Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) war ein französischer Jurist und einer der bedeutendsten Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Sein Leben lang arbeitete er als Richter am Parlament von Toulouse, einem der obersten Gerichtshöfe Frankreichs; Mathematik betrieb er neben dem Beruf. Trotzdem gehört er zu den Begründern der analytischen Geometrie, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und vor allem der modernen Zahlentheorie.

Fermat veröffentlichte fast nichts. Seine Ergebnisse teilte er in Briefen mit, häufig ohne Beweis und verbunden mit einer Herausforderung an den Empfänger. Am berühmtesten wurde eine Notiz am Rand seines Exemplars der Arithmetica des Diophant: Die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ habe für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen, und er habe dafür einen wunderbaren Beweis. Erst Andrew Wiles konnte diesen Großen Fermatschen Satz 1994 beweisen.

Herkunft und Ausbildung

Pierre Fermat stammte aus Beaumont-de-Lomagne, einer Kleinstadt nördlich von Toulouse. Sein Vater Dominique war ein wohlhabender Lederhändler und zeitweise zweiter Konsul der Stadt. Lange galt der August 1601 als Geburtsdatum. Der Historiker Klaus Barner konnte jedoch zeigen, dass dieser Taufeintrag einen früh verstorbenen Halbbruder gleichen Namens aus der ersten Ehe des Vaters betrifft. Der Mathematiker kam wohl zwischen Ende Oktober und Anfang Dezember 1607 zur Welt.

Nach der Schulzeit studierte Fermat Rechtswissenschaften an der Universität Orléans und schloss 1626 ab. In den späten 1620er-Jahren lebte er in Bordeaux, wo er Anschluss an einen Kreis von Mathematikliebhabern fand, die Handschriften von François Viète besaßen. Viètes Buchstabenalgebra wurde zu Fermats wichtigstem Werkzeug. In Bordeaux begann er auch, verlorene Werke antiker Geometer zu rekonstruieren, etwa die „Ebenen Örter“ des Apollonios, und entwickelte seine Methode für Maxima und Minima. Er beherrschte Latein, Griechisch, Italienisch und Spanisch und wurde gelegentlich um Rat bei der Verbesserung griechischer Texte gebeten.

Richter in Toulouse und Castres

Ende 1630 kaufte Fermat für 43.500 Livres das Amt eines Rates am Parlament von Toulouse, am 14. Mai 1631 wurde er vereidigt. Mit dem Amt durfte er sich „de Fermat“ nennen. Im selben Jahr heiratete er Louise de Long; von den gemeinsamen Kindern gab der älteste Sohn Clément-Samuel später den mathematischen Nachlass des Vaters heraus. Fermat stieg nach dem Dienstalter in höhere Kammern auf, 1638 in die Oberkammer und 1652 in die Strafkammer.

Wiederholt wurde er an die Chambre de l’Édit in Castres abgeordnet, ein Gericht, das mit katholischen und protestantischen Richtern besetzt war und Streitfälle zwischen den Konfessionen verhandelte. Während einer Pestepidemie erkrankte Fermat 1653 schwer; ein Brief meldete bereits seinen Tod, bevor die Nachricht korrigiert wurde. Er starb am 12. Januar 1665 in Castres, während einer seiner Amtszeiten dort.

Mathematik per Brief

Fermat lebte fern von Paris, dem Zentrum des gelehrten Austauschs in Frankreich. Seine Verbindung zur mathematischen Welt lief über Briefe, vor allem über Marin Mersenne, mit dem er ab 1636 korrespondierte, und über seinen früheren Kollegen Pierre de Carcavi. Weitere Briefpartner waren der Zahlentheoretiker Bernard Frénicle de Bessy, René Descartes, Blaise Pascal und Christiaan Huygens. Persönlich begegnet ist er Pascal nie.

Typisch für Fermat war, Ergebnisse anzukündigen und die Beweise zurückzuhalten. Oft stellte er den Briefpartnern Aufgaben, deren Lösung er kannte, und drängte sie, selbst nach einem Beweis zu suchen. Die einzige mathematische Abhandlung, die zu seinen Lebzeiten gedruckt wurde, eine Arbeit über die Länge von Kurven (1660), erschien anonym als Anhang zum Buch eines anderen Autors. Seine gesammelten Schriften, die Varia opera mathematica, gab sein Sohn erst 1679 heraus.

Fermat und die Zahlentheorie

Fermats wichtigste Quelle war die Arithmetica des Diophant von Alexandria in der griechisch-lateinischen Ausgabe von Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1621). Diophant suchte rationale Lösungen einzelner Gleichungen. Fermat interessierte sich dagegen für ganze Zahlen und allgemeine Gesetze: Welche Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate schreiben? Wann teilt eine Primzahl eine Potenz minus eins? Damit verschob er den Schwerpunkt von der Lösung einzelner Aufgaben zu Fragen über Primzahlen und Teilbarkeit, die bis heute die Zahlentheorie prägen. In den Rand seines Diophant-Exemplars schrieb er zahlreiche Bemerkungen; die Ausgabe von 1670 enthält 48 davon.

Der kleine Fermatsche Satz

In einem Brief an Frénicle vom 18. Oktober 1640 formulierte Fermat den Satz, der heute sein „kleiner“ heißt. Er sei bereit, den Beweis zu schicken, schrieb er, fürchte aber, zu lang zu werden. Ist p eine Primzahl und a eine ganze Zahl, die nicht durch p teilbar ist, dann gilt:

Das heißt: a^p−1 lässt bei der Division durch p den Rest 1. Den ersten veröffentlichten Beweis lieferte Leonhard Euler 1736; Leibniz hatte schon Jahrzehnte früher einen Beweis gefunden, ihn aber nicht publiziert. Fermat kam auf den Satz bei der Frage, welche Zahlen der Form 2ⁿ − 1 Primzahlen sind. So fand er 1640, dass 2³⁷ − 1 = 137.438.953.471 durch 223 teilbar ist.

Heute steckt der Satz in jedem Computer, der verschlüsselt kommuniziert. Das RSA-Verfahren nutzt Eulers Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes auf beliebige Moduln, und Primzahltests in der Kryptografie bauen auf Fermats Idee auf. Ganz zuverlässig ist der einfache Fermat-Test allerdings nicht: Es gibt zusammengesetzte Zahlen wie 561 = 3 · 11 · 17, die ihn für alle teilerfremden Basen bestehen.

Der Zwei-Quadrate-Satz

Am 25. Dezember 1640 schrieb Fermat an Mersenne, jede Primzahl, die bei Division durch 4 den Rest 1 lässt, sei auf genau eine Weise die Summe zweier Quadratzahlen. Beispiele sind 5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3² und 41 = 4² + 5². Primzahlen mit dem Rest 3, etwa 3, 7 oder 11, lassen sich dagegen nie so schreiben. Wegen des Briefdatums heißt die Aussage im Englischen auch „Weihnachtssatz“. Albert Girard hatte sie schon 1625 ausgesprochen; den ersten vollständigen Beweis gab Euler 1749.

Die Methode des unendlichen Abstiegs

Als sein wichtigstes Beweisverfahren bezeichnete Fermat den „unendlichen Abstieg“ (descente infinie), den er 1659 in einem Bericht für Huygens erläuterte. Will man zeigen, dass eine Gleichung keine Lösung in natürlichen Zahlen hat, nimmt man eine Lösung an und konstruiert daraus eine kleinere. Daraus ließe sich eine nächste, noch kleinere gewinnen und so fort. Eine unendlich absteigende Folge natürlicher Zahlen gibt es aber nicht, also kann es auch keine Lösung geben.

Mit dieser Methode bewies Fermat, dass der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten nie eine Quadratzahl ist. Es ist der einzige zahlentheoretische Beweis, den er ausführlich aufschrieb. Daraus folgt unmittelbar, dass x⁴ + y⁴ = z⁴ keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat. Eine gleichwertige Aussage hatte Leonardo von Pisa im Liber Quadratorum schon 1225 behauptet, aber nicht befriedigend bewiesen.

Fermat-Zahlen

Zahlen der Form F_n = 2²ⁿ + 1 heißen Fermat-Zahlen. Die ersten fünf sind 3, 5, 17, 257 und 65.537, und alle sind Primzahlen. Fermat glaubte, dass alle Zahlen dieser Form prim seien, räumte aber ein, keinen Beweis zu haben. Euler widerlegte die Vermutung 1732: F₅ = 4.294.967.297 = 641 · 6.700.417. Bis heute ist keine weitere Fermat-Primzahl bekannt; von F₅ bis F₃₂ sind alle zusammengesetzt.

Eine überraschende Rolle spielen die Fermat-Primzahlen in der Geometrie. Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass sich das regelmäßige 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, und allgemein: Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn n eine Zweierpotenz mal einem Produkt verschiedener Fermat-Primzahlen ist. Die vollständige Begründung der Umkehrung lieferte Pierre-Laurent Wantzel 1837.

Herausforderungen an die Mathematiker Europas

1657 forderte Fermat die Mathematiker Europas, besonders die Engländer, zu einem Wettstreit heraus. Eine Aufgabe verlangte, für eine Zahl wie 61 ganzzahlige Lösungen der Gleichung x² − 61y² = 1 zu finden; die kleinste ist x = 1.766.319.049 und y = 226.153.980. John Wallis und William Brouncker fanden ein allgemeines Verfahren. Dass der indische Mathematiker Bhaskara II genau diesen Fall schon im 12. Jahrhundert gelöst hatte, wusste in Europa niemand. Die Gleichung heißt heute irrtümlich nach John Pell.

Ebenfalls als Randbemerkung hinterließ Fermat den Polygonalzahlensatz: Jede natürliche Zahl ist die Summe von höchstens drei Dreieckszahlen, vier Quadratzahlen, fünf Fünfeckszahlen und so weiter. Den Fall der Quadratzahlen bewies Lagrange 1770, den der Dreieckszahlen Gauß 1796 und den allgemeinen Satz Cauchy 1813.

Der Große Fermatsche Satz

Neben die Aufgabe II.8 der Arithmetica, eine gegebene Quadratzahl in zwei Quadratzahlen zu zerlegen, schrieb Fermat seine berühmteste Bemerkung. Für Quadrate ist das leicht, es gibt unendlich viele pythagoreische Zahlentripel wie 3² + 4² = 5². Für höhere Potenzen behauptete Fermat das Gegenteil:

„Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein irgendeine Potenz über der zweiten in zwei Potenzen desselben Grades zu zerlegen. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch dieser Rand ist zu schmal, ihn zu fassen.“

In moderner Form: Die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ hat für keine ganze Zahl n > 2 eine Lösung in positiven ganzen Zahlen. Wann Fermat die Notiz schrieb, ist unbekannt; vermutet wird ein Zeitpunkt zwischen 1637 und den frühen 1640er-Jahren. Sein Handexemplar ist verloren. Bekannt ist die Bemerkung nur, weil Clément-Samuel de Fermat 1670 eine Neuausgabe der Arithmetica mit den Randnotizen seines Vaters drucken ließ.

350 Jahre Beweissuche

Fermat selbst bewies nur den Fall n = 4. In späteren Briefen erwähnte er die Fälle n = 3 und n = 4 als Aufgaben, die allgemeine Behauptung dagegen nie wieder. Das deutet darauf hin, dass er einen Fehler in seinem „wunderbaren Beweis“ bemerkt hatte. Euler bewies 1770 den Fall n = 3, Sophie Germain fand um 1820 ein Kriterium für eine ganze Klasse von Primzahlexponenten, Legendre und Dirichlet erledigten 1825 den Fall n = 5, Gabriel Lamé 1839 den Fall n = 7. Ernst Eduard Kummer bewies ab 1847 die Aussage für alle „regulären“ Primzahlen und schuf dabei Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie. 1908 setzte der Darmstädter Paul Wolfskehl einen Preis von 100.000 Mark für einen vollständigen Beweis aus.

Der Durchbruch kam über einen Umweg. Gerhard Frey bemerkte 1984, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung eine sehr ungewöhnliche elliptische Kurve liefern würde. Kenneth Ribet bewies 1986, dass eine solche Kurve der Taniyama-Shimura-Vermutung widerspräche, nach der alle elliptischen Kurven „modular“ sind. Andrew Wiles arbeitete daraufhin sieben Jahre fast im Geheimen und stellte im Juni 1993 in Cambridge einen Beweis für den benötigten Teil dieser Vermutung vor. Ein Gutachter fand eine Lücke, die Wiles im September 1994 zusammen mit seinem früheren Doktoranden Richard Taylor schließen konnte. Die Arbeiten erschienen 1995 in den Annals of Mathematics; 1997 erhielt Wiles den Wolfskehl-Preis.

Analytische Geometrie, unabhängig von Descartes

Um 1636 schrieb Fermat eine kurze Einführung in die „ebenen und körperlichen Örter“ (Ad locos planos et solidos isagoge). Darin zeigte er, dass jede Gleichung ersten Grades in zwei Unbekannten eine Gerade beschreibt und jede Gleichung zweiten Grades einen Kegelschnitt. Das ist der Grundgedanke der analytischen Geometrie, den Descartes 1637 in La Géométrie veröffentlichte. Fermats Schrift kursierte nur in Abschriften und wurde erst 1679 gedruckt, deshalb verbindet man die Methode heute vor allem mit Descartes.

Wegbereiter der Differential- und Integralrechnung

Schon in Bordeaux entwickelte Fermat ein Verfahren, um größte und kleinste Werte zu bestimmen. Er nannte es adaequatio („Angleichung“): Man vergleicht den Wert eines Ausdrucks an der Stelle a mit dem an der benachbarten Stelle a + e, setzt beide näherungsweise gleich, teilt durch e und lässt danach e verschwinden. Das entspricht genau dem heutigen Vorgehen, die Ableitung gleich null zu setzen. Mit einer verwandten Methode bestimmte er Tangenten an Kurven, was 1637 und 1638 zu einem heftigen Streit mit Descartes führte; am Ende erkannte Descartes das Verfahren an.

Auch Flächen unter Kurven berechnete Fermat. Für die Kurven y = xⁿ teilte er das Intervall nicht in gleich breite Streifen, sondern in Streifen, deren Breiten eine geometrische Folge bilden. Die Summe ließ sich dann mit der Formel für geometrische Reihen berechnen. In heutiger Schreibweise fand er

und zwar nicht nur für natürliche, sondern auch für gebrochene Exponenten n. Was ihm fehlte, war die Erkenntnis, dass Tangentenproblem und Flächenberechnung zueinander invers sind. Diesen Hauptsatz formulierten erst Newton und Leibniz, die damit die Analysis als eigenes Gebiet begründeten.

In der Optik leitete Fermat 1662 das Brechungsgesetz aus einem einfachen Grundsatz ab: Das Licht wählt zwischen zwei Punkten den Weg, für den es am wenigsten Zeit braucht. Dieses Fermatsche Prinzip war das erste der Extremalprinzipien, mit denen die Physik bis heute Naturgesetze formuliert.

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Pascal

1654 wandte sich Blaise Pascal mit einer Frage an Fermat, die ihm der Spieler Chevalier de Méré gestellt hatte. Zwei Spieler brechen ein Glücksspiel ab, bevor einer die nötige Zahl von Siegen erreicht hat: Wie soll der Einsatz gerecht verteilt werden? In ihrem Briefwechsel lösten Fermat und Pascal dieses „Teilungsproblem“ auf verschiedenen Wegen. Pascal rechnete rückwärts mit den erwarteten Anteilen, Fermat zählte einfach alle möglichen Fortsetzungen des Spiels ab.

Dieser Briefwechsel gilt als Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Christiaan Huygens, der in Paris davon hörte, schrieb 1657 das erste gedruckte Lehrbuch des Gebiets.

Zeitleiste: Pierre de Fermat

1. 1607 Geburt in Beaumont-de-Lomagne, vermutlich zwischen Ende Oktober und Anfang Dezember
2. 1626 Abschluss des Jurastudiums in Orléans; danach Jahre in Bordeaux mit ersten mathematischen Forschungen
3. 1631 Vereidigung als Rat am Parlament von Toulouse; Heirat mit Louise de Long
4. 1636 Beginn des Briefwechsels mit Mersenne; Einführung in die analytische Geometrie
5. 1637/38 Streit mit Descartes über Tangenten und das Brechungsgesetz
6. 1640 Kleiner Fermatscher Satz (Brief vom 18. Oktober) und Zwei-Quadrate-Satz (Brief vom 25. Dezember)
7. 1654 Briefwechsel mit Pascal über das Teilungsproblem
8. 1657 Herausforderung an die Mathematiker Europas mit der Gleichung x² − 61y² = 1
9. 1665 Tod am 12. Januar in Castres
10. 1670 Der Sohn veröffentlicht Diophants Arithmetica mit Fermats Randbemerkungen; 1679 folgen die Varia opera.

Bedeutung und Nachwirkung

Fermat machte aus der Zahlentheorie, die bei Diophant eine Sammlung kunstvoller Aufgaben gewesen war, ein Forschungsgebiet mit allgemeinen Sätzen. Euler, Lagrange, Legendre und Gauß arbeiteten im 18. und 19. Jahrhundert seine Behauptungen nacheinander ab und entwickelten dabei die Methoden der modernen Zahlentheorie. Der Große Fermatsche Satz trieb die algebraische Zahlentheorie voran und führte schließlich zu Wiles’ Beweis, der eine tiefe Verbindung zwischen elliptischen Kurven und Modulformen herstellte.

Im Alltag begegnet man Fermats Erbe häufiger, als man denkt: in der Verschlüsselung beim Onlinebanking, die auf dem kleinen Fermatschen Satz aufbaut, in der Optik mit dem Prinzip der kürzesten Laufzeit, und in jeder Extremwertaufgabe der Schule. In Toulouse trägt eines der bekanntesten Gymnasien Frankreichs, das Lycée Pierre-de-Fermat, seinen Namen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Klaus Barner: Das Leben Fermats. In: Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 9 (2001), Heft 3.
• Michael Sean Mahoney: The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665, Princeton University Press, Princeton 1973, 2. Auflage 1994.
• Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, Hanser, München 1998.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Pierre de Fermat (englisch)