Arithmetik
Lesen, Schreiben und Rechnen bilden seit jeher das Fundament unseres Bildungssystems. Besonders das Rechnen, also die Arithmetik, ist die Grundlage für nahezu alle anderen Bereiche der Mathematik: von Algebra über Geometrie bis hin zu Statistik und Analysis.
Die Arithmetik beschäftigt sich mit den grundlegenden Konzepten rund um Zahlen. Dazu gehören Stellenwertsysteme, Größenvergleiche, das Verständnis für die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie deren Eigenschaften. Auch der Umgang mit Brüchen, Dezimalzahlen und deren Beziehungen zählt dazu.
In diesem Abschnitt findest du eine systematische Einführung in arithmetische Themen – von den absoluten Grundlagen mit natürlichen Zahlen bis hin zu komplexeren Inhalten wie negativen Zahlen, Anteilen und Verhältnisrechnungen. Da viele Themen aufeinander aufbauen, empfiehlt es sich, der vorgeschlagenen Reihenfolge zu folgen – beginnend mit den ganzen Zahlen und endend bei praxisnahen Textaufgaben.
Jedes Thema wird zunächst kurz erklärt und anschließend mit weiterführenden Links zu den jeweiligen Unterthemen ergänzt. Auch diese Unterkapitel bauen logisch aufeinander auf und sind ideal zum strukturierten Lernen.
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen sind Zahlen ohne Nachkommastellen – also ohne Bruchanteile. Im Alltag kennen wir sie als sogenannte Zählzahlen: 1, 2, 3, 4 usw. Obwohl sie auf den ersten Blick simpel erscheinen, bilden sie die Grundlage für viele arithmetische und algebraische Konzepte.
Wer das Zahlensystem und die Eigenschaften ganzer Zahlen versteht, kann leichter mit größeren Zahlen, Rechenoperationen und Zahlbeziehungen umgehen. Besonders wichtig ist dabei das Verständnis für den Stellenwert, die Schreibweise und die Regeln für Grundrechenarten.
Die folgenden Unterthemen beginnen mit dem Stellenwertsystem und führen dich Schritt für Schritt durch die grundlegenden Rechenarten sowie deren Eigenschaften. Auch das Vergleichen und Ordnen von Zahlen sowie die Regeln der Teilbarkeit werden behandelt.
- Stellenwerttabelle verstehen
- Erweiterte (dezimale) Schreibweise
- Zahlen vergleichen & ordnen
- Größer-als-Beziehungen
- Kleiner-als-Beziehungen
- Addition mit ganzen Zahlen
- Subtraktion mit ganzen Zahlen
- Multiplikation
- Division
- Teilbarkeitsregeln
Zahlen
Zahlen sind zentrale Bausteine der Mathematik. Sie dienen zur Beschreibung von Mengen, Größen, Positionen und vielem mehr. Unter dem Begriff „Zahl“ fallen zahlreiche Arten: ganze Zahlen, rationale und irrationale Zahlen, reelle und komplexe Zahlen, sowie positive, negative</strong und die Null.
In diesem Abschnitt erfährst du, wie sich verschiedene Zahlentypen voneinander unterscheiden, welche besonderen Eigenschaften sie besitzen und wie man mit ihnen rechnet. Darauf aufbauend behandeln wir zentrale Themen wie Primzahlen, Vielfache, Teiler, die wichtigsten Rechengesetze, Wurzeln und die Vereinfachung von Radikalen.
- Zahlentypen im Überblick
- Gerade und ungerade Zahlen
- Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
- Das Sieb des Eratosthenes
- Zahleneigenschaften
- Kommutativgesetz
- Assoziativgesetz
- Identitätsgesetz
- Distributivgesetz
- Reihenfolge der Rechenoperationen
- Zahlen runden
- Betrag (Absolutwert)
- Zahlenfolgen
- Teiler und Vielfache
- Primfaktorzerlegung
- Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
- Quadratzahlen & perfekte Quadrate
- Quadratwurzeln verstehen
- Zusammenhang zwischen Quadrat & Wurzel
- Wurzeln vereinfachen
- Radikale vereinfachen
- Radikale mit Brüchen
- Radikale multiplizieren
Positive und negative ganze Zahlen
Ganze Zahlen umfassen alle positiven natürlichen Zahlen, ihre negativen Gegenstücke sowie die Null. Es handelt sich dabei um Zahlen ohne Bruchteile – also z. B. −3, 0, 4.
Der Umgang mit negativen Zahlen ist eine wichtige Erweiterung der Arithmetik, da er das Rechnen in beide Richtungen auf dem Zahlenstrahl ermöglicht. Ob es um Temperaturdifferenzen, Geldbeträge oder Höhenangaben geht – negative Zahlen spielen im Alltag eine große Rolle.
In diesem Abschnitt lernst du, was ganze Zahlen sind, wie sie auf dem Zahlenstrahl eingeordnet werden und wie man mit ihnen rechnet – durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
- Negative Zahlen & ganze Zahlen
- Definition: Ganze Zahlen
- Zahlenstrahl und Orientierung
- Addition & Subtraktion ganzer Zahlen
- Multiplikation & Division mit ganzen Zahlen
Brüche
Brüche stellen ein Verhältnis zwischen zwei Zahlen dar. Ein Bruch beschreibt, wie viele Teile (Zähler) von einem Ganzen (Nenner) gemeint sind. Er wird durch einen Bruchstrich getrennt, der mathematisch für eine Division steht. Zum Beispiel bedeutet 1⁄2 wörtlich „eins geteilt durch zwei“.
Die obere Zahl nennt man Zähler, die untere Nenner. Der Nenner darf niemals null sein, da durch null nicht dividiert werden kann. Jeder Bruch ist eine rationale Zahl – also eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.
In diesem Abschnitt lernst du, wie Brüche aufgebaut sind, wie man sie miteinander vergleicht und wie man sie in verschiedenen Formen schreiben kann. Anschließend zeigen wir dir, wie man mit Brüchen und gemischten Zahlen rechnet – also sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Zum Schluss führen wir dich in die Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen ein – ein Thema, das im Anschluss vertieft wird.
- Einführung in Brüche
- Brüche umwandeln
- Brüche vergleichen
- Brüche ordnen
- Gleichwertige (äquivalente) Brüche
- Brüche kürzen
- Brüche addieren
- Brüche subtrahieren
- Brüche multiplizieren
- Kehrwert von Brüchen
- Brüche dividieren
- Gemischte Zahlen addieren
- Gemischte Zahlen subtrahieren
- Gemischte Zahlen multiplizieren
- Gemischte Zahlen dividieren
- Komplexe Brüche
- Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Dezimalzahlen
Dezimalzahlen (oder Dezimalbrüche) stellen Teile einer ganzen Zahl dar, die mithilfe von Zehnerpotenzen ausgedrückt werden. Der Dezimalpunkt (Komma im Deutschen) trennt den ganzzahligen Teil vom Nachkommabereich. Alles rechts vom Komma gehört zum Dezimalteil der Zahl und wird nach Stellenwerten wie Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. geordnet.
In diesem Abschnitt lernst du zunächst den Aufbau und die Bedeutung der Dezimalstellen kennen. Anschließend zeigen wir dir, wie man mit Dezimalzahlen rechnet – also sie rundet, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Außerdem erfährst du, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt und umgekehrt.
- Stellenwert von Dezimalzahlen
- Dezimalzahlen runden
- Dezimalzahlen addieren und subtrahieren
- Dezimalzahlen multiplizieren
- Dezimalzahlen dividieren
- Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Potenzen
So wie die Multiplikation eine Kurzform für wiederholte Addition ist, dienen Potenzen als Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation.
Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten, der rechts oben steht. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Beispiel: 3⁴ (gesprochen: „3 hoch 4“) bedeutet 3 multipliziert mit 3, multipliziert mit 3, multipliziert mit 3.
In diesem Abschnitt erfährst du, wie Potenzen funktionieren, welche Regeln es für sie gibt und wie du auch mit negativen oder gebrochenen Exponenten umgehen kannst. Abschließend folgen wichtige Rechengesetze und Vereinfachungsstrategien für den Umgang mit Potenzausdrücken.
- Rechenregeln für Potenzen
- Null als Exponent
- Negative Exponenten
- Gebrochene (rationale) Exponenten
- Potenzen addieren
- Potenzen subtrahieren
- Potenzen multiplizieren
Prozentrechnung
Das Wort Prozent stammt vom lateinischen „per centum“ und bedeutet „von Hundert“. Ein Prozentwert ist also ein Bruchteil eines Ganzen, bezogen auf 100. Beispielsweise entspricht 25 % dem Bruch 25⁄100, also einem Viertel.
Da Prozente lediglich eine andere Schreibweise für Brüche oder Dezimalzahlen sind, beginnt dieser Abschnitt mit der Umrechnung zwischen den drei Darstellungsformen. Danach zeigen wir dir, wie Prozentwerte im Alltag verwendet werden – etwa bei Rabatten, Preiserhöhungen oder in der Zinsrechnung. Auch die Formel zur Berechnung von einfachem Zins wird vorgestellt.
- Prozent in Dezimalzahlen umwandeln
- Bruch in Prozent umrechnen
- Prozent in Bruch umwandeln
- Prozentualen Anteil berechnen
- Prozentuale Veränderung
- Einfache Zinsformel (Zinsrechnung)
Wissenschaftliche Notation
Die wissenschaftliche Notation ist eine Methode, um extrem große oder sehr kleine Zahlen kompakt darzustellen – mithilfe von Zehnerpotenzen. Besonders in den Naturwissenschaften ist sie weit verbreitet, weil sie präzise Angaben ermöglicht und Vergleiche zwischen Größenordnungen erleichtert.
Statt beispielsweise 0,00000032 zu schreiben, verwendet man die wissenschaftliche Schreibweise \( 3{,}2 \times 10^{-7} \). Auch große Zahlen wie 5.200.000 erscheinen so übersichtlich als \( 5{,}2 \times 10^6 \).
In diesem Abschnitt lernst du, wie man Zahlen in die wissenschaftliche Notation überführt und wieder in die Standardform zurückwandelt. Anschließend zeigen wir dir, wie man mit solchen Zahlen direkt rechnet – also multipliziert, dividiert, addiert und subtrahiert – ohne sie vorher umständlich umschreiben zu müssen.
- Zahlen in wissenschaftlicher Notation
- In wissenschaftliche Notation umwandeln
- Multiplikation in wissenschaftlicher Notation
- Division in wissenschaftlicher Notation
- Addition & Subtraktion in wissenschaftlicher Notation
Verhältnisse und Proportionalität
Verhältnisse und Proportionalität beschreiben mathematisch den Zusammenhang zwischen zwei Größen mithilfe von Quotienten, also Zahlenverhältnissen. Diese Beziehungen spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik, Physik, Wirtschaft und im Alltag – zum Beispiel beim Mischen von Zutaten oder bei der Umrechnung von Einheiten.
In diesem Abschnitt lernst du, wie man Verhältnisse (Ratios) angibt und interpretiert. Du erfährst, was eine Proportion ist – also eine Gleichung, in der zwei Verhältnisse gleichgesetzt werden – und wie man mit sogenannten Variationen arbeitet. Besonderes Augenmerk liegt auf dem Unterschied zwischen direkter und umgekehrter Proportionalität und deren Anwendung.
- Verhältnisse (Ratios) verstehen
- Proportionen und Variationen
- Direkte Proportionalität
- Umgekehrte (indirekte) Proportionalität
Eigenschaften der Gleichheit
Die Rechengesetze der Gleichheit bilden das Fundament aller mathematischen Umformungen. Ohne klar definierte Regeln dafür, wie zwei Ausdrücke gleich bleiben, wäre es unmöglich, Terme zu vergleichen, Gleichungen zu lösen oder systematisch mit Zahlen und Variablen zu arbeiten.
In diesem Abschnitt lernst du die grundlegenden Eigenschaften der Gleichheit kennen – dazu zählen die transitive, symmetrische und reflexive Eigenschaft. Ergänzt werden diese durch die sogenannten operativen Eigenschaften: also Regeln, die beschreiben, was passiert, wenn man zu beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.
Zum Schluss erfährst du, wie die Substitutionsregel und das Distributivgesetz helfen, den Übergang von der Arithmetik zur Algebra zu gestalten – insbesondere beim Umformen und Vereinfachen von Ausdrücken.
- Grundlegende Eigenschaften der Gleichheit
- Additionsgesetz der Gleichheit
- Transitive Eigenschaft
- Subtraktionsgesetz der Gleichheit
- Multiplikationsgesetz der Gleichheit
- Divisionsgesetz der Gleichheit
- Symmetrische Eigenschaft
- Reflexive Eigenschaft
- Substitutionsregel
- Distributivgesetz der Gleichheit
Kommerzielle Mathematik
Die kommerzielle Mathematik beschäftigt sich mit Anwendungen der Mathematik im Alltag, in Wirtschaft, Handel und Technik. Dabei stehen vor allem Prozentrechnungen, Zinsformeln, Verhältnisse und Fehlertoleranzen im Vordergrund – also Themen, die oft in praktischen Zusammenhängen auftreten.
In diesem Abschnitt erfährst du unter anderem, wie man den Prozentfehler berechnet, Zinseszins anwendet, Unterschiede prozentual vergleicht und wie sich bestimmte mathematische Konstanten – wie der goldene Schnitt – in Natur und Design wiederfinden.