Mathematik im 21. Jahrhundert

Die Mathematik im 21. Jahrhundert begann mit einer Erinnerung an Hilbert: Im Jahr 2000 stellte das Clay Mathematics Institute sieben „Millennium-Probleme“ vor und setzte auf jedes eine Million US-Dollar aus. Eines davon, die fast hundert Jahre alte Poincaré-Vermutung, löste Grigori Perelman nur zwei Jahre später. Weitere Durchbrüche folgten bei den Primzahlen, in der Geometrie und im weit verzweigten Langlands-Programm, das Zahlentheorie, Analysis und Geometrie verbindet.

Zugleich veränderte sich, wie Mathematik betrieben wird. Ergebnisse erscheinen zuerst frei zugänglich im Internet, große Projekte entstehen in offener Zusammenarbeit, und Beweisassistenten wie Lean prüfen Beweise Schritt für Schritt per Software. Seit den 2020er-Jahren lösen Systeme der künstlichen Intelligenz Olympiadeaufgaben und liefern Beiträge zur Forschung. Das weckt Begeisterung, aber auch Streit über Verlässlichkeit und Urheberschaft.

Auch die Gesichter des Fachs werden vielfältiger. 2014 erhielt mit Maryam Mirzakhani erstmals eine Frau die Fields-Medaille; bis 2026 folgten Maryna Viazovska und Hong Wang. Die großen offenen Fragen des vorigen Jahrhunderts, etwa die Riemannsche Vermutung oder das P-NP-Problem, sind dagegen weiterhin ungelöst.

Kontext: Mathematik in einer vernetzten Welt

Die Mathematik des neuen Jahrhunderts baut unmittelbar auf der Mathematik des 20. Jahrhunderts auf: auf der Sprache der Strukturen, auf der Theorie der Berechenbarkeit und auf dem Computer als Werkzeug. Neu ist vor allem die Geschwindigkeit des Austauschs. Seit 1991 stellen Forschende ihre Arbeiten auf dem Preprint-Server arXiv frei ins Netz, oft lange vor einer Veröffentlichung in Fachzeitschriften. Perelman veröffentlichte seinen Beweis der Poincaré-Vermutung sogar ausschließlich dort.

Das Internet ermöglichte auch neue Formen der Zusammenarbeit. 2009 rief Timothy Gowers auf seinem Blog das erste „Polymath“-Projekt ins Leben, in dem viele Mathematiker öffentlich gemeinsam an einem Problem arbeiten. Neben die Fields-Medaille traten neue, hoch dotierte Auszeichnungen: der seit 2003 verliehene Abelpreis der Norwegischen Akademie der Wissenschaften und ab 2015 der Breakthrough Prize in Mathematics. Die Forschung ist heute global: 2018 tagte der Internationale Mathematikerkongress in Rio de Janeiro erstmals auf der Südhalbkugel, 2026 in Philadelphia zum ersten Mal seit 1986 wieder in den USA.

Die Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute (2000)

Am 24. Mai 2000, rund hundert Jahre nach Hilberts berühmtem Vortrag, stellte das Clay Mathematics Institute im Pariser Collège de France sieben ungelöste Probleme vor. Ausgewählt hatte sie ein Beirat aus Alain Connes, Arthur Jaffe, Andrew Wiles und Edward Witten. Für jede Lösung gibt es eine Million US-Dollar, allerdings erst, wenn sie in einer anerkannten Fachzeitschrift erschienen ist, mindestens zwei Jahre vergangen sind und die Fachwelt sie akzeptiert hat. Anders als bei David Hilberts 23 Problemen ging es nicht darum, neue Forschungsrichtungen anzustoßen, sondern darum, die schwierigsten bekannten Fragen ins öffentliche Bewusstsein zu rücken.

Perelman und die Poincaré-Vermutung

Die Vermutung, die Henri Poincaré 1904 formuliert hatte, lässt sich an einer Kugeloberfläche veranschaulichen: Jede geschlossene Schleife darauf lässt sich zu einem Punkt zusammenziehen, ohne die Fläche zu verlassen. Auf einem Torus, der Oberfläche eines Rettungsrings, gelingt das nicht für jede Schleife. Poincaré fragte, ob diese Eigenschaft auch im Dreidimensionalen ausreicht, um die „dreidimensionale Sphäre“ unter allen geschlossenen Räumen eindeutig zu erkennen. In höheren Dimensionen war das Analogon schon 1961 und 1982 bewiesen worden; der dreidimensionale Fall widerstand allen Versuchen.

Den Weg zur Lösung hatte der Amerikaner Richard Hamilton 1982 mit dem Ricci-Fluss gewiesen: einem Verfahren, das die Krümmung eines Raumes ähnlich wie Wärme ausgleicht, bis eine möglichst gleichmäßige Form entsteht. Das Problem waren Singularitäten: Stellen, an denen sich der Raum während des Flusses einschnürt und die Rechnung zusammenbricht. Grigori Perelman vom Steklow-Institut in Sankt Petersburg zeigte, wie man diese Einschnürungen kontrolliert herausschneiden und den Fluss fortsetzen kann („Ricci-Fluss mit Chirurgie“). Zwischen November 2002 und Juli 2003 stellte er drei Preprints auf arXiv. Sie bewiesen nicht nur die Poincaré-Vermutung, sondern auch die allgemeinere Geometrisierungsvermutung William Thurstons, nach der sich jeder dreidimensionale Raum in Stücke mit einer von acht Standardgeometrien zerlegen lässt.

Perelmans knappe Darstellung musste von anderen ausgearbeitet werden; 2006 legten drei Teams ausführliche Überprüfungen vor. Im selben Jahr kürte die Zeitschrift Science den Beweis zum „Durchbruch des Jahres“, und die Internationale Mathematische Union sprach Perelman in Madrid die Fields-Medaille zu. Er lehnte sie als Erster ab. Am 18. März 2010 erkannte ihm das Clay-Institut den Millennium-Preis zu; am 1. Juli 2010 lehnte er auch diesen ab. Bereits Ende 2005 hatte er das Steklow-Institut verlassen und sich aus der Forschung zurückgezogen.

Primzahlen: Muster und Lücken

Primzahlen werden mit wachsender Größe im Durchschnitt seltener, und doch zeigen sie überraschende Regelmäßigkeiten. 2004 bewiesen Ben Green und Terence Tao, dass es unter den Primzahlen beliebig lange arithmetische Progressionen gibt, also Folgen mit gleichem Abstand. Ein Beispiel der Länge fünf ist 5, 11, 17, 23, 29 mit dem Abstand 6. Das Green-Tao-Theorem (veröffentlicht 2008) bestätigte einen Spezialfall einer weitreichenden Vermutung von Paul Erdős. Tao erhielt 2006 die Fields-Medaille.

Noch älter ist die Frage nach den Primzahlzwillingen wie 11 und 13 oder 41 und 43: Gibt es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2? Im Frühjahr 2013 gelang dem damals kaum bekannten Dozenten Yitang Zhang von der University of New Hampshire ein erster Durchbruch. Er bewies, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, deren Abstand höchstens 70 Millionen beträgt. Die Zahl klingt groß, entscheidend war aber, dass es überhaupt eine feste Schranke gibt. Im November 2013 senkte James Maynard sie mit einer neuen, einfacheren Methode auf 600 (Terence Tao fand unabhängig einen ähnlichen Ansatz). Das öffentliche Gemeinschaftsprojekt Polymath8 drückte die Schranke anschließend auf 246. Maynard wurde 2022 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.

Auch die berühmte Vermutung von Christian Goldbach kam voran: 2013 legte Harald Helfgott einen Beweis der „schwachen“ Goldbach-Vermutung vor, nach der jede ungerade Zahl größer als 5 Summe von drei Primzahlen ist. Die starke Form (jede gerade Zahl größer als 2 ist Summe zweier Primzahlen) ist zwar für alle Zahlen bis 4 · 10¹⁸ per Computer bestätigt, aber weiterhin unbewiesen.

Neue Gesichter: Mirzakhani, Viazovska und Wang

Maryam Mirzakhani wurde 1977 in Teheran geboren. 1994 und 1995 gewann sie Goldmedaillen bei der Internationalen Mathematik-Olympiade, beim zweiten Mal mit voller Punktzahl. Nach der Promotion 2004 in Harvard bei Curtis McMullen lehrte sie in Princeton und ab 2008 in Stanford. Sie erforschte die Geometrie Riemannscher Flächen (gekrümmter Flächen mit mehreren „Löchern“) und ihrer Modulräume, also der Räume aller möglichen Formen einer solchen Fläche. Unter anderem bestimmte sie, wie schnell die Zahl der einfachen geschlossenen Geodäten (kürzester Wege, die sich selbst nicht kreuzen) auf hyperbolischen Flächen mit ihrer Länge wächst. Mit Alex Eskin und Amir Mohammadi bewies sie einen tiefen Starrheitssatz, der unter anderem Aussagen über Billardbahnen in Vielecken ermöglicht.

Am 13. August 2014 erhielt Mirzakhani in Seoul als erste Frau und als erste Iranerin die Fields-Medaille. Drei Jahre später, am 14. Juli 2017, starb sie mit 40 Jahren an Brustkrebs. Seit 2019 wird ihr Geburtstag, der 12. Mai, weltweit als Tag der Frauen in der Mathematik begangen.

Die Ukrainerin Maryna Viazovska bewies 2016, dass das sogenannte E8-Gitter die dichteste Anordnung gleich großer Kugeln im achtdimensionalen Raum liefert. Eine Woche später lösten sie und vier Kollegen mit derselben Methode auch den Fall von 24 Dimensionen. Zuvor war das Problem nur bis Dimension drei gelöst. 2022 erhielt Viazovska als zweite Frau die Fields-Medaille.

2025 legten Hong Wang und Joshua Zahl einen Beweis der dreidimensionalen Kakeya-Vermutung vor. Sōichi Kakeya hatte 1917 gefragt, wie wenig Fläche man braucht, um eine Nadel in der Ebene einmal vollständig umzudrehen; Abram Besicovitch zeigte, dass die Fläche beliebig klein sein kann. Die Vermutung besagt, dass solche Mengen trotzdem in einem präzisen Sinn „volle Dimension“ haben. Fachkollegen sprachen beim Beweis von Wang und Zahl von einem Ergebnis, wie es nur einmal in einem Jahrhundert gelingt. 2026 wurde Hong Wang als dritte Frau mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.

Das Langlands-Programm: Brücken zwischen Welten

1967 skizzierte der Kanadier Robert Langlands in einem Brief an André Weil ein Netz von Vermutungen, das zwei scheinbar getrennte Welten verbindet: die Lösungen von Gleichungen in der Zahlentheorie (beschrieben durch sogenannte Galois-Darstellungen) und hochsymmetrische Funktionen der Analysis (automorphe Formen). Dieses Langlands-Programm gilt heute als eine Art große vereinheitlichte Theorie der Mathematik. Wiles’ Beweis des Großen Fermatschen Satzes war ein spektakulärer Einzelfall davon; 2001 bewiesen Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor den Modularitätssatz für alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen.

2008 bewies der Vietnamese Ngô Bảo Châu das sogenannte Fundamentallemma, einen technischen, aber unverzichtbaren Baustein des Programms; 2010 erhielt er die Fields-Medaille. Peter Scholze aus Bonn entwickelte mit den perfektoiden Räumen neue Werkzeuge der arithmetischen Geometrie und wurde 2018 mit der Fields-Medaille geehrt. Im selben Jahr erhielt Langlands den Abelpreis.

Einen Meilenstein erreichte 2024 die geometrische Langlands-Vermutung, eine Variante, in der Zahlen durch geometrische Objekte ersetzt werden. Ein Team aus neun Mathematikern um Dennis Gaitsgory und Sam Raskin veröffentlichte einen Beweis in fünf Arbeiten mit zusammen mehr als 800 Seiten. Sie bildeten den Abschluss von rund drei Jahrzehnten Vorarbeit, in die Ideen Alexander Grothendiecks ebenso eingingen wie Anregungen aus der theoretischen Physik. Gaitsgory erhielt dafür 2025 den Breakthrough Prize in Mathematics.

Computerbeweise und Beweisassistenten

Seit dem Vier-Farben-Satz von 1976 ist der Computer als Beweishelfer akzeptiert, aber nie ganz unumstritten. Im 21. Jahrhundert verschob sich die Frage: Computer rechnen nicht mehr nur Fälle durch, sondern prüfen ganze Beweise auf logische Lückenlosigkeit.

Die Kepler-Vermutung und das Projekt Flyspeck

Johannes Kepler vermutete 1611, dass keine Anordnung gleich großer Kugeln dichter ist als die übliche Stapelung von Orangen im Obstregal. Sie füllt π/√18 ≈ 74,05 Prozent des Raumes. Thomas Hales legte 1998 mit seinem Studenten Samuel Ferguson einen Beweis vor, der auf umfangreichen Computerrechnungen beruhte. Die Gutachter der Annals of Mathematics erklärten nach jahrelanger Prüfung, sie seien zu 99 Prozent von seiner Richtigkeit überzeugt; 2005 erschien die Arbeit. Hales startete daraufhin das Projekt Flyspeck, das den gesamten Beweis mit den Beweisassistenten HOL Light und Isabelle formal nachprüfte. Am 10. August 2014 war es abgeschlossen.

Lean, mathlib und das Liquid Tensor Experiment

Ein Beweisassistent ist ein Programm, in dem man Definitionen und Beweise in einer formalen Sprache aufschreibt; die Software akzeptiert nur Schritte, die lückenlos aus Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen folgen. Georges Gonthier bestätigte so 2005 den Vier-Farben-Satz und 2012 mit einem Team den Satz von Feit und Thompson aus der Gruppentheorie. Besonders verbreitet ist inzwischen Lean, das Leonardo de Moura ab 2013 bei Microsoft Research entwickelte. Eine weltweite Gemeinschaft baut damit die Bibliothek mathlib auf, die große Teile der Universitätsmathematik formalisiert.

Im Dezember 2020 forderte Peter Scholze die Lean-Gemeinschaft heraus, einen zentralen Satz zu prüfen, den er mit Dustin Clausen bewiesen hatte und dessen Details er selbst nicht ganz traute. Nach einem ersten Meilenstein im Juni 2021 war dieses Liquid Tensor Experiment am 14. Juli 2022 vollständig abgeschlossen; Scholze berichtete, die Formalisierung habe ihm geholfen, den Beweis besser zu verstehen. Seit 2024 arbeitet ein Team um Kevin Buzzard daran, auch den Beweis des Großen Fermatschen Satzes in Lean zu formalisieren.

Rechnen im großen Stil

Daneben entstanden Beweise, die vor allem aus gewaltigen Rechnungen bestehen. 2016 zeigten Marijn Heule, Oliver Kullmann und Victor Marek mit einem SAT-Solver, dass sich die Zahlen von 1 bis 7824, aber nicht bis 7825 so in zwei Farben aufteilen lassen, dass kein pythagoreisches Tripel einfarbig ist; das Beweisprotokoll umfasste rund 200 Terabyte. 2024 bestimmte das Online-Projekt bbchallenge die fünfte „Fleißiger-Biber-Zahl“ der Theorie der Turingmaschinen: BB(5) = 47.176.870, abgesichert durch einen Beweis im Beweisassistenten Coq. Im Oktober 2024 fand das Projekt GIMPS mit 2^136279841 − 1 eine Mersenne-Primzahl mit 41.024.320 Stellen, die größte bekannte Primzahl (Stand 2026).

Künstliche Intelligenz in der Mathematik

Seit Anfang der 2020er-Jahre dringen Verfahren des maschinellen Lernens in die Forschung ein. 2021 berichteten Mathematiker gemeinsam mit Google DeepMind in Nature, wie neuronale Netze ihnen geholfen hatten, neue Vermutungen in der Knotentheorie und der Darstellungstheorie zu finden. Ende 2023 fand das System FunSearch neue Konstruktionen für das sogenannte Cap-Set-Problem der Kombinatorik. Im Mai 2025 stellte DeepMind AlphaEvolve vor, das unter anderem ein Verfahren fand, zwei 4×4-Matrizen mit komplexen Einträgen mit 48 statt 49 Multiplikationen zu multiplizieren. Das war die erste Verbesserung in diesem Fall seit Volker Strassens Methode von 1969.

Besonders sichtbar wurden die Fortschritte bei der Internationalen Mathematik-Olympiade. Im Juli 2024 erreichten DeepMinds Systeme AlphaProof und AlphaGeometry 2 mit 28 von 42 Punkten Silberniveau, brauchten für einige Aufgaben aber weit mehr Zeit als die Teilnehmenden und arbeiteten mit in Lean übersetzten Aufgaben. Ein Jahr später, im Juli 2025, lösten ein Modell von Google DeepMind (Gemini Deep Think) und ein experimentelles Modell von OpenAI jeweils fünf der sechs Aufgaben in natürlicher Sprache und innerhalb der Wettbewerbszeit; das sind 35 Punkte und damit Goldniveau. Nur die DeepMind-Ergebnisse wurden offiziell von den Koordinatoren der Olympiade bewertet.

Wie wichtig sorgfältige Prüfung bleibt, zeigte der Oktober 2025: Ein OpenAI-Manager verkündete, ein Sprachmodell habe zehn offene Probleme von Erdős gelöst. Tatsächlich hatte es nur bereits veröffentlichte Lösungen aufgespürt, die in einer Online-Problemsammlung noch als offen geführt wurden. Am 8. September 2026 kündigte OpenAI an, ein System aus Tausenden KI-Agenten habe nachgewiesen, dass bei den Navier-Stokes-Gleichungen unter einer glatten äußeren Kraft in endlicher Zeit eine Singularität entstehen kann. Damit wäre eines der Millennium-Probleme gelöst. Die Ankündigung löste eine Debatte über Urheberschaft und Veröffentlichungsnormen aus; eine Prüfung durch die Fachwelt stand im Oktober 2026 noch aus. Gerade hier zeigt sich die Rolle der Beweisassistenten: Sie können maschinell erzeugte Beweise unabhängig kontrollieren.

Offene Probleme: Riemannsche Vermutung, P gegen NP und mehr

Die Riemannsche Vermutung, 1859 von Bernhard Riemann aufgestellt, ist das einzige Problem, das sowohl auf Hilberts Liste von 1900 als auch unter den Millennium-Problemen steht. Sie besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf einer bestimmten Geraden liegen; daraus folgten sehr genaue Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Computer haben die ersten zehn Billionen Nullstellen überprüft, und alle liegen auf der Geraden. Ein Beweis ist das nicht.

Auch das P-NP-Problem ist offen. Die meisten Fachleute vermuten, dass P ≠ NP gilt, dass es also Probleme gibt, deren Lösungen sich leicht prüfen, aber nicht effizient finden lassen. Davon hängt unter anderem die Sicherheit heutiger Verschlüsselungsverfahren ab. Ein 2010 von Vinay Deolalikar verbreiteter Beweisversuch erwies sich rasch als fehlerhaft.

Umstritten ist der Status der abc-Vermutung über die Primfaktoren von Zahlen mit a + b = c. Shinichi Mochizuki stellte 2012 eine Arbeit von über 500 Seiten vor, die sie beweisen soll. Peter Scholze und Jakob Stix machten 2018 eine Lücke geltend; obwohl die Arbeit 2021 in einer von Mochizuki selbst herausgegebenen Zeitschrift erschien, gilt der Beweis in weiten Teilen der Fachwelt nicht als anerkannt. Offen sind ferner die Primzahlzwillingsvermutung, die starke Goldbach-Vermutung und die übrigen Millennium-Probleme.

Zeitleiste der Mathematik seit 2000

1. 2000 Das Clay Mathematics Institute stellt am 24. Mai in Paris die sieben Millennium-Probleme vor.
2. 2002/03 Perelman veröffentlicht auf arXiv seinen Beweis der Poincaré- und der Geometrisierungsvermutung.
3. 2004 Green und Tao beweisen, dass die Primzahlen beliebig lange arithmetische Progressionen enthalten.
4. 2006 Perelman lehnt die Fields-Medaille ab; Terence Tao gehört zu den Preisträgern.
5. 2010 Das Clay-Institut erkennt Perelman den Millennium-Preis zu, er lehnt ab; Ngô Bảo Châu erhält die Fields-Medaille für das Fundamentallemma.
6. 2013 Yitang Zhang beweist beschränkte Primzahllücken; James Maynard senkt die Schranke auf 600.
7. 2014 Maryam Mirzakhani erhält als erste Frau die Fields-Medaille; das Projekt Flyspeck bestätigt die Kepler-Vermutung formal.
8. 2016 Maryna Viazovska löst das Kugelpackungsproblem in acht Dimensionen.
9. 2022 Das Liquid Tensor Experiment wird abgeschlossen; Viazovska erhält als zweite Frau die Fields-Medaille.
10. 2024 Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung; KI-Systeme erreichen bei der Mathematik-Olympiade Silberniveau.
11. 2025 Wang und Zahl beweisen die dreidimensionale Kakeya-Vermutung; KI-Modelle erreichen Goldniveau bei der Olympiade.
12. 2026 Hong Wang erhält als dritte Frau die Fields-Medaille; OpenAI behauptet eine Lösung des Navier-Stokes-Problems.

Erbe und Ausblick

Das 21. Jahrhundert hat gezeigt, dass auch sehr alte Probleme fallen können, fast immer durch Methoden, die viele Menschen über Jahrzehnte vorbereitet haben. Perelman vollendete Hamiltons Programm, Wiles’ Ideen mündeten in den vollständigen Modularitätssatz, und der Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung ruht auf drei Jahrzehnten Teamarbeit. Hilberts Überzeugung, dass Probleme die Mathematik vorantreiben, hat sich damit erneut bestätigt.

Neu ist das Verhältnis von Mensch und Maschine. Was mit Alan Turings Theorie begann und im 20. Jahrhundert zum Vier-Farben-Satz führte, reicht heute bis zu Beweisen, die Software vollständig kontrolliert, und zu KI-Systemen, die eigene Lösungswege vorschlagen. Welche Rolle sie künftig spielen werden und wie sich Urheberschaft und Prüfung organisieren lassen, ist eine der offenen Fragen des Fachs. Wer verstehen will, woher diese Entwicklungen kommen, findet die Wurzeln in der Mathematik des 20. Jahrhunderts und den Gesamtüberblick auf der Startseite.

Häufige Fragen

Welche Millennium-Probleme sind gelöst?

Offiziell nur eines: die Poincaré-Vermutung, die Grigori Perelman 2002/03 bewies. Für das Navier-Stokes-Problem wurde im September 2026 eine Lösung behauptet, die noch geprüft wird. Die übrigen fünf Probleme sind offen.

Warum lehnte Perelman den Millennium-Preis ab?

Perelman begründete die Ablehnung 2010 damit, dass er die Entscheidungen der organisierten mathematischen Gemeinschaft für ungerecht halte. Außerdem sah er Richard Hamiltons Beitrag als nicht geringer an als seinen eigenen.

Wer war die erste Frau mit Fields-Medaille?

Maryam Mirzakhani erhielt die Fields-Medaille 2014 für ihre Arbeiten zur Geometrie und Dynamik Riemannscher Flächen. Nach ihr wurden Maryna Viazovska (2022) und Hong Wang (2026) ausgezeichnet.

Kann künstliche Intelligenz mathematische Beweise führen?

KI-Systeme lösen inzwischen Olympiadeaufgaben auf Goldniveau und finden in Einzelfällen neue Konstruktionen oder Beweisideen. Ob ihre Ergebnisse stimmen, muss aber geprüft werden, durch Fachleute oder durch Beweisassistenten wie Lean.

Quellen und weiterführende Literatur

• Clay Mathematics Institute: The Millennium Prize Problems (englisch)
• James Carlson, Arthur Jaffe, Andrew Wiles (Hrsg.): The Millennium Prize Problems, Clay Mathematics Institute und American Mathematical Society, Providence 2006.
• Donal O’Shea: The Poincaré Conjecture. In Search of the Shape of the Universe, Walker & Company, New York 2007.
• Thomas Hales u. a.: A formal proof of the Kepler conjecture. In: Forum of Mathematics, Pi 5 (2017).
• MacTutor History of Mathematics: Maryam Mirzakhani (englisch)
• International Mathematical Union: Fields Medal (englisch)