerfer und Parabolantennen.

Buch III: Gleichungen und die Vorzeichenregel

Das dritte Buch ist eine kleine Theorie der algebraischen Gleichungen. Descartes stellte fest, dass ein Polynom mit der Lösung a durch x − a teilbar ist, und dass eine Gleichung so viele Lösungen haben kann, wie ihr Grad angibt, wenn man negative („falsche“) und nicht reelle Lösungen mitzählt. Für Letztere prägte er das Wort „imaginär“. Am bekanntesten ist seine Vorzeichenregel: Die Anzahl der positiven Lösungen eines Polynoms ist höchstens so groß wie die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge seiner Koeffizienten und unterscheidet sich von ihr um eine gerade Zahl. Einen Beweis gab Descartes nicht.

Die moderne Schreibweise

La Géométrie gilt als ältestes Mathematikbuch, das ein heutiger Leser ohne große Mühe lesen kann. Descartes bezeichnete bekannte Größen mit den ersten Buchstaben des Alphabets (a, b, c) und Unbekannte mit den letzten (x, y, z). Potenzen schrieb er mit hochgestellten Zahlen wie x³ oder x⁴; nur für das Quadrat blieb er meist bei xx. Ein Unterschied fällt allerdings auf: Statt des Gleichheitszeichens = verwendete er ein eigenes Zeichen, das wohl aus der Ligatur „æ“ für lateinisch aequalis entstand.

Was am „kartesischen“ Koordinatensystem von Descartes stammt

Das Koordinatensystem mit zwei senkrechten Achsen, einem Ursprung, positiven und negativen Werten und vier Quadranten sucht man in La Géométrie vergeblich. Descartes verwendete eine Bezugsgerade und Strecken unter einem Winkel, den er dem jeweiligen Problem anpasste, also schiefwinklige Koordinaten. Eine zweite Achse zeichnete er nicht, und negative Koordinaten behandelte er nicht systematisch. Von ihm stammt die entscheidende Idee, Punkte durch Zahlen festzulegen und Kurven durch Gleichungen zu beschreiben.

Diese Idee hatte Vorläufer und Mitentdecker. Schon Apollonios beschrieb Kegelschnitte mit Hilfe von Bezugslinien, und Nikolaus von Oresme stellte im 14. Jahrhundert veränderliche Größen grafisch dar. Fermat formulierte um 1636 in einer Schrift, die nur handschriftlich kursierte, die gleichen Grundsätze wie Descartes. Zum Standardwerkzeug wurde die Methode erst durch die kommentierten lateinischen Ausgaben von Frans van Schooten (1649 und 1659–1661), durch John Wallis und durch Isaac Newton, der systematisch auch negative Koordinaten verwendete. Das Wort „Koordinaten“ führte Gottfried Wilhelm Leibniz ein; „kartesisch“ leitet sich von Descartes’ latinisiertem Namen Cartesius ab.

Weitere mathematische Ergebnisse

Über seine Briefe sind weitere Entdeckungen überliefert. 1638 forderte Descartes Fermat heraus, die Tangente an die Kurve x³ + y³ = 3axy zu bestimmen, die heute kartesisches Blatt heißt; Fermat löste die Aufgabe mit seiner eigenen Methode. Im selben Jahr teilte Descartes Mersenne das befreundete Zahlenpaar 9.363.584 und 9.437.056 mit. Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede die Summe der echten Teiler der anderen ist. Descartes benutzte dafür eine Regel, die Thabit ibn Qurra im 9. Jahrhundert in Bagdad aufgestellt hatte. Dasselbe Paar hatte auch der persische Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi gefunden, vermutlich etwa zur selben Zeit oder etwas früher.

In einem Brief an Prinzessin Elisabeth von der Pfalz bewies Descartes 1643 eine Beziehung zwischen vier Kreisen, die einander paarweise berühren. Bezeichnet man die Krümmungen (die Kehrwerte der Radien) mit k₁ bis k₄, so gilt der Satz von Descartes:

In einer unvollendeten Schrift über Vielflächner, die nur in einer Abschrift von Leibniz erhalten ist und erst 1860 veröffentlicht wurde, zeigte Descartes, dass sich die „fehlenden Winkel“ an allen Ecken eines konvexen Polyeders stets zu 720° addieren. Beim Würfel treffen sich an jeder Ecke drei rechte Winkel, es fehlen also 90° zum Vollwinkel, und 8 · 90° = 720°. Aus diesem Satz folgt die Polyederformel E − K + F = 2, die Leonhard Euler 1750 aufstellte.

Optik, Physik und Philosophie

In La Dioptrique veröffentlichte Descartes 1637 das Brechungsgesetz: Beim Übergang des Lichts in ein anderes Medium bleibt das Verhältnis der Sinuswerte von Einfalls- und Brechungswinkel gleich. Willebrord Snellius hatte das Gesetz schon um 1621 gefunden, aber nicht veröffentlicht, und der arabische Gelehrte Ibn Sahl kannte es bereits im 10. Jahrhundert. In Les Météores berechnete Descartes mit diesem Gesetz den Winkel des Regenbogens von rund 42° und erklärte den Nebenregenbogen. Die Entstehung des Regenbogens durch Brechung und Reflexion in Tropfen hatten um 1300 schon Dietrich von Freiberg und Kamal ad-Din al-Farisi qualitativ beschrieben.

In den Principia philosophiae (1644) formulierte Descartes Naturgesetze, darunter als einer der Ersten klar das Trägheitsgesetz: Ein Körper bewegt sich ohne äußere Einwirkung geradlinig weiter. Sein Erhaltungssatz für die „Bewegungsmenge“ und seine Stoßregeln erwiesen sich dagegen als fehlerhaft und wurden von Christiaan Huygens und Leibniz korrigiert. Die Planetenbewegung erklärte er durch Wirbel einer feinen Materie, die die Planeten um die Sonne tragen. Diese Wirbeltheorie war mit dem kopernikanischen Weltbild vereinbar und blieb in Frankreich populär, bis sich im 18. Jahrhundert Newtons Gravitationstheorie durchsetzte.

Philosophisch suchte Descartes eine Gewissheit, wie sie die Mathematik bietet. Er zweifelte methodisch an allem, was sich bezweifeln lässt, und fand nur eines, das dem Zweifel standhält: dass er selbst denkt. Im Discours heißt es „Je pense, donc je suis“, in den Principia lateinisch „ego cogito, ergo sum“. Seine Unterscheidung zwischen denkender und ausgedehnter Substanz, der Leib-Seele-Dualismus, wird in der Philosophie des Geistes bis heute diskutiert.

Stockholm und Tod

1649 folgte Descartes einer Einladung der schwedischen Königin Christina nach Stockholm, wo er im Oktober eintraf. Nach der Überlieferung seines frühen Biografen Adrien Baillet musste er der Königin um fünf Uhr morgens Unterricht in Philosophie geben, ausgerechnet ein Langschläfer im nordischen Winter. Im Februar 1650 erkrankte er an einer Lungenentzündung und starb am 11. Februar 1650. Die These, er sei vergiftet worden, hat der Philosophiehistoriker Theodor Ebert 2009 vertreten; bewiesen ist sie nicht. 1663 setzte die katholische Kirche seine Werke auf den Index der verbotenen Bücher.

Zeitleiste: René Descartes

1. 1596 Geburt am 31. März in La Haye en Touraine
2. 1607–1614 Jesuitenkolleg in La Flèche
3. 1616 Abschluss des Jurastudiums in Poitiers
4. 1618 Dienst im Heer Moritz’ von Oranien; Begegnung mit Isaac Beeckman in Breda
5. 1619 Die drei Träume vom 10. auf den 11. November im Winterquartier an der Donau
6. 1628 Übersiedlung in die Niederlande
7. 1637 Discours de la méthode mit La Géométrie, La Dioptrique und Les Météores
8. 1641/1644 Meditationes und Principia philosophiae
9. 1649 Reise nach Stockholm an den Hof Königin Christinas
10. 1650 Tod am 11. Februar in Stockholm

Bedeutung und Nachwirkung

Die analytische Geometrie machte Geometrie berechenbar und Algebra anschaulich. Ohne sie wären die Differential- und Integralrechnung von Newton und Leibniz kaum denkbar gewesen, denn beide arbeiteten mit Kurven, die durch Gleichungen gegeben sind. Wer heute in der Schule den Graphen einer Funktion zeichnet, die Gleichung einer Geraden aufstellt oder den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet, wendet Descartes’ Methode an.

Weit über die Schule hinaus beruhen Navigationssysteme, Computergrafik, technische Zeichenprogramme und die Robotik darauf, Punkte durch Zahlen zu beschreiben. In der Mengenlehre heißt die Menge aller Paare (a, b) nach ihm das kartesische Produkt. Die Bezeichnung x für die Unbekannte, die Descartes einführte, ist zum Symbol für Mathematik überhaupt geworden.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• René Descartes: Geometrie, deutsch herausgegeben von Ludwig Schlesinger, Mayer & Müller, Berlin 1894 (Nachdruck: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1969).
• The Geometry of René Descartes, übersetzt von David Eugene Smith und Marcia L. Latham, Open Court, Chicago 1925 (Nachdruck: Dover, New York 1954).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: René Descartes (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Descartes’ Mathematics (englisch)