Warum ist 0,999… gleich 1?

Die Zahl 0,999… mit unendlich vielen Neunen ist genau gleich 1. Nicht ungefähr, nicht „fast“, sondern exakt. Das klingt für viele falsch, denn 0,999… scheint immer ein klein wenig unter 1 zu bleiben. In diesem Beitrag zeigen wir vier Beweise, die ohne höhere Mathematik auskommen, und klären, woher das ungute Gefühl kommt. Am Ende gibt es kleine Aufgaben zum Selbstprobieren.

Was 0,999… eigentlich bedeutet

Die drei Punkte bedeuten: Die Neunen hören nie auf. In Schulbüchern schreibt man dafür auch einen Strich über die Neun und spricht von „null Komma Periode neun“. Wichtig ist: 0,999… ist kein Vorgang, bei dem jemand immer weitere Neunen anhängt. Es ist eine einzige Zahl, deren Dezimaldarstellung bereits alle unendlich vielen Neunen enthält.

Die abbrechenden Zahlen 0,9 und 0,99 und 0,999 sind alle kleiner als 1. Die Zahl mit unendlich vielen Neunen ist der Wert, dem diese Folge immer näher kommt. Genau diesen Wert meint die Schreibweise 0,999…, und er ist 1.

Beweis 1: mit Brüchen

Teilt man 1 durch 3, ergibt sich 0,333…, denn die schriftliche Division geht nie auf und liefert immer wieder die Ziffer 3. Also gilt

Multipliziert man beide Seiten mit 3, erhält man links $3·\frac{1}{3}=1$ und rechts 0,999…. Wer also akzeptiert, dass ein Drittel gleich 0,333… ist, muss auch 0,999… = 1 akzeptieren. Wie man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelt, steht auf der Seite Dezimalzahlen.

Beweis 2: mit einer Gleichung

Nenne die gesuchte Zahl x, also x = 0,999…. Multipliziert man mit 10, verschiebt sich das Komma um eine Stelle:

1. 10x = 9,999…
2. Zieht man davon x = 0,999… ab, heben sich die unendlich vielen Neunen hinter dem Komma genau auf: 10x − x = 9.
3. Also ist 9x = 9 und damit x = 1.

Das ist derselbe Trick, mit dem man jede periodische Dezimalzahl in einen Bruch verwandelt. Mehr zum Umformen findest du unter Gleichungen lösen.

Beweis 3: Es passt nichts dazwischen

Zwischen zwei verschiedenen Zahlen liegt immer eine dritte, zum Beispiel ihr Mittelwert. Zwischen 0,4 und 0,5 liegt 0,45. Welche Zahl aber liegt zwischen 0,999… und 1? Sie müsste größer als 0,999… sein, also an irgendeiner Stelle hinter dem Komma eine Ziffer größer als 9 haben. Das ist unmöglich.

Man kann es auch über den Abstand sagen: Der Abstand zwischen 0,999… und 1 ist kleiner als 0,1, kleiner als 0,01, kleiner als 0,001 und so weiter, also kleiner als jede noch so kleine positive Zahl. Die einzige Zahl, die das schafft, ist 0. Zwei Zahlen mit dem Abstand 0 sind gleich.

Beweis 4: als unendliche Summe

Schreibt man 0,999… als Summe, steht da 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …. Das ist eine geometrische Reihe: Jeder Summand ist ein Zehntel des vorigen. Für solche Reihen gibt es eine Summenformel, und sie liefert

Unendliche Summen mit endlichem Ergebnis gehören zu den Grundideen der Analysis.

Was Zenon und Archimedes damit zu tun haben

Das Unbehagen mit unendlichen Summen ist uralt. Der griechische Philosoph Zenon von Elea behauptete im 5. Jahrhundert v. Chr., der schnelle Achilles könne eine Schildkröte mit Vorsprung nie einholen. Denn wenn er ihren Startpunkt erreicht, ist sie schon ein Stück weiter, und so fort, unendlich oft. Heute wissen wir: Die unendlich vielen immer kürzeren Zeitabschnitte ergeben zusammen eine endliche Zeit, genau wie 9/10 + 9/100 + … eine endliche Zahl ergibt.

Archimedes nutzte um 250 v. Chr. eine solche Summe ganz praktisch. Um die Fläche eines Parabelsegments zu berechnen, füllte er es mit immer kleineren Dreiecken und kam auf die Reihe 1 + 1/4 + 1/16 + …, deren Wert 4/3 ist. Dabei vermied er das Wort „unendlich“ geschickt und zeigte, dass jeder andere Wert zu einem Widerspruch führt.

Eine sichere Grundlage erhielt das Rechnen mit Grenzwerten erst im 19. Jahrhundert. Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß machten den Begriff präzise, und 1872 zeigten Richard Dedekind und Georg Cantor, wie man die reellen Zahlen sauber aufbaut. Seitdem ist 0,999… = 1 keine Glaubensfrage mehr, sondern ein Satz.

Typische Einwände

„Es fehlt doch immer noch ein kleines Stück.“ Bei jeder endlichen Anzahl von Neunen stimmt das. Bei unendlich vielen gibt es aber keine letzte Neun, hinter der noch etwas fehlen könnte.

„Dann ist 1 − 0,999… = 0,000…1.“ Eine Zahl mit unendlich vielen Nullen und danach einer 1 gibt es nicht, denn „danach“ würde bedeuten, dass die Nullen irgendwann enden. Die Differenz ist 0,000… und das ist schlicht 0.

„Zwei verschiedene Schreibweisen für dieselbe Zahl sind komisch.“ Das kennst du aber längst: 1/2, 2/4 und 0,5 bezeichnen ebenfalls dieselbe Zahl.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: 0,999…
• Timothy Gowers: What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? (englisch)
• David Tall, Rolph Schwarzenberger: Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits. In: Mathematics Teaching 82 (1978), S. 44–49.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.