Bis zum 3. Jahrhundert v. Chr., nach den Eroberungen durch Alexander den Großen, kam es auch in den Randgebieten des hellenistischen Griechenreichs zu bedeutenden Fortschritten in der Mathematik.
Insbesondere Alexandria in Ägypten entwickelte sich unter der wohlwollenden Herrschaft der Ptolemäer zu einer bedeutenden Bildungsstätte. Die berühmte Bibliothek der Stadt erwarb schnell einen Ruf, der mit dem der Athener Akademie konkurrieren konnte. Die Förderer dieser Bibliothek können als die ersten professionellen Wissenschaftler angesehen werden, die für ihre Forschungsarbeit entlohnt wurden. Zu den bekanntesten und einflussreichsten Mathematikern, die in Alexandria forschten und lehrten, zählen Euklid, Archimedes, Eratosthenes, Heron, Menelaus und Diophantus.
Im Zeitraum zwischen dem späten 4. und dem frühen 3. Jahrhundert v. Chr. erlangte Euklid immense Bedeutung als der maßgebliche Chronist der Mathematik seiner Epoche. Er ist nicht nur ein herausragender Lehrer, dessen Einfluss bis in die heutige Zeit reicht, sondern auch der visionäre Architekt der klassischen, als euklidische Geometrie bekannten, mathematischen Disziplin. Seine Arbeit bildet das Rückgrat der Geometrie, wie wir sie heute kennen und verstehen.
Archimedes, der überwiegend in der sizilianischen Stadt Syrakus lebte, hatte ebenfalls eine lehrreiche Zeit in Alexandria verbracht. Obwohl er oft für seine Ingenieurkunst und seine genialen Erfindungen gelobt wird, zeigt die jüngste wissenschaftliche Forschung, dass er als einer der größten reinen Mathematiker aller Zeiten angesehen werden muss. Sein Einfluss auf die Mathematik ist so tiefgreifend, dass er heute oft als Genie der höheren Mathematik gefeiert wird.
Eratosthenes, ein Zeitgenosse von Archimedes, war eine weitere beeindruckende Figur, die in Alexandria wirkte. Als ein wahrhaft vielseitiger Wissenschaftler glänzte er in Mathematik, Astronomie und Geografie. Er war der Pionier des ersten Systems für geografische Breiten- und Längengrade und schaffte es, den Erdumfang mit verblüffender Genauigkeit zu schätzen. In der Mathematik hat er ein bleibendes Vermächtnis hinterlassen, vor allem durch das “Sieb des Eratosthenes”, ein äußerst effizienter Algorithmus zur Identifizierung von Primzahlen, der bis heute Anwendung findet.
Sphärisches Dreieck
Die genauen Umstände des Brandes der großen Bibliothek von Alexandria sind bis heute unklar, aber Alexandria blieb für mehrere Jahrhunderte ein bedeutendes Zentrum des intellektuellen Schaffens. Im 1. Jahrhundert v. Chr. trat Heron (oder Hero) auf den Plan, ein weiteres intellektuelles Schwergewicht aus Alexandria. Er ist vor allem bekannt für seine Beiträge zur Mathematik, die weit über seine Zeit hinaus wirkten. Heronische Dreiecke, also Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Flächeninhalten, sind nach ihm benannt. Seine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks anhand seiner Seitenlängen ist ebenso unsterblich in der mathematischen Literatur verewigt wie Herons Methode zur iterativen Berechnung von Quadratwurzeln.
Aber Heron schreckte auch vor komplexen und schwer fassbaren Konzepten nicht zurück. Er war der erste Mathematiker, der sich zumindest gedanklich mit der Wurzel aus -1 auseinandersetzte. Zwar hatte er noch keine Methode zur Behandlung dieser komplexen Zahl, aber allein die Tatsache, dass er dieses Thema aufgriff, setzte einen wichtigen Meilenstein. Es sollten jedoch noch rund 1500 Jahre vergehen, bis Tartaglia und Cardano im 16. Jahrhundert eine Methode zur Behandlung dieser “imaginären” Zahlen entwickelten. In diesem Sinne war Heron nicht nur ein brillanter Erfinder und Mathematiker seiner Zeit, sondern auch ein visionärer Denker, der die Türen zu späteren Entwicklungen in der Mathematik weit aufstieß.
In der Übergangszeit vom 1. zum 2. Jahrhundert n. Chr. lebte Menelaus von Alexandria, ein Mathematiker, der die Welt der Geometrie durch seine innovativen Einsichten revolutionierte. Er war der Erste, der die Bedeutung von Geodäten auf gekrümmten Oberflächen erkannte und sie als natürliche Entsprechungen zu geraden Linien auf einer flachen Ebene beschrieb. Dies war ein bahnbrechender Gedanke, der die Tür für viele spätere Entwicklungen in der Differentialgeometrie und in der Allgemeinen Relativitätstheorie öffnete.
Sein Werk “Sphaerica” war eine faszinierende Abhandlung, die sich intensiv mit der Geometrie von Kugeloberflächen auseinandersetzte. Besonders hervorzuheben ist seine Einführung des Konzepts des “sphärischen Dreiecks”. Diese von ihm so genannten “Trilateralen” sind Figuren, die aus drei großen Kreisbögen auf der Oberfläche einer Kugel gebildet werden. Das war nicht nur eine intellektuelle Spielerei, sondern hatte auch praktische Anwendungen, vor allem in der Astronomie, wo die Geometrie der Kugel für Messungen und Berechnungen von zentraler Bedeutung ist.
Menelaus’ Arbeiten waren somit nicht nur theoretisch von großer Relevanz, sondern lieferten auch die mathematische Grundlage für Fortschritte in den angewandten Wissenschaften. Er legte damit den Grundstein für spätere mathematische und wissenschaftliche Entdeckungen und seine Konzepte haben die Prüfung der Zeit bestanden, um zu einem festen Bestandteil des wissenschaftlichen Kanons zu werden.
Im 3. Jahrhundert n. Chr. betrat Diophantus von Alexandria die mathematische Bühne und veränderte die Sichtweise auf die Mathematik nachhaltig. Er war der Erste, der Brüche als echte Zahlen anerkannte und gilt als Pionier auf dem Gebiet, das wir heute als Algebra kennen. Seine Arbeit ging weit über die Grundlagen hinaus und beschäftigte sich mit komplexen algebraischen Problemen. Insbesondere prägte er die Diophantische Analyse, ein Spezialgebiet, das nach ganzzahligen Lösungen für Gleichungen mit mehreren Unbekannten sucht – bekannt als diophantische Gleichungen.
Sein opus magnum, die “Arithmetica”, war eine Sammlung von Problemen, die sowohl bestimmte als auch unbestimmte Gleichungen behandelten. Dieses Werk war nicht nur das herausragendste Schriftstück über Algebra in der gesamten griechischen Mathematik, sondern es entfachte auch die Fantasie und den Erfindungsgeist vieler der brillantesten Mathematiker der nachfolgenden zwei Jahrtausende. In dieser Sammlung setzte Diophantus Standards für rigorose mathematische Analyse und ebnete den Weg für zukünftige Generationen von Mathematikern.
Die Arithmetica wurde damit zu einem zeitlosen Klassiker, der auch heute noch studiert wird. Diophantus‘ revolutionäre Ansätze wurden zur Grundlage vieler weiterer Entwicklungen in der Mathematik und legten den Grundstein für die moderne Algebra. Sein Einfluss kann kaum überschätzt werden und sein Werk hat die intellektuelle Landschaft für Jahrhunderte geprägt.
Kegelschnitte des Apollonius
Doch Alexandria war bei weitem nicht das einzige intellektuelle Zentrum des hellenistischen Griechenlands. Besondere Erwähnung verdient auch Apollonius von Perga, einer Stadt im heutigen Süden der Türkei. Apollonius leistete im späten 3. Jahrhundert v. Chr. bahnbrechende Arbeit auf dem Gebiet der Geometrie, insbesondere im Bereich der Kegelschnitte. Er beeinflusste damit maßgeblich nachfolgende europäische Mathematiker.
Es war Apollonius, der den Formen der Ellipse, Parabel und Hyperbel ihre heutigen Namen gab. Nicht nur das, er erläuterte auch, wie diese Formen durch verschiedene Schnitte eines Kegels entstehen können. Seine Arbeit ging weit über die damaligen Erkenntnisse hinaus und fügte dem Verständnis der Geometrie eine neue, tiefe Ebene hinzu. Durch die akribische Darstellung dieser Kegelschnitte legte Apollonius den Grundstein für zahlreiche weitere Forschungen, die von den Generationen nach ihm weitergeführt wurden.
Apollonius’ Arbeit kann als ein Meilenstein in der Geschichte der Mathematik angesehen werden, ein wahrer Klassiker, der die Weichen für die europäische wissenschaftliche Tradition stellte. Sein Erbe lebt bis heute fort, und die Prinzipien, die er erstmals formuliert hat, sind immer noch Teil des Grundgerüsts der modernen Geometrie. Seine Forschung bildet so einen Eckpfeiler in der Mathematikgeschichte, der die Art und Weise, wie wir über Formen und Räume denken, bis heute prägt.
Hipparchus, ein Gelehrter aus dem hellenistischen Anatolien, der im 2. Jahrhundert v. Chr. lebte, gilt weithin als einer der größten Astronomen der Antike. Er blies den Gebrauch arithmetischer Techniken, die ursprünglich von den Chaldäern und Babyloniern entwickelt worden waren, wieder neu Leben ein und wird allgemein als der Vater der Trigonometrie angesehen.
Hipparchus war nicht nur ein einfacher Wissenschaftler, der vorhandene Techniken wieder aufgriff; er transformierte sie. Indem er arithmetische und geometrische Ansätze kombinierte, legte er das Fundament für eine Wissenschaft, die die Erforschung des Himmels für die nächsten Jahrhunderte prägen sollte. In der Antike galt die Astronomie als eine der höchsten Disziplinen, und Hipparchus trug wesentlich dazu bei, dass sie auf einem soliden mathematischen Fundament stand.
Mit seinen wegweisenden Methoden revolutionierte er unser Verständnis der Sterne und Planeten. Er entwickelte trigonometrische Funktionen, die damals natürlich noch nicht so hießen, aber die wesentlich dazu beitrugen, die Bewegungen der Himmelskörper genauer zu berechnen. Die Trigonometrie, wie wir sie heute kennen, wäre ohne seine bahnbrechenden Erkenntnisse kaum denkbar.
Sein Erbe ist nicht nur in den astronomischen Texten und Instrumenten der Antike festgehalten, sondern auch in der modernen Astronomie, wo Trigonometrie nach wie vor ein unverzichtbares Werkzeug ist. So kann man mit Fug und Recht sagen, dass Hipparchus eine Säule in der Geschichte der Astronomie und der Mathematik ist, deren Einfluss bis in unsere Zeit reicht.
Hipparchus führte bemerkenswert präzise Berechnungen für seine Zeit durch, um die Entfernung des Mondes von der Erde zu ermitteln. Er nutzte dazu Messungen unterschiedlicher sichtbarer Teile des Mondes von verschiedenen Standorten aus und verwendete die Eigenschaften von Dreiecken für seine Kalkulationen. Dieser geniale Ansatz stellt einen frühen Beweis für die Anwendung trigonometrischer Prinzipien in der Astronomie dar.
Doch Hipparchus ging noch weiter. Er erstellte die erste Tabelle von Sehnen, die die Seitenlängen in Relation zu verschiedenen Winkeln eines Dreiecks darstellen. Damit legte er den Grundstein für das, was wir heute als Trigonometrie kennen.
Im 2. Jahrhundert n. Chr., zur Zeit des großen alexandrinischen Astronomen Ptolemäus, hatte sich das griechische Verständnis numerischer Verfahren jedoch schon so weit entwickelt, dass Ptolemäus in seinem Werk “Almagest” eine Tabelle trigonometrischer Sehnen für Kreise in Schritten von 1/4 Grad inkludieren konnte. Obwohl diese Tabelle noch im babylonischen Stil sexagesimal ausgedrückt war, erreichte sie eine Genauigkeit von etwa fünf Dezimalstellen.
Dieser Fortschritt demonstriert nicht nur die kontinuierliche Weiterentwicklung des mathematischen Denkens in der hellenistischen Welt, sondern auch den immerwährenden Einfluss der bahnbrechenden Arbeit von Hipparchus. Seine Methoden und Erkenntnisse dienten nicht nur als Grundlage für Ptolemäus’ späteres Werk, sondern prägten die Wissenschaft der Astronomie und der Mathematik für viele Jahrhunderte. In einer Zeit, in der Messinstrumente und Rechenmethoden noch weit von unserer heutigen Genauigkeit entfernt waren, bewies die Arbeit dieser Pioniere ein bemerkenswertes Maß an Intellekt und Innovationsgeist.
Im Verlauf des 1. Jahrhunderts v. Chr. festigte das Römische Reich zunehmend seine Kontrolle über das einst so mächtige griechische Imperium. Im Gegensatz zu den Griechen, die eine tiefe Wertschätzung für die reinen Wissenschaften hatten, interessierten sich die Römer hauptsächlich für die praktischen Anwendungen der Mathematik. Die nachfolgende christliche Ära zeigte sogar noch weniger Interesse an dieser intellektuellen Disziplin.
Ein tragisches Symbol für das Ende der großartigen mathematischen Tradition des Hellenismus in Alexandria könnte in der Person der Hypatia gesehen werden. Sie war die erste namentlich bekannte Mathematikerin der Geschichte und eine angesehene Lehrerin, die hochgeschätzte Kommentare zu den Werken von Diophantus und Apollonius verfasst hatte. Hypatia fiel einem fanatischen christlichen Mob zum Opfer, der sie im Jahr 415 n. Chr. grausam zu Tode schleifte.
Ihr tragisches Schicksal markiert einen düsteren Wendepunkt in der Geschichte der Mathematik und der Wissenschaften im Allgemeinen. Mit ihrem Tod wurde nicht nur ein unschätzbares menschliches Talent ausgelöscht, sondern auch ein Symbol für das Erbe der hellenistischen Mathematik, das in dieser Zeit immer mehr in Vergessenheit geriet. Dieses Ereignis dient als eine eindringliche Erinnerung daran, wie politische und soziale Umwälzungen den Fortschritt der Wissenschaften beeinflussen können. Hypatias Tod steht emblematisch für das Versiegen eines einst lebendigen Stroms des mathematischen Denkens, der seine Quellen in der hellenistischen Ära hatte.