Al-Chwarizmi

Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi (ca. 780–850) war ein persischer Mathematiker, Astronom und Geograph, der im 9. Jahrhundert in Bagdad arbeitete, der Hauptstadt der Abbasiden-Kalifen. Er schrieb ein Buch über das Lösen von Gleichungen, aus dessen Titel das Wort Algebra wurde, und ein Buch über das Rechnen mit den indischen Ziffern. Ins Lateinische übertragen, trug es seinen Namen in der Form „Algorizmi“ nach Europa. Daraus wurde der Algorithmus, das Wort für eine Rechenvorschrift, ohne die kein Computer funktioniert.

Über sein Leben ist wenig bekannt, doch seine Bücher haben Mathematik und Sprache bis heute geprägt. Sie machten Gleichungen zu einem eigenen Fach der islamischen Mathematik, verbreiteten das Stellenwertsystem aus der indischen Mathematik und wurden im 12. Jahrhundert in Spanien ins Lateinische übersetzt.

Leben: ein Gelehrter aus Chorasmien in Bagdad

Der Name verrät mehr als alle Urkunden. „Al-Chwarizmi“ bedeutet „der aus Chwarezm“. So hieß Chorasmien, eine Oasenlandschaft am Unterlauf des Amudarja südlich des Aralsees, heute zwischen Usbekistan und Turkmenistan gelegen. „Ibn Musa“ heißt „Sohn des Musa“. Wo genau er geboren wurde, ist unbekannt. Auch die Lebensdaten sind Näherungswerte: Geboren wurde er um 780, gestorben ist er wohl um 850. Er schrieb auf Arabisch, der Wissenschaftssprache seiner Zeit, stammte aber aus einer iranisch geprägten Region.

Sein Wirkungsort war Bagdad, 762 vom Kalifen al-Mansur gegründet und im 9. Jahrhundert eine der größten Städte der Welt. Hier regierte von 813 bis 833 Kalif al-Ma’mun, ein Förderer der Wissenschaften. Gelehrte aus vielen Ländern fanden am Hof Arbeit: Griechische, syrische und indische Schriften wurden ins Arabische übersetzt, und dank des neuen Materials Papier ließen sich Bücher viel billiger herstellen als auf Pergament. Al-Chwarizmi widmete dem Kalifen sein Algebra-Buch und seine astronomischen Tafeln. Zu seiner Zeit arbeiteten in Bagdad auch die drei Brüder Banu Musa, die Geometrie und Astronomie betrieben.

Das Haus der Weisheit: was man weiß und was nicht

Oft heißt es, al-Chwarizmi habe das berühmte „Haus der Weisheit“ (Bait al-Hikma) in Bagdad geleitet. Belegt ist weniger: Der Bücherkatalog al-Fihrist des Ibn an-Nadim (987) berichtet, dass er der „Schatzkammer der Weisheit“ des Kalifen angehörte. Mit diesem Begriff ist wohl die Hofbibliothek gemeint, in der Handschriften gesammelt, abgeschrieben und übersetzt wurden.

Das Algebra-Buch: Gleichungen lösen mit System

Um 825 schrieb al-Chwarizmi sein berühmtestes Werk, al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala, auf Deutsch etwa „Das kurz gefasste Buch über das Rechnen durch Ergänzen und Ausgleichen“. Es sollte ausdrücklich nützlich sein: für Erbteilungen, Handel, Landvermessung und Bauvorhaben. Es besteht aus drei Teilen. Der erste behandelt Gleichungen, der zweite die Messung von Flächen und Körpern (mit dem Satz des Pythagoras und drei Näherungen für π: 3 1/7, √10 und 62.832/20.000, ein Wert, den schon Aryabhata angegeben hatte). Der dritte und längste Teil enthält Rechenaufgaben zum islamischen Erbrecht.

Al-Chwarizmi schrieb alles in Worten, ohne Formeln und sogar ohne Ziffern; auch die Zahlen sind ausgeschrieben. Die Unbekannte nannte er „Wurzel“ (dschidr) oder „Ding“, ihr Quadrat „Vermögen“ (mal) und eine gewöhnliche Zahl „Dirham“. Negative Zahlen kannte er nicht, deshalb mussten alle Koeffizienten und Ergebnisse positiv sein. Das Problem lösten die sechs Normalformen:

Eine Gleichung wie x² − 10x + 21 = 0 hätte al-Chwarizmi so nicht aufgeschrieben, denn sie enthält ein Minus. Stattdessen sortierte er die Terme so, dass auf beiden Seiten nur positive Glieder standen. Dafür gab es zwei Umformungen, die dem Buch den Titel gaben.

Al-dschabr und al-muqabala an Beispielen

Al-dschabr bedeutet „Ergänzen“ oder „Wiederherstellen“: Ein abgezogener Term wird auf beiden Seiten addiert, sodass nur noch Pluszeichen bleiben. Al-muqabala heißt „Gegenüberstellen“ oder „Ausgleichen“: Gleichartige Terme auf beiden Seiten werden gegeneinander verrechnet.

Das berühmteste Beispiel: x² + 10x = 39

Al-Chwarizmi gab zu jedem Verfahren eine geometrische Begründung. Sie zeigt, warum die Rechnung stimmt, und ist heute als quadratische Ergänzung bekannt. Seine Standardaufgabe lautet: „Ein Quadrat und zehn seiner Wurzeln sind gleich 39“, also x² + 10x = 39. Sein Rezept in Worten: Halbiere die Zahl der Wurzeln, das ergibt 5. Multipliziere sie mit sich selbst: 25. Addiere das zu 39: 64. Die Wurzel daraus ist 8. Ziehe die Hälfte der Wurzeln, 5, ab: Es bleibt 3, und das ist die gesuchte Wurzel.

So liest man die Zeichnung: Die beiden blauen Rechtecke haben die Maße 5 mal x, zusammen also 10x. Mit dem Quadrat x² ergibt das den Flächeninhalt 39. Zu einem vollständigen Quadrat fehlt nur das Eckquadrat mit den Seiten 5 mal 5. Fügt man seine 25 Flächeneinheiten hinzu, entsteht ein Quadrat mit dem Inhalt 39 + 25 = 64 und der Seitenlänge 8. Diese Seite besteht aus x und 5, also gilt x + 5 = 8 und damit x = 3. Probe: 3² + 10 · 3 = 9 + 30 = 39. Die zweite, negative Lösung x = −13 kam für al-Chwarizmi nicht infrage, weil er nur positive Größen kannte. In heutiger Schreibweise lautet sein Rezept für x² + bx = c:

Mit b = 10 und c = 39 ergibt das √(25 + 39) − 5 = 8 − 5 = 3. Für alle sechs Typen gab al-Chwarizmi ein solches Verfahren an, jedes mit eigener Zeichnung. Ob er die Gleichungen systematisch aus Euklids Elementen ableitete, ist unter Fachleuten umstritten; die geometrische Argumentation erinnert jedoch an sie.

Das Rechenbuch und der Algorithmus

Etwa zur gleichen Zeit schrieb al-Chwarizmi ein zweites Buch, das noch folgenreicher wurde: ein Lehrbuch über das Rechnen mit den neun indischen Ziffern und dem Zeichen für die leere Stelle, der Null. Das arabische Original ist verloren. Erhalten ist eine lateinische Bearbeitung aus dem 12. Jahrhundert, die den Titel Algoritmi de numero Indorum („Algorizmi über die Zahl der Inder“) trägt und mit den Worten „Dixit Algorizmi“ („Algorizmi sprach“) beginnt. Sie weicht wohl deutlich vom Urtext ab, zeigt aber, wie das Buch aufgebaut war: Es erklärt die Ziffern und ihren Stellenwert, dann Addition, Subtraktion, Verdoppeln und Halbieren, Multiplikation, Division und Brüche. Man rechnete zunächst auf einem Staubbrett, auf dem Zwischenergebnisse weggewischt wurden.

Al-Chwarizmi erfand die Ziffern nicht, er erklärte sie. Die indische Mathematik hatte das Stellenwertsystem längst entwickelt, und über die indischen Sternentafeln war es schon in Bagdad bekannt. Sein Verdienst war ein klares, schrittweises Lehrbuch für Leute, die damit rechnen wollten. In Europa kannte man seinen Namen bald nur in dieser Form: Wer „nach Algorizmi“ rechnete, rechnete mit den indischen Ziffern, und diese Rechenkunst hieß Algorismus. Weil man das Wort mit dem griechischen arithmos („Zahl“) in Verbindung brachte, wurde im Deutschen später „Algorithmus“ daraus.

Oft liest man, al-Chwarizmi habe auch die Gitter-Multiplikation erfunden, bei der man die Zahlen in ein Raster schreibt. In seinen Texten ist sie nicht belegt. Sie taucht erst später in arabischen Rechenbüchern und 1202 bei Leonardo von Pisa auf.

Astronomie und Geographie

Al-Chwarizmi war ebenso Astronom. Um 820 stellte er astronomische Tafeln zusammen, den Zidsch as-Sindhind. Er beruht vor allem auf indischer Astronomie, die über das Sindhind genannte Lehrbuch nach Bagdad gekommen war. Enthalten sind Tafeln für die Bewegung von Sonne, Mond und Planeten, Sinuswerte für Berechnungen und Regeln für Finsternisse. Das arabische Original ist verloren. Erhalten ist eine Bearbeitung des spanischen Gelehrten Maslama al-Madschriti (um 1000), die der Engländer Adelard von Bath 1126 ins Lateinische übersetzte. Außerdem werden ihm Abhandlungen über Sonnenuhr und Astrolabium zugeschrieben.

Sein zweites astronomisch-geographisches Werk, das Kitab surat al-ard („Buch vom Bild der Erde“, um 830), überarbeitet die Geographie des Ptolemäus. Es listet 2.402 Orte mit Länge und Breite auf, geordnet nach Klimazonen, dazu Gebirge, Meere und Flüsse. Für die islamischen Länder und Afrika waren seine Angaben genauer als die des Ptolemäus, für Europa übernahm er dessen Werte. Aus einer Abschrift von 1037 stammt die älteste erhaltene Karte des Nils.

Der Weg nach Europa

Im 12. Jahrhundert begann in Spanien eine große Übersetzungswelle. In Toledo, das 1085 von Kastilien erobert worden war, übertrugen Gelehrte arabische Bücher ins Lateinische. Robert von Chester übersetzte al-Chwarizmis Algebra 1145 und Gerhard von Cremona später ebenfalls. Das Wort al-dschabr wurde zu „algebra“, und mit dem Rechenbuch lernte man in Europa das Rechnen mit Ziffern. Wie dieses Wissen weiterwanderte, beschreiben die Artikel zur mittelalterlichen europäischen Mathematik und zu Leonardo von Pisa, dessen Liber Abaci (1202) viele Aufgaben aus dem Umfeld al-Chwarizmis aufgreift. Die italienischen Algebraiker des 16. Jahrhunderts, Tartaglia, Cardano und Ferrari, gingen von denselben Gleichungstypen aus, als sie die kubische Gleichung lösten. Die erste englische Übersetzung der Algebra besorgte 1831 Frederic Rosen.

Zeitleiste

1. um 780 Geburt, die Familie stammt aus Chorasmien.
2. 813 Al-Ma’mun wird Kalif und regiert von Bagdad aus (bis 833).
3. um 820 Zidsch as-Sindhind, die astronomischen Tafeln nach indischem Vorbild.
4. um 825 Das Rechenbuch über die indischen Ziffern und das Algebra-Buch entstehen.
5. um 830 Kitab surat al-ard mit 2.402 Orten.
6. um 850 Tod, vermutlich in Bagdad.
7. 1126 Adelard von Bath übersetzt die astronomischen Tafeln ins Lateinische.
8. 1145 Robert von Chester übersetzt die Algebra ins Lateinische.
9. 1202 Leonardo von Pisa veröffentlicht das Liber Abaci.
10. 1831 Frederic Rosen veröffentlicht die erste englische Übersetzung der Algebra.

Bedeutung heute

Das Wort „Algorithmus“ ist heute allgegenwärtig. Navigationsgeräte berechnen mit Algorithmen den kürzesten Weg, Suchmaschinen ordnen mit ihnen Ergebnisse, und Verschlüsselung im Internet beruht auf Rechenverfahren mit großen Zahlen. Wer in der Schule Gleichungen löst, arbeitet in der Tradition seines Algebra-Buchs, und die quadratische Ergänzung, mit der man die Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleitet, ist im Kern seine geometrische Zeichnung. Mehr zu den Verfahren zeigt die Lernseite Gleichungen lösen. Ihm zu Ehren tragen ein Mondkrater und ein Asteroid seinen Namen, und im heutigen Usbekistan erinnern Denkmäler an ihn.

Häufige Fragen

Wann und wo lebte al-Chwarizmi?

Er wurde um 780 geboren, seine Familie stammte aus Chorasmien südlich des Aralsees. Er wirkte in Bagdad unter Kalif al-Ma’mun und starb um 850. Genaue Daten sind nicht überliefert.

Was bedeuten al-dschabr und al-muqabala?

Al-dschabr heißt „Ergänzen“: Ein abgezogener Term wird auf beiden Seiten einer Gleichung addiert. Al-muqabala heißt „Ausgleichen“: Gleichartige Terme auf beiden Seiten werden gegeneinander verrechnet. Aus al-dschabr wurde das Wort „Algebra“.

Woher kommt das Wort „Algorithmus“?

Es geht auf den latinisierten Namen „Algorizmi“ zurück. So wurde al-Chwarizmi in der lateinischen Fassung seines Rechenbuchs genannt. Zuerst bezeichnete „Algorismus“ das Rechnen mit indischen Ziffern, später jede eindeutige Rechenvorschrift.

Hat al-Chwarizmi die Null erfunden?

Nein. Die Null als Ziffer im Stellenwertsystem stammt aus Indien. Al-Chwarizmi erklärte sie in seinem Rechenbuch und half so, sie in der islamischen Welt und später in Europa bekannt zu machen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Roshdi Rashed: Al-Khwārizmī. The Beginnings of Algebra, Saqi Books, London 2009.
• Frederic Rosen (Hrsg. und Übers.): The Algebra of Mohammed ben Musa, Oriental Translation Fund, London 1831.
• Kurt Vogel: Mohammed ibn Musa Alchwarizmi’s Algorismus. Das früheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern, Zeller, Aalen 1963.
• Dimitri Gutas: Greek Thought, Arabic Culture. The Graeco-Arabic Translation Movement in Baghdad and Early ʿAbbāsid Society, Routledge, London 1998.
• MacTutor History of Mathematics: Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (englisch)
• Wikipedia: Al-Chwarizmi