Mathematik lernen · Klasse 1–8
Arithmetik
Rechnen ist das Fundament der Mathematik. Hier lernst du die vier Grundrechenarten und findest alle Lernseiten zu Zahlen, Brüchen, Dezimalzahlen, Potenzen und Prozenten.
Arithmetik ist das Rechnen mit Zahlen: Du addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst, vergleichst Größen und rechnest mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten. Das Wort kommt vom griechischen arithmós, also „Zahl“. Wer die Arithmetik sicher beherrscht, hat das Fundament für Algebra, Geometrie, Statistik und Analysis gelegt, denn alle diese Gebiete nutzen dieselben Rechenregeln.
Auf dieser Seite lernst du zuerst die vier Grundrechenarten kennen. Danach findest du eine Übersicht über alle Lernseiten der Arithmetik, geordnet nach Themen. Jede Seite behandelt ihr Thema ausführlich mit Beispielen und Übungen. Viele Themen bauen aufeinander auf, deshalb ist die Reihenfolge der Übersicht ein guter Leitfaden.
Die vier Grundrechenarten
Alle Rechnungen, vom Einkauf bis zur Raumfahrt, setzen sich aus vier Bausteinen zusammen. Je zwei davon gehören zusammen wie Hin- und Rückweg.
Addition: Zusammenzählen
Addieren heißt zusammenzählen. Hast du 27 Murmeln und bekommst 15 dazu, besitzt du 27 + 15 = 42 Murmeln. Die Zahlen, die du addierst, heißen Summanden, das Ergebnis heißt Summe. Beim schriftlichen Addieren schreibst du die Zahlen stellengerecht untereinander und rechnest von rechts nach links. Wird eine Spalte größer als 9, schreibst du nur die Einerstelle hin und merkst dir den Übertrag.
Subtraktion: Wegnehmen und Vergleichen
Subtrahieren heißt wegnehmen oder den Unterschied bestimmen. Von 42 Murmeln gibst du 15 ab, übrig bleiben 42 − 15 = 27. Man nennt 42 den Minuenden, 15 den Subtrahenden und 27 die Differenz. Die Subtraktion macht eine Addition rückgängig. Deshalb kannst du jede Rechnung mit der Probe kontrollieren: 27 + 15 = 42.
Multiplikation: Wiederholtes Addieren
Multiplizieren ist eine Kurzschreibweise für das mehrfache Addieren derselben Zahl: 4 · 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Die Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt. Du kannst dir 4 · 6 als Rechteck aus 4 Reihen mit je 6 Kacheln vorstellen. Voraussetzung für schnelles Rechnen ist das kleine Einmaleins, das du auf der Seite Multiplikationstafeln üben kannst. Größere Aufgaben zerlegst du in kleine Schritte.
Division: Gerecht verteilen
Dividieren heißt gerecht verteilen oder fragen, wie oft eine Zahl in eine andere passt. 24 Bonbons für 4 Kinder ergeben 24 : 4 = 6 Bonbons pro Kind. Die Zahl 24 heißt Dividend, 4 heißt Divisor, 6 ist der Quotient. Die Division kehrt die Multiplikation um: Weil 6 · 4 = 24 gilt, ist 24 : 4 = 6. Geht die Rechnung nicht auf, bleibt ein Rest: 25 : 4 = 6 Rest 1, denn 6 · 4 + 1 = 25.
| Rechenart | Zeichen | Beispiel | Bezeichnungen |
|---|---|---|---|
| Addition | + | 27 + 15 = 42 | Summand + Summand = Summe |
| Subtraktion | − | 42 − 15 = 27 | Minuend − Subtrahend = Differenz |
| Multiplikation | · oder × | 6 · 4 = 24 | Faktor · Faktor = Produkt |
| Division | : oder ÷ | 24 : 4 = 6 | Dividend : Divisor = Quotient |
Rechengesetze und die Reihenfolge der Rechenoperationen
Damit alle Menschen bei derselben Aufgabe dasselbe Ergebnis erhalten, gibt es feste Regeln. Beim Addieren und Multiplizieren darfst du die Zahlen vertauschen (Kommutativgesetz): 3 + 5 = 5 + 3 und 3 · 5 = 5 · 3. Bei Minus und Geteilt geht das nicht, denn 8 − 5 = 3, aber 5 − 8 = −3. Du darfst außerdem beliebig Klammern setzen, wenn nur addiert oder nur multipliziert wird (Assoziativgesetz): (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9.
Besonders nützlich ist das Distributivgesetz, das Verteilungsgesetz. Es verbindet Malnehmen und Addieren und macht schwere Kopfrechenaufgaben leicht:
Zum Beispiel ist 7 · 13 = 7 · 10 + 7 · 3 = 70 + 21 = 91. Kommen mehrere Rechenzeichen in einer Aufgabe vor, gilt die vereinbarte Reihenfolge der Rechenoperationen.
Alle Lernseiten der Arithmetik im Überblick
Die folgenden Abschnitte führen dich durch alle Unterseiten. Jeder Link springt direkt zu dem Abschnitt, der dein Thema erklärt. Wenn du neu einsteigst, beginnst du am besten ganz oben und arbeitest dich nach unten.
Einmaleins
Das kleine Einmaleins ist die Grundlage für schnelles Kopfrechnen. Die Seite Multiplikationstafeln (Einmaleins) enthält die vollständige Tabelle von 1 bis 10, Lerntricks und Übungen.
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen haben keine Nachkommastellen: 0, 1, 2, 3 und ihre negativen Gegenstücke −1, −2, −3. Die Seite Ganze Zahlen führt vom Stellenwertsystem über die vier Grundrechenarten bis zu den Teilbarkeitsregeln.
Stellenwert und Schreibweise
Vergleichen und Ordnen
Rechnen und Teilbarkeit
Positive und negative ganze Zahlen
Negative Zahlen erweitern das Rechnen in beide Richtungen auf dem Zahlenstrahl, etwa bei Temperaturen, Schulden oder Höhenangaben unter dem Meeresspiegel.
- Negative Zahlen & ganze Zahlen
- Definition: Ganze Zahlen
- Zahlenstrahl und Orientierung
- Addition & Subtraktion ganzer Zahlen
- Multiplikation & Division mit ganzen Zahlen
Zahlen und ihre Eigenschaften
Zahlen beschreiben Mengen, Größen und Positionen. Die Seite Zahlen und ihre Eigenschaften erklärt die Zahlenarten, Primzahlen, Teiler, die wichtigsten Rechengesetze sowie Quadrate und Wurzeln.
Zahlentypen, Primzahlen und Teiler
- Zahlentypen im Überblick
- Gerade und ungerade Zahlen
- Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
- Das Sieb des Eratosthenes
- Teiler und Vielfache
- Primfaktorzerlegung
- Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Rechengesetze und Reihenfolge
- Zahleneigenschaften
- Kommutativgesetz
- Assoziativgesetz
- Identitätsgesetz
- Distributivgesetz
- Reihenfolge der Rechenoperationen
Runden, Betrag und Zahlenfolgen
Quadrate, Wurzeln und Radikale
- Quadratzahlen & perfekte Quadrate
- Quadratwurzeln verstehen
- Zusammenhang zwischen Quadrat & Wurzel
- Wurzeln vereinfachen
- Radikale vereinfachen
- Radikale mit Brüchen
- Radikale multiplizieren
Brüche
Ein Bruch gibt an, wie viele Teile von einem Ganzen gemeint sind. Der Bruchstrich steht für eine Division, und der Nenner darf nie null sein. Die Seite Brüche erklärt alles vom Kürzen bis zu gemischten Zahlen.
Grundlagen
- Einführung in Brüche
- Brüche umwandeln
- Brüche vergleichen
- Brüche ordnen
- Gleichwertige (äquivalente) Brüche
- Brüche kürzen
Rechnen mit Brüchen
Gemischte Zahlen und besondere Brüche
- Gemischte Zahlen addieren
- Gemischte Zahlen subtrahieren
- Gemischte Zahlen multiplizieren
- Gemischte Zahlen dividieren
- Komplexe Brüche
- Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Dezimalzahlen
Dezimalzahlen stellen Teile eines Ganzen mit Zehnerpotenzen dar. Das Komma trennt die ganzen Zahlen von den Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln. Die Seite Dezimalzahlen zeigt, wie du sie liest, rundest und für alle Rechenarten nutzt.
- Stellenwert von Dezimalzahlen
- Dezimalzahlen runden
- Dezimalzahlen addieren und subtrahieren
- Dezimalzahlen multiplizieren
- Dezimalzahlen dividieren
- Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Potenzen
Wie die Multiplikation eine Kurzform für wiederholtes Addieren ist, ist eine Potenz die Kurzform für wiederholtes Multiplizieren: 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Die Zahl 3 heißt Basis, die kleine 4 Exponent. Die Seite Potenzen und Exponenten erklärt die Regeln dazu.
- Rechenregeln für Potenzen
- Null als Exponent
- Negative Exponenten
- Gebrochene (rationale) Exponenten
- Potenzen addieren
- Potenzen subtrahieren
- Potenzen multiplizieren
Prozentrechnung
„Prozent“ kommt vom lateinischen per centum, „von Hundert“. 25 % bedeuten 25/100, also ein Viertel. Die Seite Prozentrechnung zeigt dir, wie du Rabatte, Preiserhöhungen und Zinsen berechnest.
- Prozent in Dezimalzahlen umwandeln
- Bruch in Prozent umrechnen
- Prozent in Bruch umwandeln
- Prozentualen Anteil berechnen
- Prozentuale Veränderung
- Einfache Zinsformel (Zinsrechnung)
Wissenschaftliche Notation
Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man mit Zehnerpotenzen kompakt auf. Aus 5.200.000 wird 5,2 · 106, aus 0,00000032 wird 3,2 · 10−7. Die Seite Wissenschaftliche Notation erklärt, wie du so schreibst und rechnest.
- Zahlen in wissenschaftlicher Notation
- In wissenschaftliche Notation umwandeln
- Multiplikation in wissenschaftlicher Notation
- Division in wissenschaftlicher Notation
- Addition & Subtraktion in wissenschaftlicher Notation
Verhältnisse und Proportionalität
Verhältnisse vergleichen zwei Größen miteinander, etwa beim Mischen von Zutaten oder beim Umrechnen von Einheiten. Die Seite Verhältnisse und Proportionalität unterscheidet die direkte von der umgekehrten Proportionalität.
- Verhältnisse (Ratios) verstehen
- Proportionen und Variationen
- Direkte Proportionalität
- Umgekehrte (indirekte) Proportionalität
Eigenschaften der Gleichheit
Die Regeln der Gleichheit sind das Fundament für alle Umformungen. Sie erklären, warum du auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe tun darfst, und bilden die Brücke von der Arithmetik zur Algebra. Mehr dazu steht auf der Seite Eigenschaften der Gleichheit.
- Grundlegende Eigenschaften der Gleichheit
- Additionsgesetz der Gleichheit
- Subtraktionsgesetz der Gleichheit
- Multiplikationsgesetz der Gleichheit
- Divisionsgesetz der Gleichheit
- Transitive Eigenschaft
- Symmetrische Eigenschaft
- Reflexive Eigenschaft
- Substitutionsregel
- Distributivgesetz der Gleichheit
Kaufmännisches Rechnen
Wie rechnet man im Handel, bei Krediten und Messungen? Die Seite Kaufmännisches Rechnen wendet Prozente, Zinsen und Verhältnisse auf praktische Aufgaben an.
- Prozentfehler berechnen
- Zinseszinsformel (Compound Interest)
- Prozentuale Differenz zwischen Werten
- Proportionalitätskonstante (k)
- Goldener Schnitt (Golden Ratio)
Von der Kerbe zur Ziffer: eine kurze Geschichte des Rechnens
Die ältesten Rechenhilfen sind Kerben in Knochen. Der Ishango-Knochen aus Zentralafrika ist rund 20.000 Jahre alt und trägt gruppierte Einschnitte, die vermutlich zum Zählen dienten (Prähistorische Mathematik). Die Sumerer und Babylonier entwickelten später ein Zahlensystem mit Stellenwert auf der Basis 60. Es lebt in unseren 60 Minuten pro Stunde fort (Sumerische und babylonische Mathematik).
Die Römer rechneten mit Zahlzeichen wie MCMXLIV, die sich schlecht für schriftliches Rechnen eignen, und nutzten stattdessen das Rechenbrett (Römische Mathematik). Den entscheidenden Schritt machte die indische Mathematik: ein Stellenwertsystem mit zehn Ziffern und einem eigenen Zeichen für die Null. Brahmagupta formulierte im 7. Jahrhundert Regeln für das Rechnen mit Null und negativen Zahlen. Über al-Chwarizmi und das Liber abaci von Fibonacci (1202) gelangten diese Ziffern nach Europa und verdrängten dort nach und nach die römischen.
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ca. 1200 v. Chr.–1600 n. Chr.