Algebra

Was ist eigentlich x? Wer das herausfinden will, betreibt Algebra: Du rechnest nicht mehr nur mit festen Zahlen, sondern mit Buchstaben, die für Zahlen stehen. Diese Buchstaben heißen Variablen. Mit ihnen schreibst du Regeln auf, die für unendlich viele Zahlen gleichzeitig gelten, und berechnest Zahlen, die du zunächst nicht kennst.

Die Algebra baut auf der Arithmetik auf und ist das Fundament für Trigonometrie, Analysis und fast alle Naturwissenschaften. Auf dieser Seite lernst du zuerst die drei Grundbausteine Variable, Term und Gleichung kennen. Danach findest du eine Übersicht über alle Lernseiten, geordnet nach Themen. Am Ende erfährst du, wie die Algebra zu ihrem Namen kam.

Was ist Algebra? Variable, Term und Gleichung

Stell dir vor, ein Streamingdienst kostet 6 € im Monat. Für 3 Monate zahlst du 3 · 6 = 18 €, für 12 Monate 12 · 6 = 72 €. Die Rechnung bleibt gleich, nur die Anzahl der Monate ändert sich. Die Algebra fasst alle diese Rechnungen in einem Ausdruck zusammen: 6 · m, kurz 6m. Dabei steht m für die Anzahl der Monate.

Variable: der Platzhalter

Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht. Das Wort bedeutet „veränderlich“, denn m kann 3, 12 oder jede andere Monatszahl sein. Manchmal ist die Variable auch eine gesuchte Unbekannte, etwa x in der Frage „3 mal welche Zahl ergibt 12?“.

Term: eine Rechnung mit Platzhaltern

Ein Term (auch algebraischer Ausdruck) verbindet Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern, zum Beispiel 6m oder 2 · (x + 3). Er enthält kein Gleichheitszeichen. Setzt du für die Variable eine Zahl ein, erhältst du den Termwert: Für m = 5 ist 6m = 30.

Gleichung: zwei Terme im Gleichgewicht

Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Sie funktioniert wie eine Waage im Gleichgewicht. Die Gleichung 6m = 42 fragt: Für welches m ist 6m gleich 42? Du teilst beide Seiten durch 6 und erhältst m = 7. Die Probe bestätigt es: 6 · 7 = 42.

Alle Lernseiten der Algebra im Überblick

Die Themen bauen aufeinander auf. Wenn du neu einsteigst, beginnst du bei den Termen und arbeitest dich nach unten. Jeder Link springt direkt zu dem Abschnitt, der dein Thema erklärt.

Terme und Grundlagen

Hier lernst du die Sprache der Algebra: Begriffe, Terme aufschreiben, zusammenfassen und ausmultiplizieren. Als Vorwissen helfen Zahlen und ihre Eigenschaften, Potenzen und die Eigenschaften der Gleichheit.

Einstieg und Begriffe

• Grundlagen der Algebra
• Zentrale Begriffe
• Grundlagen algebraischer Begriffe
• Algebraische Ausdrücke
• Wie schreibt man algebraische Terme?

Rechnen mit Termen

• Addieren und Subtrahieren von Termen
• Multiplikation von Ausdrücken
• Division von Ausdrücken
• Terme vereinfachen
• Ausmultiplizieren von Klammern
• Binome ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz

Gleichungen verstehen und lösen

Die Seite Gleichungen lösen zeigt, wie du eine Unbekannte Schritt für Schritt bestimmst. Du beginnst mit einfachen Umformungen und endest bei Gleichungen mit Beträgen und umgestellten Formeln.

Grundverfahren

• Variable isolieren (Transposition)
• Gleichartige Terme zusammenfassen
• Lösen durch Addition oder Subtraktion
• Lösen durch Multiplikation, Division oder Kehrwertbildung
• Gleichungen durch Zusammenfassen lösen

Mehrere Schritte

• Zweischritt-Gleichungen
• Mehrschritt-Gleichungen
• Variablen auf beiden Seiten
• Lösen mit dem Distributivgesetz
• Allgemeine algebraische Gleichungen lösen

Besondere Gleichungen und Formeln

• Kreuzmultiplikation
• Gleichungen mit Absolutbeträgen
• Variablen in Formeln isolieren

Lineare Gleichungssysteme

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst du gemeinsam. Je nach Lage der beiden Geraden gibt es einen Schnittpunkt, keinen oder unendlich viele. Mehr dazu auf der Seite Lineare Gleichungssysteme.

• Substitutionsmethode
• Additions- bzw. Eliminationsverfahren

Ungleichungen

Nicht jede Beziehung ist eine Gleichheit. Bei Ungleichungen ist eine Seite größer oder kleiner, und die Lösung ist meist ein ganzer Zahlenbereich, etwa alle x > 5.

• Ungleichungen und der Zahlenstrahl
• Rechenoperationen mit Ungleichungen
• Einzelschritt-Ungleichungen mit Addition oder Subtraktion
• Einzelschritt-Ungleichungen mit Multiplikation
• Einzelschritt-Ungleichungen mit Division
• Allgemeines Lösen von Ungleichungen
• Grafische Darstellung linearer Ungleichungen
• Zusammengesetzte (mehrteilige) Ungleichungen
• Systeme linearer Ungleichungen
• Ungleichungen mit Beträgen
• Quadratische Ungleichungen lösen

Quadratische Gleichungen

Kommt die Unbekannte im Quadrat vor (x²), brauchst du neue Werkzeuge: Faktorisieren, die binomischen Formeln, die quadratische Ergänzung oder die Lösungsformel. Geometrisch sind die Lösungen die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse. Alles steht auf der Seite Quadratische Gleichungen.

• Quadratische Gleichungen faktorisieren
• Gemeinsame Faktoren finden und herausziehen
• Quadrat einer Summe
• Quadrat einer Differenz
• Differenz zweier Quadrate
• Faktor x² = 1
• Faktor x² > 1
• Perfektes Quadrat erkennen
• Quadratische Ergänzung
• Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)
• Graphische Lösung quadratischer Gleichungen

Trinome

Ein Trinom hat drei Glieder, zum Beispiel x² + 5x + 6. Die Seite Trinome zeigt, wie du solche Terme in ein Produkt zerlegst, bis hin zu Trinomen mit zwei Variablen.

• Trinome faktorisieren: Grundlagen
• Faktorisierung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT)
• Faktorisierung durch Ausprobieren (Trial and Error)
• Trinome mit zwei Variablen

Polynome

Ein Polynom ist eine Summe aus mehreren Gliedern wie 3x + 2 oder 4x³ − x + 7. Polynome tauchen in der Analysis, Physik und Technik ständig auf. Die Seite Polynome erklärt das Rechnen mit ihnen und das Zerlegen in Faktoren.

Rechnen mit Polynomen

• Polynome addieren und subtrahieren
• Polynome multiplizieren
• Division durch Monome
• Polynome durch lange Division teilen
• Synthetische Division

Faktorisieren, Sätze und Gleichungen

• Faktorisierung durch Gruppieren
• Satz vom Rest
• Faktorsatz
• Kubische Gleichungen lösen
• Binomischer Lehrsatz

Rationale Ausdrücke

Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner Terme stehen. Er verhält sich wie ein gewöhnlicher Bruch: Du kürzt, erweiterst und rechnest mit ihm. Die Seite Rationale Ausdrücke (Bruchterme) führt dich von den Grundlagen bis zur Zerlegung in Teilbrüche.

• Rationale Ausdrücke vereinfachen
• Rationale Ausdrücke addieren
• Rationale Ausdrücke subtrahieren
• Rationale Ausdrücke multiplizieren
• Rationale Ausdrücke dividieren
• Partialbruchzerlegung

Funktionen

Eine Funktion ordnet jedem Eingabewert x genau einen Ausgabewert y zu. Ob eine Zuordnung eine Funktion ist, erkennst du am Graphen: Jede senkrechte Linie darf ihn höchstens einmal schneiden. Mehr dazu auf der Seite Funktionen.

• Relationen und Funktionen unterscheiden
• Funktionsnotation und Schreibweise
• Definitionsbereich und Wertebereich
• Rechenoperationen mit Funktionen
• Verkettete (komponierte) Funktionen
• Funktionen und deren Komposition verstehen
• Umkehrfunktion bilden

Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich auch als Linien im Koordinatensystem zeichnen. Wie das geht, erfährst du auf der Seite Geometrie.

Logarithmen

So wie die Subtraktion die Addition umkehrt, kehrt der Logarithmus das Potenzieren um. Er beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um einen bestimmten Wert zu erhalten?“ Das Wissen über Potenzen ist hier die wichtigste Voraussetzung.

• Einführung in Logarithmen
• Was ist ein Logarithmus?
• Häufige Logarithmen: dekadisch & natürlich
• Rechenregeln für Logarithmen
• Logarithmengesetze
• Eigenschaften von Logarithmen
• Beweise zu den Logarithmengesetzen
• Gleichungen mit Logarithmen lösen
• Gleichungen mit Logarithmen lösen
• Logarithmusfunktionen lösen
• Graphen von Logarithmusfunktionen

In welcher Reihenfolge lernen?

Eine grobe Orientierung für den Schulweg: Die Lehrpläne unterscheiden sich je nach Bundesland, deshalb sind die Klassenstufen nur Richtwerte.

1. Klasse 7: Grundlagen der Algebra, algebraische Ausdrücke und das Aufstellen von Termen.
2. Klasse 7–8: Terme vereinfachen, Klammern ausmultiplizieren und einfache Gleichungen lösen.
3. Klasse 8–9: Gleichungssysteme, Ungleichungen und Funktionen.
4. Klasse 9–10: quadratische Gleichungen, Polynome, Bruchterme und Logarithmen.

Kurze Geschichte der Algebra

Gleichungen löst die Menschheit seit Jahrtausenden. Schon die Babylonier rechneten vor rund 4.000 Jahren Aufgaben, die wir heute als quadratische Gleichungen schreiben würden (Sumerische und babylonische Mathematik). Sie sagten aber „Länge“ und „Breite“ statt x und y. Die Buchstabenrechnung ist viel jünger.

Al-Chwarizmi: der Namensgeber

Das Wort „Algebra“ kommt aus dem Arabischen. Um das Jahr 820 verfasste Muhammad al-Chwarizmi in Bagdad ein Lehrbuch über das Lösen von Gleichungen. Im Titel steht al-dschabr, das „Ergänzen“. Gemeint ist ein Rechenschritt: Ein abgezogener Term wird auf beiden Seiten ergänzt, damit er verschwindet. Buchstaben benutzte das Buch noch nicht, alles stand in Worten. Aus seinem Namen entstand außerdem das Wort „Algorithmus“.

Diophant: die ersten Abkürzungen

Diophant von Alexandria löste im 3. Jahrhundert n. Chr. Gleichungsaufgaben in seinem Werk Arithmetika. Er führte feste Abkürzungen für die Unbekannte und ihre Potenzen ein. Das war ein erster Schritt von der Wortsprache zur Zeichensprache.

Viète und Descartes: Buchstaben für Zahlen

Den entscheidenden Schritt tat François Viète. In seinem Werk von 1591 bezeichnete er nicht nur die Unbekannten, sondern auch die gegebenen Zahlen mit Buchstaben. Dadurch konnte er allgemeine Formeln statt einzelner Rechenbeispiele aufschreiben. Die heutige Verabredung stammt von René Descartes (1637): Die Unbekannten heißen x, y, z, die bekannten Größen a, b, c.