Hellenistische Mathematik

Die hellenistische Mathematik ist die griechischsprachige Mathematik der Zeit nach Alexander dem Großen. Sie beginnt mit seinem Tod 323 v. Chr. und reicht in der Gliederung dieser Website bis zur Ermordung der Mathematikerin Hypatia in Alexandria 415 n. Chr. In diesen gut 700 Jahren entstanden die Werke, die man bis in die Neuzeit für den Inbegriff der Mathematik hielt: Euklids „Elemente“, die Flächen- und Volumenberechnungen des Archimedes, die Kegelschnittlehre des Apollonios, die Sehnentafeln des Ptolemäus und die „Arithmetica“ des Diophant.

Ihr Mittelpunkt war Alexandria in Ägypten, wo die makedonischen Könige aus dem Haus der Ptolemäer Gelehrte an das Museion und die große Bibliothek holten. Die Mathematiker konnten auf die Beweiskultur der klassischen griechischen Mathematik aufbauen und erhielten zugleich Zugang zu babylonischem Rechen- und Beobachtungswissen. Aus dieser Verbindung entstanden neben der reinen Geometrie auch angewandte Gebiete wie die Trigonometrie und die mathematische Astronomie.

Politisch endete der Hellenismus im engeren Sinn 30 v. Chr., als Ägypten römische Provinz wurde. Die griechische Mathematik lebte jedoch unter römischer Herrschaft weiter. Heron, Ptolemäus, Diophant und Pappos waren Untertanen des Römischen Reiches, schrieben aber Griechisch und standen in der alexandrinischen Tradition. Deshalb behandelt dieser Artikel die gesamte Spanne bis in die Spätantike.

Alexandria, das Museion und die Bibliothek

Alexander der Große eroberte zwischen 334 und 323 v. Chr. das Perserreich und gründete 331 v. Chr. an der Mittelmeerküste Ägyptens die Stadt Alexandria. Nach seinem Tod teilten seine Generäle, die Diadochen, das Reich unter sich auf. In Ägypten herrschte Ptolemaios I., dessen Dynastie bis zu Kleopatra VII. regierte. Griechisch wurde Verwaltungs- und Bildungssprache von Ägypten bis Mesopotamien. Das erleichterte den raschen Austausch von Wissen.

Unter Ptolemaios I. und seinem Sohn Ptolemaios II. entstanden um 300 v. Chr. das Museion, ein den Musen geweihtes Forschungszentrum, und die Bibliothek von Alexandria, die größte Büchersammlung der Antike. Die Gelehrten des Museions erhielten vom König Unterhalt und gemeinsame Mahlzeiten und konnten sich ganz ihren Studien widmen. Man hat sie deshalb oft als erste staatlich besoldete Forscher bezeichnet. Ganz ohne Vorbild war das nicht, denn Platons Akademie und das Lykeion des Aristoteles hatten bereits Gelehrtengemeinschaften gebildet. Die königliche Förderung schuf aber neue, dauerhafte Arbeitsbedingungen.

Alexandria war allerdings nicht der einzige Ort. Archimedes lebte in Syrakus auf Sizilien und stand nur brieflich mit den Alexandrinern in Verbindung, Apollonios wirkte zeitweise in Pergamon, Hipparchos auf Rhodos. Über die Seleukiden, die Mesopotamien beherrschten, gelangten zudem babylonische Beobachtungsdaten und das Rechnen im Sechzigersystem in die griechische Astronomie.

Zahlen und Rechnen im Hellenismus

Die hellenistischen Mathematiker schrieben Zahlen mit dem alphabetischen (milesischen) Zahlsystem. Die Buchstaben α bis θ standen für 1 bis 9, ι bis ϟ für 10 bis 90, ρ bis ϡ für 100 bis 900; drei veraltete Buchstaben füllten die Lücken. 365 schrieb man τξε (300 + 60 + 5). Für Tausender setzte man einen kleinen Strich vor den Buchstaben, für Zehntausender verwendete man das Zeichen Μ für eine Myriade. Ein Stellenwertsystem war das nicht.

In der Astronomie übernahmen die Griechen dagegen das babylonische Sexagesimalsystem für Bruchteile. Ptolemäus rechnete mit Sechzigstel und Dreitausendsechshundertstel und nutzte in seinen Tafeln sogar ein eigenes Zeichen für eine leere Stelle, eine frühe Form der Null. Die heutige Einteilung in Grad, Minute und Sekunde geht auf diese Praxis zurück.

Wie weit sich Zahlen denken lassen, zeigte Archimedes in seiner „Sandrechnung“. Er entwickelte darin ein System von Größenordnungen, das von der Myriade der Myriaden (10⁸) ausging, und schätzte, dass weniger als 10⁶³ Sandkörner das damals angenommene Weltall füllen würden. Es ging ihm nicht um Sand, sondern um den Nachweis, dass jede noch so große Menge mit einer endlichen Zahl erfasst werden kann.

Euklid und die „Elemente“

Über das Leben von Euklid (um 300 v. Chr.) ist fast nichts bekannt. Proklos berichtet im 5. Jahrhundert n. Chr., er habe unter Ptolemaios I. in Alexandria gelehrt. Sein Hauptwerk, die „Elemente“ (Stoicheia), fasst in 13 Büchern mit 465 Lehrsätzen das mathematische Grundwissen seiner Zeit zusammen. Vieles stammt von Vorgängern wie Hippokrates von Chios, Theaitetos und Eudoxos; Euklids Leistung liegt in der Auswahl, Ordnung und lückenlosen Beweisführung.

Aufbau: Definitionen, Postulate, Axiome

Die „Elemente“ beginnen mit 23 Definitionen („Ein Punkt ist, was keine Teile hat“), fünf Postulaten und fünf allgemeinen Grundsätzen. Alle weiteren Sätze werden Schritt für Schritt daraus abgeleitet. Das fünfte Postulat, das Parallelenpostulat, fällt aus dem Rahmen: Es besagt sinngemäß, dass sich zwei Geraden auf der Seite schneiden, auf der eine dritte Gerade mit ihnen Innenwinkel bildet, die zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind. Weil es viel komplizierter klingt als die übrigen, versuchten Mathematiker 2.000 Jahre lang, es aus den anderen herzuleiten. Erst im 19. Jahrhundert zeigten Gauß, Bolyai und Lobatschewski, dass auch Geometrien ohne dieses Postulat widerspruchsfrei möglich sind.

Inhalt der dreizehn Bücher

• Bücher I–IV: ebene Geometrie mit Dreiecken, Parallelen, dem Satz des Pythagoras (I,47), Kreisen und regelmäßigen Vielecken
• Buch V: die Proportionenlehre des Eudoxos, gültig auch für irrationale Verhältnisse
• Buch VI: ähnliche Figuren
• Bücher VII–IX: Zahlentheorie mit dem euklidischen Algorithmus, Primzahlen und vollkommenen Zahlen
• Buch X: Einteilung der irrationalen Größen nach Theaitetos
• Bücher XI–XIII: Raumgeometrie, Exhaustionsmethode, die fünf regelmäßigen Körper

Zu den bekanntesten Sätzen gehört IX,20: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgegebene Anzahl. Die Beweisidee: Multipliziert man endlich viele Primzahlen miteinander und addiert 1, so ist die neue Zahl durch keine von ihnen teilbar; jeder ihrer Primteiler ist also eine weitere Primzahl. Der euklidische Algorithmus (VII,1–2) bestimmt den größten gemeinsamen Teiler durch wiederholte Division mit Rest: 84 = 2 · 36 + 12 und 36 = 3 · 12, also ist ggT(84, 36) = 12. Er wird bis heute in Computern verwendet.

Euklid schrieb weitere Werke, etwa die „Data“, eine „Optik“ und die astronomischen „Phainomena“; seine Bücher über Kegelschnitte und die „Porismen“ sind verloren. Die Anekdote, er habe König Ptolemaios auf die Frage nach einem bequemeren Weg geantwortet, es gebe „keinen Königsweg zur Geometrie“, überliefert Proklos. Eine ähnliche Geschichte wird auch über Menaichmos und Alexander erzählt.

Archimedes von Syrakus: Kreis, Kugel und Hebel

Archimedes (ca. 287–212 v. Chr.) gilt als größter Mathematiker der Antike. Er lebte in Syrakus, stand dem dortigen König Hieron II. nahe und schickte seine Schriften an Gelehrte in Alexandria, darunter Eratosthenes. Ob er selbst in Alexandria studiert hat, ist nicht gesichert. Archimedes verband strenge Beweise im Stil des Eudoxos mit physikalischer Intuition und erstaunlicher Rechenkunst.

Die wichtigsten Ergebnisse

• Kreismessung: Mit einbeschriebenen und umbeschriebenen 96-Ecken schloss er π zwischen zwei Brüche ein.
• Kugel und Zylinder: Eine Kugel hat zwei Drittel des Volumens und der Oberfläche des umschriebenen Zylinders; ihre Oberfläche ist so groß wie vier Großkreise (4πr²).
• Quadratur der Parabel: Ein Parabelsegment ist vier Drittel so groß wie das einbeschriebene Dreieck mit gleicher Grundlinie und Spitze, bewiesen mit der unendlichen Summe 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3.
• Spiralen, Konoide, Sphäroide: Flächen und Volumina neuer Kurven und Körper.
• Mechanik: Hebelgesetz und Schwerpunkte in „Über das Gleichgewicht ebener Flächen“, das Auftriebsprinzip in „Über schwimmende Körper“.

Auf das Ergebnis über Kugel und Zylinder war Archimedes besonders stolz. Cicero berichtet, er habe 75 v. Chr. als Quästor auf Sizilien das verwahrloste Grab des Archimedes an der Darstellung einer Kugel in einem Zylinder wiedererkannt.

Die „Methodenlehre“ und das Palimpsest

Wie Archimedes seine Ergebnisse fand, verriet erst eine Entdeckung des 20. Jahrhunderts. 1906 erkannte der dänische Philologe Johan Ludvig Heiberg in einem Gebetbuch in Konstantinopel einen abgeschabten älteren Text: eine Abschrift von Archimedes-Werken aus dem 10. Jahrhundert, die 1229 überschrieben worden war. Darin stand die verloren geglaubte „Methodenlehre“. Archimedes beschreibt dort, wie er Flächen und Körper gedanklich in dünne Streifen zerlegte und diese auf einer Waage gegeneinander aufwog. Er betrachtete das Verfahren ausdrücklich als heuristisch, also als Weg zum Finden, nicht als Beweis. Die strengen Beweise lieferte er anschließend mit der Exhaustionsmethode.

Archimedes starb 212 v. Chr., als römische Truppen im Zweiten Punischen Krieg Syrakus eroberten; ein Soldat tötete ihn gegen den Befehl des Feldherrn Marcellus.

Eratosthenes: Erdumfang und Primzahlsieb

Eratosthenes von Kyrene (ca. 276–194 v. Chr.) leitete unter Ptolemaios III. die Bibliothek von Alexandria. Er arbeitete als Mathematiker, Astronom, Geograph, Chronologe und Dichter. Seine Zeitgenossen nannten ihn halb bewundernd, halb spöttisch „Pentathlos“ (Fünfkämpfer) und „Beta“, den Zweitbesten in vielen Fächern.

Berühmt ist seine Messung des Erdumfangs, die der Astronom Kleomedes überliefert. In Syene, dem heutigen Assuan, stand die Sonne zur Sommersonnenwende mittags fast senkrecht. Im nördlicher gelegenen Alexandria warf ein senkrechter Stab zur selben Zeit einen Schatten; der Winkel betrug 1/50 eines Vollkreises, also 7,2°. Da die Sonnenstrahlen parallel einfallen, entspricht dieser Winkel dem Winkel zwischen beiden Orten am Erdmittelpunkt. Bei einer angenommenen Entfernung von 5.000 Stadien ergab sich ein Erdumfang von 50 · 5.000 = 250.000 Stadien (später gerundet auf 252.000). Wie genau das war, hängt von der Länge des verwendeten Stadions ab, die nicht sicher bekannt ist: Je nach Annahme liegt das Ergebnis zwischen etwa 39.000 und 46.000 Kilometern; der tatsächliche Umfang über die Pole beträgt rund 40.000 Kilometer. Methodisch war die Messung in jedem Fall richtig.

Für die Zahlentheorie erfand oder benannte Eratosthenes das Sieb des Eratosthenes, das Nikomachos von Gerasa beschreibt: Man schreibt die Zahlen ab 2 auf, streicht alle Vielfachen von 2, dann alle Vielfachen von 3, von 5 und so weiter. Übrig bleiben die Primzahlen, bis 30 sind das 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Außerdem zeichnete Eratosthenes eine Weltkarte mit einem Netz aus Breiten- und Längenlinien, prägte den Begriff „Geographie“ und konstruierte ein mechanisches Gerät zur Lösung der Würfelverdopplung.

Apollonios von Perge: Die Lehre von den Kegelschnitten

Apollonios von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) stammte aus einer Stadt an der Südküste Kleinasiens, studierte in Alexandria und wirkte auch in Pergamon. Schon in der Antike hieß er „der große Geometer“. Sein Hauptwerk, die „Konika“ in acht Büchern, ist die umfassendste Darstellung der Kegelschnitte vor der Neuzeit. Die Bücher I–IV sind griechisch erhalten, V–VII nur in arabischer Übersetzung; Buch VIII ist verloren.

Menaichmos hatte die Kurven rund 150 Jahre früher an drei verschiedenen Kegeltypen entdeckt. Apollonios zeigte, dass alle drei aus einem einzigen Doppelkegel entstehen, wenn man die Neigung der Schnittebene verändert. Von ihm stammen auch die Namen Ellipse („Mangel“), Parabel („Gleichheit, Anlegung“) und Hyperbel („Überschuss“). Sie gehen auf ein älteres Verfahren der Flächenanlegung zurück, bei dem eine Fläche an eine Strecke angelegt wird und genau passt, zu kurz oder zu lang ist. Apollonios behandelte Tangenten, Durchmesser, Asymptoten und die Brennpunkteigenschaften von Ellipse und Hyperbel; die Brennpunkteigenschaft der Parabel untersuchte etwa zur gleichen Zeit Diokles in seiner Schrift über Brennspiegel.

Die Wirkung der „Konika“ zeigte sich erst nach fast 2.000 Jahren in vollem Umfang: Johannes Kepler erkannte 1609, dass Planeten auf Ellipsen um die Sonne laufen, und René Descartes und Pierre de Fermat beschrieben Kegelschnitte durch Gleichungen zweiten Grades. Apollonios entwickelte außerdem Modelle mit Epizykeln für die Planetenbewegung, auf die Ptolemäus später zurückgriff.

Weitere Mathematiker des 3. und 2. Jahrhunderts v. Chr.

Aristarchos von Samos (ca. 310–230 v. Chr.) schätzte geometrisch die Abstände von Sonne und Mond und vertrat nach dem Zeugnis des Archimedes als Erster die Hypothese, die Erde kreise um die Sonne. Nikomedes erfand mit der Konchoide eine Kurve zur Winkeldreiteilung, Zenodoros bewies, dass unter allen Vielecken gleichen Umfangs die regelmäßigen die größte Fläche haben, und Hypsikles verfasste ein zusätzliches 14. Buch zu Euklids „Elementen“.

Hipparchos und die Anfänge der Trigonometrie

Die Trigonometrie entstand nicht aus der Geometrie, sondern aus der Astronomie: Wer die Bahnen von Sonne, Mond und Planeten berechnen will, muss aus Winkeln Längen bestimmen. Hipparchos von Nicäa (ca. 190–120 v. Chr.), der vor allem auf Rhodos beobachtete, gilt als Begründer dieser Disziplin. Er stellte die erste bekannte Sehnentafel auf, vermutlich in Schritten von 7½°. Sie ist verloren und nur aus späteren Berichten bekannt.

Die Griechen arbeiteten nicht mit dem Sinus, sondern mit der Sehne (chord) eines Kreisbogens. Zwischen beiden besteht ein einfacher Zusammenhang:

Hipparchos entdeckte durch den Vergleich mit Sternpositionen älterer Beobachter die Präzession, die langsame Verschiebung der Tagundnachtgleichen gegenüber den Fixsternen. Er legte einen Sternkatalog mit rund 850 Sternen an und schätzte die Entfernung des Mondes anhand einer Sonnenfinsternis, die am Hellespont total, in Alexandria aber nur zu etwa vier Fünfteln zu sehen war. Sein Ergebnis lag in der richtigen Größenordnung von einigen Dutzend Erdradien. Die Einteilung des Kreises in 360 Grad und das Rechnen mit Sechzigsteln übernahm er aus der babylonischen Astronomie.

Wie weit die angewandte Mathematik dieser Zeit reichte, zeigt ein Fund aus dem Meer: Der Mechanismus von Antikythera, 1901 in einem antiken Schiffswrack entdeckt, ist ein Getriebe aus mindestens 30 Bronzezahnrädern aus dem 2. oder 1. Jahrhundert v. Chr. Er zeigte die Stellungen von Sonne und Mond sowie die Mondphasen an und sagte Finsternisse voraus. Die Übersetzungsverhältnisse seiner Zahnräder setzen astronomische Zyklen in Mechanik um.

Menelaos von Alexandria: Geometrie auf der Kugel

Menelaos von Alexandria (ca. 70–130 n. Chr.) arbeitete zeitweise in Rom; Ptolemäus überliefert eine seiner Beobachtungen aus dem Jahr 98 n. Chr. In seiner „Sphaerica“, die nur in arabischer Übersetzung erhalten ist, definierte er als Erster das sphärische Dreieck: eine Figur auf der Kugeloberfläche, die von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Großkreise wie der Äquator oder die Längenkreise übernehmen dabei die Rolle, die in der Ebene die Geraden spielen.

Menelaos übertrug Sätze der ebenen Geometrie auf die Kugel und zeigte, wo sie nicht mehr gelten: Die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks ist stets größer als 180°. Der nach ihm benannte Satz über Geraden, die die Seiten eines Dreiecks schneiden, wurde in seiner sphärischen Form zum wichtigsten Werkzeug der Himmelsberechnung. Die gelegentlich zu lesende Behauptung, Menelaos habe bereits allgemein „Geodäten auf gekrümmten Flächen“ untersucht und damit die Differentialgeometrie vorweggenommen, geht zu weit: Sein Gegenstand war ausschließlich die Kugel.

Ptolemäus und der „Almagest“

Claudius Ptolemäus (ca. 100–170 n. Chr.) schrieb um 150 n. Chr. in Alexandria das astronomische Standardwerk der Antike, die Mathematike Syntaxis in 13 Büchern. Über das Arabische erhielt es den Namen „Almagest“ („das größte [Werk]“). Ptolemäus beschreibt darin ein geozentrisches Weltmodell mit Epizykeln und exzentrischen Kreisen, das Planetenpositionen erstaunlich gut vorhersagte und bis zu Kopernikus maßgeblich blieb.

Mathematisch zentral ist seine Sehnentafel: Sie gibt die Sehnen für alle Bögen von ½° bis 180° in Schritten von einem halben Grad an, bezogen auf einen Kreis mit dem Durchmesser 120. Die Werte stehen sexagesimal mit zwei Nachkommastellen und sind auf etwa fünf Dezimalstellen genau. Um sie zu berechnen, nutzte Ptolemäus den Satz des Ptolemäus: In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten (e · f = a · c + b · d). Daraus gewann er Formeln, die den heutigen Additionstheoremen für Sinus und Kosinus entsprechen. Für π verwendete er den Wert 3;8,30, also 3 + 8/60 + 30/3600 ≈ 3,1417.

In seiner „Geographie“ verzeichnete Ptolemäus rund 8.000 Orte mit geografischer Breite und Länge. Sie bildeten die Grundlage vieler Weltkarten bis in die Renaissance. Wer die Winkelfunktionen heute kennenlernt, steht am Ende einer Entwicklung, die mit diesen Tafeln begann; Grundlagen dazu bietet die Seite Trigonometrie.

Heron von Alexandria: Mathematik für die Praxis

Heron von Alexandria (ca. 10–70 n. Chr.) wurde sehr unterschiedlich datiert, vom 2. Jahrhundert v. Chr. bis ins 3. Jahrhundert n. Chr. Eine Mondfinsternis, die er in seiner Schrift über die Dioptra erwähnt, passt aber am besten zur Finsternis des Jahres 62 n. Chr.; heute ordnet man ihn deshalb meist ins 1. Jahrhundert n. Chr. ein. Heron schrieb Lehrbücher für Ingenieure und Landvermesser: die „Metrika“ über Flächen- und Körperberechnung, die „Dioptra“ über ein Vermessungsinstrument, die „Pneumatika“ über Druckluft- und Dampfgeräte, darunter die Aeolipile, eine einfache Dampfturbine, sowie eine Schrift über Automaten.

Die Heronsche Formel

In der „Metrika“ steht der Beweis einer Formel, mit der sich die Fläche eines Dreiecks allein aus den Seitenlängen a, b und c berechnen lässt. Arabische Gelehrte wie al-Biruni schrieben sie Archimedes zu; überliefert ist sie bei Heron.

Das Heron-Verfahren für Quadratwurzeln

Für Quadratwurzeln beschreibt Heron ein Näherungsverfahren, das schon babylonische Rechner kannten: Ist x eine Näherung für √a, dann ist der Mittelwert aus x und a/x eine bessere. Für √720 beginnt Heron mit 27 (denn 27² = 729) und erhält ½ · (27 + 720/27) = 26 5/6 ≈ 26,833, der genaue Wert ist 26,8328… Wiederholt man den Schritt, verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen jedes Mal ungefähr.

Gelegentlich liest man, Heron habe sich bereits mit der Wurzel aus −1 beschäftigt. Tatsächlich ergibt sich in einer Aufgabe der „Stereometrika“ über einen Pyramidenstumpf mit unmöglichen Maßen rechnerisch die Wurzel aus 81 − 144. Der überlieferte Text rechnet aber einfach mit 144 − 81 weiter. Von einer Beschäftigung mit imaginären Zahlen kann keine Rede sein; mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnete erst Gerolamo Cardano 1545, Regeln dafür formulierte Rafael Bombelli 1572.

Diophant von Alexandria: Die Anfänge der Algebra

Diophant von Alexandria (ca. 200–284 n. Chr.) schrieb mit der „Arithmetica“ das bedeutendste algebraische Werk der Antike. Von ursprünglich 13 Büchern sind sechs griechisch erhalten; vier weitere wurden 1968 in einer arabischen Übersetzung in Iran entdeckt. Das Werk ist eine Sammlung von Aufgaben mit Lösungen, keine systematische Theorie.

Neu war vor allem die Schreibweise. Diophant verwendete ein Zeichen für die Unbekannte, Abkürzungen für ihre Potenzen bis zur sechsten, ein Zeichen für die Subtraktion und eine Abkürzung für „gleich“. Diese synkopierte (abkürzende) Algebra steht zwischen der reinen Wortalgebra früherer Zeiten und der Symbolsprache, die erst im 16. und 17. Jahrhundert entstand. Diophant ließ positive Brüche als Lösungen ausdrücklich zu und behandelte sie damit als vollwertige Zahlen; negative Lösungen verwarf er.

Heute spricht man von diophantischen Gleichungen, wenn ganzzahlige Lösungen gesucht sind. Diophant selbst suchte aber meist rationale Lösungen. Ein Beispiel ist Aufgabe II,8: eine Quadratzahl in zwei Quadratzahlen zu zerlegen. Für 16 findet Diophant 16 = (16/5)² + (12/5)² = 256/25 + 144/25. Neben genau diese Aufgabe schrieb Pierre de Fermat um 1637 in seine Ausgabe von 1621 die berühmte Randnotiz, für Kuben und höhere Potenzen sei eine solche Zerlegung unmöglich. Diesen „Großen Fermatschen Satz“ bewies erst Andrew Wiles 1994/95.

Spätantike: Pappos, Theon und Hypatia

Im 4. Jahrhundert n. Chr. trat an die Stelle neuer Entdeckungen zunehmend das Sammeln, Kommentieren und Bewahren. Pappos von Alexandria verfasste im 4. Jahrhundert die „Synagoge“ („Sammlung“), ein Kompendium in acht Büchern, das viele sonst verlorene Ergebnisse überliefert. Er fand selbst neue Sätze, etwa über Volumina von Rotationskörpern, und stellte ein Problem über geometrische Örter, das Descartes 1637 zum Prüfstein seiner analytischen Geometrie machte. Theon von Alexandria (ca. 335–405) gab eine bearbeitete Fassung der „Elemente“ heraus, auf der fast alle späteren Ausgaben beruhten.

Seine Tochter Hypatia (ca. 355–415 n. Chr.) ist die erste Mathematikerin, über deren Leben und Werk verlässliche Nachrichten vorliegen. Sie lehrte Mathematik und neuplatonische Philosophie und genoss hohes Ansehen bei Christen wie Nichtchristen. Nach dem byzantinischen Lexikon Suda verfasste sie Kommentare zu Diophants „Arithmetica“, zu den „Konika“ des Apollonios und zu astronomischen Tafeln des Ptolemäus; erhalten ist davon wohl nur ihre Mitarbeit an Theons Almagest-Kommentar. Im März 415 wurde Hypatia von einer Gruppe Christen ermordet. Der Kirchenhistoriker Sokrates Scholastikos schildert die Tat und deutet sie als Folge eines Machtkampfs zwischen dem Präfekten Orestes, zu dessen Vertrauten sie zählte, und Bischof Kyrill.

Wichtige Persönlichkeiten der hellenistischen Mathematik

Zeitleiste der hellenistischen Mathematik

1. um 300 v. Chr. Gründung von Museion und Bibliothek in Alexandria; Euklid verfasst die „Elemente“.
2. um 250 v. Chr. Archimedes schreibt über Kreismessung, Kugel und Zylinder und die Parabelquadratur.
3. um 240 v. Chr. Eratosthenes bestimmt den Erdumfang.
4. 212 v. Chr. Archimedes stirbt bei der Eroberung von Syrakus durch die Römer.
5. um 200 v. Chr. Apollonios vollendet die „Konika“.
6. um 130 v. Chr. Hipparchos erstellt eine Sehnentafel und entdeckt die Präzession.
7. 2./1. Jh. v. Chr. Bau des Mechanismus von Antikythera.
8. 30 v. Chr. Ägypten wird römische Provinz; Alexandria bleibt Zentrum griechischer Wissenschaft.
9. 1. Jh. n. Chr. Heron verfasst „Metrika“, „Dioptra“ und „Pneumatika“.
10. um 150 n. Chr. Ptolemäus schreibt den „Almagest“.
11. 3. Jh. n. Chr. Diophant verfasst die „Arithmetica“.
12. 415 n. Chr. Ermordung Hypatias in Alexandria.

Erbe und Einfluss: Von Alexandria nach Bagdad und Europa

Im lateinischen Westen des Römischen Reiches fanden die hellenistischen Werke kaum Übersetzer; die römische Mathematik blieb praktisch ausgerichtet. Im griechischen Osten wurden die Texte dagegen weiter abgeschrieben. Ab dem 8. Jahrhundert übersetzten Gelehrte in Bagdad Euklid, Archimedes, Apollonios, Ptolemäus und Diophant ins Arabische. Ohne diese Arbeit der Mathematik der islamischen Welt wären etwa die Bücher V–VII der „Konika“ und vier Bücher der „Arithmetica“ verloren; al-Karadschi und andere bauten direkt auf Diophant auf.

Über arabische und griechische Handschriften kehrten die Werke ab dem 12. Jahrhundert in die europäische Mathematik des Mittelalters zurück. In der Renaissance wurden sie gedruckt und neu übersetzt. Kepler, Galilei, Descartes, Fermat und noch Newton in seinen „Principia“ dachten in den Begriffen der hellenistischen Geometrie. Bis ins 19. Jahrhundert lernten Schüler Geometrie direkt aus Bearbeitungen der „Elemente“. Die Exhaustionsmethode des Archimedes gilt als wichtigste Vorstufe der Integralrechnung, die im 17. Jahrhundert entstand.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Thomas L. Heath: A History of Greek Mathematics, Band 2: From Aristarchus to Diophantus, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Reviel Netz, William Noel: Der Codex des Archimedes, C. H. Beck, München 2008.
• Lucio Russo: Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens, Springer, Berlin 2005.
• MacTutor History of Mathematics: Euclid of Alexandria (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Menelaus of Alexandria (englisch)