Gruppentheorie

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung, die vier einfachen Regeln folgt. Die Verknüpfung kann eine Addition sein, eine Multiplikation oder das Hintereinanderausführen von Bewegungen. Der Begriff ist deshalb so wichtig, weil er Symmetrie genau fasst: Alle Bewegungen, die eine Figur in sich selbst überführen, bilden eine Gruppe.

Die Gruppentheorie untersucht solche Strukturen, ohne sich um die Art der Elemente zu kümmern. Ob Zahlen, Drehungen oder Vertauschungen von Karten: Entscheidend sind nur die Rechenregeln. Aus der Theorie folgen Sätze, die auf viele Fälle gleichzeitig passen. Die Geschichte dahinter, wie Gruppen aus der Frage nach Lösungsformeln von Gleichungen entstanden, steht bei Évariste Galois.

Die Gruppenaxiome

Gegeben sind eine Menge $G$ und eine Verknüpfung $\circ$, die je zwei Elementen $a$ und $b$ ein Element $a\circ b$ zuordnet. Das Paar $(G,\circ )$ heißt Gruppe, wenn vier Regeln gelten:

Wichtig: Das Kommutativgesetz $a\circ b=b\circ a$ gehört nicht zu den Axiomen. Es gilt in manchen Gruppen und in anderen nicht. Zur Veranschaulichung: Das neutrale Element ist das „Nichtstun“ (bei der Addition die 0, bei der Multiplikation die 1), das Inverse das „Rückgängigmachen“.

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Restklassen rechnen so, wie du es von der modularen Arithmetik kennst. Bei ${\mathbb{Z}}_3$ besteht die Gruppe aus den Resten 0, 1, 2. Die zugehörige Verknüpfungstafel zeigt die Seite zu Cayley.

Die Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks

Ein wichtiges Beispiel einer nicht kommutativen Gruppe ist die Gruppe der Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks. Eine Symmetrie ist hier eine Bewegung, die das Dreieck wieder auf sich selbst abbildet (siehe auch Symmetrie in der Geometrie). Es gibt genau sechs:

• die Drehung um $0°$, das Nichtstun $e$,
• die Drehung $r$ um $120°$ gegen den Uhrzeigersinn und $r^2$ (zweimal $r$, also $240°$),
• die Spiegelungen $s_A$, $s_B$ und $s_C$ an den drei Achsen durch je eine Ecke.

Als Verknüpfung nimmst du das Hintereinanderausführen. Das Zeichen $a\circ b$ bedeutet: erst $b$, dann $a$. Das ergibt die Verknüpfungstafel, auch Cayley-Tafel genannt. In der Zeile von $a$ und der Spalte von $b$ steht $a\circ b$.

Aus der Tafel liest du ab:

• In jeder Zeile und Spalte steht jedes Element genau einmal. Das ist bei jeder Gruppentafel so.
• Das neutrale Element ist $e$. Die Inversen sind $r^{-1}=r^2$, $(r^2{)}^{-1}=r$ und $s^{-1}=s$ für jede Spiegelung, denn zweimal spiegeln ergibt $e$.
• Die Gruppe ist nicht kommutativ: Es ist $r\circ s_A=s_C$, aber $s_A\circ r=s_B$. Die Reihenfolge zählt, wie bei einem Handgriff am Würfel.

Diese Gruppe heißt $D_3$ (Diedergruppe, nach den „zwei Flächen“ eines flachen Dreiecks) oder $S_3$. Sie hat die Ordnung 6.

Ordnung, Untergruppen und der Satz von Lagrange

Die Ordnung einer Gruppe $G$ ist die Zahl ihrer Elemente, geschrieben $|G|$. Die Ordnung eines Elements $a$ ist die kleinste Zahl $k\ge 1$, bei der $a\circ a\circ \dots \circ a$ ($k$ Faktoren) das neutrale Element ergibt. In $D_3$ hat $r$ die Ordnung 3 und jede Spiegelung die Ordnung 2.

Eine Untergruppe ist eine Teilmenge $H$ von $G$, die mit derselben Verknüpfung selbst eine Gruppe bildet. Dafür genügt es zu prüfen, dass $H$ das neutrale Element enthält und bei der Verknüpfung und beim Bilden von Inversen nicht herausführt.

Die Drehungen $\{e,r,r^2\}$ bilden eine Untergruppe der Ordnung 3. Dazu kommen die drei Untergruppen $\{e,s\}$ der Ordnung 2 sowie die trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $D_3$ selbst. Auffällig: Die Ordnungen 1, 2, 3 und 6 teilen alle die 6. Es gibt keine Untergruppe der Ordnung 4 oder 5. Das ist kein Zufall:

Der Satz ist nach Joseph-Louis Lagrange benannt (siehe Lagrange), der 1770 etwas Ähnliches bei Vertauschungen von Gleichungslösungen entdeckte. Er hilft schon bei kleinen Aufgaben: Eine Gruppe der Ordnung 12 kann keine Untergruppe der Ordnung 5 haben.

Zyklische Gruppen

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines einzigen Elements $g$ besteht, des Erzeugers: $G=\{e,g,g^2,g^3,\dots \}$. Die ganzen Zahlen mit $+$ werden von der 1 erzeugt. Die Gruppe ${\mathbb{Z}}_{12}$, die Uhr, ist zyklisch mit dem Erzeuger 1, denn $1,2,3,\dots ,12=0$ durchläuft alle Elemente. Auch die Drehungen des Dreiecks $\{e,r,r^2\}$ sind zyklisch.

In ${\mathbb{Z}}_{12}$ hat ein Element $a$ die Ordnung $\frac{12}{\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{T}(a,12)}$. Erzeuger sind genau die Zahlen, die zu 12 teilerfremd sind: 1, 5, 7 und 11. Die 5 hat die Ordnung 12, die 8 hat die Ordnung 3 (denn $8,4,0$), die 9 hat die Ordnung 4 und die 6 die Ordnung 2. Zyklische Gruppen sind immer abelsch. $D_3$ ist nicht zyklisch, denn kein Element hat die Ordnung 6.

Permutationen

Eine Permutation ist eine Vertauschung von $n$ Dingen, also eine umkehrbare Abbildung einer Menge von $n$ Elementen auf sich. Alle Permutationen von $n$ Dingen bilden mit dem Hintereinanderausführen die symmetrische Gruppe $S_n$. Sie hat $n!=1·2·\dots ·n$ Elemente. So hat $S_3$ sechs, $S_4$ vierundzwanzig und $S_5$ hundertzwanzig Elemente.

Jede Symmetrie des Dreiecks vertauscht die drei Ecken, und jede Vertauschung der Ecken lässt sich als Symmetrie ausführen. Deshalb ist $D_3$ im Wesentlichen die Gruppe $S_3$. Ein Kartenspiel mit 52 Karten kann auf $52!\approx \mathrm{8,07}·{10}^{67}$ Arten gemischt werden.

Permutationen sind wichtiger, als sie aussehen. Nach dem Satz von Cayley lässt sich jede endliche Gruppe als Gruppe von Permutationen auffassen, genauer als Untergruppe einer Gruppe $S_n$ (mehr unter Cayley). Damit sind die symmetrischen Gruppen so etwas wie das Universum aller endlichen Gruppen.

Isomorphie

Zwei Gruppen können gleich aufgebaut sein, obwohl ihre Elemente verschieden aussehen. Eine Isomorphie ist eine umkehrbare Zuordnung $\phi$, die die Verknüpfung erhält: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\ast \phi (b)$. Isomorphe Gruppen sind für die Gruppentheorie „dieselbe“ Gruppe.

• Die Reste ${\mathbb{Z}}_4$ mit $+$ und die Drehungen des Quadrats sind isomorph: Der Rest $k$ entspricht der Drehung um $k·90°$.
• Die reellen Zahlen mit $+$ sind isomorph zu den positiven reellen Zahlen mit $·$. Die Zuordnung ist $x\mapsto e^x$, denn $e^{x+y}=e^x·e^y$. Das ist der Grund, warum der Logarithmus Produkte in Summen verwandelt.
• $D_3$ und ${\mathbb{Z}}_6$ haben beide 6 Elemente, sind aber nicht isomorph: ${\mathbb{Z}}_6$ ist abelsch, $D_3$ nicht.

Bis auf Isomorphie gibt es genau zwei Gruppen mit 6 Elementen, nämlich ${\mathbb{Z}}_6$ und $D_3$.

Abelsch oder nicht: der Zauberwürfel

Eine Gruppe mit $a\circ b=b\circ a$ für alle Elemente heißt abelsch (nach Niels Henrik Abel). $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_n$ und alle zyklischen Gruppen sind abelsch. $D_3$ ist die kleinste nicht abelsche Gruppe.

Ein großes nicht abelsches Beispiel ist der Zauberwürfel, den Ernő Rubik 1974 erfand. Jede Drehung einer Seitenfläche ist ein Element. Die Verknüpfung ist das Hintereinanderausführen von Drehungen, und die Gruppe besteht aus allen Stellungen, die du vom gelösten Würfel aus erreichst. Dreh erst die vordere Seite und dann die rechte: Das Ergebnis unterscheidet sich von der umgekehrten Reihenfolge. Die Gruppe hat die Ordnung

Mit der Gruppentheorie lässt sich der Würfel systematisch lösen. 2010 zeigten Rechnungen am Computer, dass jede Stellung in höchstens 20 Zügen lösbar ist.

Anwendungen

• Kristalle und Muster: Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen immer wiederholt, hat eine Symmetriegruppe. Es gibt genau 17 verschiedene dieser Ornamentgruppen. Für Kristalle im Raum sind es 230 Raumgruppen. Die Symmetrie einer Schneeflocke mit 12 Bewegungen wird im Magazin besprochen (Schneeflocken).
• Physik: Symmetrien sind Gruppen, und aus Symmetrien folgen Erhaltungssätze, wie Emmy Noether 1918 zeigte: Aus der Verschiebung in der Zeit folgt die Energieerhaltung, aus Drehungen im Raum die Erhaltung des Drehimpulses. Auch die Teilchenphysik beruht auf Gruppen.
• Prüfziffern: ISBN- und IBAN-Nummern rechnen mit Resten (siehe Prüfziffern), also in ${\mathbb{Z}}_n$. Das Verfahren von Jacobus Verhoeff (1969) rechnet sogar in der Gruppe $D_5$ der Symmetrien des Fünfecks und erkennt damit jeden Einzelfehler und jede Vertauschung benachbarter Ziffern.
• Gleichungen: Galois ordnete jeder Gleichung eine Gruppe zu. Ob sich die Gleichung mit Wurzeln lösen lässt, hängt von der Struktur dieser Gruppe ab. Für Grad 5 und höher gibt es Gleichungen, deren Gruppe zu „unzerlegbar“ ist (Satz von Abel und Ruffini). Mehr steht bei Galois.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Lagrange bis zum Monster

Die Gruppentheorie entstand aus der Frage, ob sich jede Gleichung mit Wurzeln lösen lässt. Joseph-Louis Lagrange untersuchte 1770 und 1771, wie sich die Lösungen vertauschen lassen. Paolo Ruffini und Niels Henrik Abel zeigten, dass es für Grad 5 keine allgemeine Formel gibt. Évariste Galois erkannte 1830 bis 1832 den Zusammenhang mit Gruppen von Vertauschungen und prägte das Wort „Gruppe“.

Arthur Cayley gab 1854 die erste abstrakte Definition, die nicht mehr von Vertauschungen spricht. Felix Klein ordnete 1872 im Erlanger Programm die Geometrien nach ihren Symmetriegruppen. Sophus Lie untersuchte Gruppen, deren Elemente stufenlos veränderlich sind, wie die Drehungen eines Kreises. Und Emmy Noether verband 1918 Symmetrien mit Erhaltungssätzen.

Das große Projekt des 20. Jahrhunderts war die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Über hundert Mathematiker arbeiteten von den 1950er- bis in die 1980er-Jahre daran, eine letzte Lücke wurde 2004 geschlossen. Neben unendlichen Familien gibt es 26 sporadische Gruppen, darunter das Monster (Conway).

Häufige Fragen

Warum braucht man das Assoziativgesetz?

Es sagt, dass die Klammern keine Rolle spielen. Ohne es wäre ein Produkt aus drei oder mehr Elementen nicht eindeutig. Bei der Subtraktion sieht man den Unterschied: $(5-3)-1\ne 5-(3-1)$.

Muss es nur ein neutrales Element geben?

Ja. Wären $e$ und $e\prime$ beide neutral, wäre $e=e\circ e\prime =e\prime$. Auch das Inverse eines Elements ist eindeutig.

Was ist eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen?

Zum Beispiel die ganzen Zahlen mit $+$ oder die Drehungen eines Kreises. Man spricht von einer unendlichen Gruppe. Der Satz von Lagrange gilt dort nicht, er braucht endliche Gruppen.

Was ist der Unterschied zwischen Gruppe, Ring und Körper?

Eine Gruppe hat eine Verknüpfung. Ein Ring hat zwei (Addition und Multiplikation) und ein Körper noch dazu die Division. Die ganzen Zahlen sind ein Ring, die rationalen Zahlen ein Körper.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Gruppe (Mathematik)
• Wikipedia: Gruppentheorie
• Wikipedia: Diedergruppe
• Wikipedia: Symmetrische Gruppe
• Wikipedia: Satz von Cayley
• Wikipedia: Ebene kristallographische Gruppe
• Wikipedia: Zauberwürfel
• Wikipedia: Verhoeff algorithm (englisch)