Zinsrechnung

Wer sich Geld leiht, zahlt dafür einen Preis: die Zinsen. Wer Geld auf ein Konto legt, bekommt sie von der Bank. Die Rechnung ist Prozentrechnung mit einer zusätzlichen Größe, der Zeit. Hier lernst du sie vollständig: das Umstellen der Formel, die Berechnung für Monate und Tage, die Zählweisen der Banken und einen ersten Blick auf Kredite.

Der Zinseszins kommt hier nur kurz vor, er hat auf der Seite Kommerzielle Mathematik einen eigenen Abschnitt. Zum Nachrechnen gibt es den Zinsrechner, zum Üben das Arbeitsblatt Zinsrechnung.

Kapital, Zinssatz und Zinsen

Das Kapital K ist das angelegte oder geliehene Geld. Der Zinssatz p % gibt an, wie viel Prozent des Kapitals pro Jahr als Zinsen fließen. Dafür schreibt man „p % p. a.“, das ist lateinisch per annum und heißt „pro Jahr“. Die Zinsen Z sind das Ergebnis. Es ist Prozentrechnung: K ist der Grundwert, p % der Prozentsatz und Z der Prozentwert.

Die Formel umstellen: Z, K und p

Je nachdem, was gesucht ist, stellst du die Formel um. Das Formeldreieck hilft dir dabei.

• Zinsen gesucht: Z = K · p %. Beispiel: 2.500 € zu 3,2 % ergeben 80 €.
• Kapital gesucht: K = Z : p %. Beispiel: 45 € Zinsen bei 1,8 % kommen von 45 : 0,018 = 2.500 €.
• Zinssatz gesucht: p % = Z : K. Beispiel: 96 € Zinsen auf 4.800 € sind 96 : 4.800 = 0,02, also 2 %.

Monats- und Tageszinsen

Liegt das Geld nicht genau ein Jahr, brauchst du die Zeit t in Jahren. Die Formel wird zu:

Bei Monaten ist t = m : 12, bei Tagen t = d : 360. Die 360 kommt aus der in Deutschland üblichen Methode 30/360: Jeder Monat zählt 30 Tage, das Jahr hat also 12 · 30 = 360 Tage.

Auch die anderen Größen findest du, indem du die Formel umstellst und die Zeit mit einrechnest:

Wie zählt man die Zinstage?

Bei der deutschen Methode zählt jeder volle Monat 30 Tage, auch der Februar und die Monate mit 31 Tagen. Vom 15. März bis zum 15. August sind das 5 · 30 = 150 Tage, bis zum 20. August 155 Tage. Der Kalender hat in diesem Zeitraum 158 Tage.

Für Banken gibt es mehrere Methoden, und welche gilt, steht im Vertrag. Die Tabelle zeigt sie am Beispiel 4.800 € zu 3 % vom 15. März bis zum 20. August.

„Act“ steht für die tatsächlichen Kalendertage. Bei act/act gilt zusätzlich das echte Jahr mit 365 oder 366 Tagen, so rechnet man oft bei Anleihen. Die Unterschiede sind klein, bei großen Beträgen aber spürbar.

Zinszahlen und Zinsdivisor

Ändert sich der Kontostand mehrmals, kannst du jede Zeitspanne einzeln rechnen. Kaufleute sparen Arbeit mit einem Trick: Sie bilden für jeden Betrag die Zinszahl K · d : 100 (d = Zinstage), addieren alle Zinszahlen und teilen am Ende nur einmal durch den Zinsdivisor 360 : p.

Kredit und effektiver Jahreszins

Auch Schulden werden verzinst, und zwar nach denselben Formeln. Ein Überziehungskredit mit 12 % p. a. kostet für 1.000 € und 30 Tage 1.000 · 0,12 · 30/360 = 10 €. Bei Krediten kommen oft Gebühren dazu. Deshalb ist nicht der Zinssatz allein entscheidend, sondern der effektive Jahreszins. Er rechnet alle Kosten (Zinsen und Gebühren) auf ein Jahr und auf die tatsächlich ausgezahlte Summe um. In Deutschland müssen Kreditgeber ihn nennen.

Bei Ratenkrediten tilgst du zwischendurch, dann ist die Berechnung des effektiven Jahreszinses aufwendiger und folgt einer gesetzlichen Vorschrift. Vergleichbar sind Angebote nur bei gleicher Laufzeit.

Ausblick: Zinseszins

Bisher wurden die Zinsen am Ende ausgezahlt. Bleiben sie auf dem Konto, werden sie im nächsten Jahr mitverzinst. Dann wächst das Kapital nach der Formel K_n = K₀ · (1 + p %)ⁿ, ein exponentielles Wachstum. Die Herleitung und weitere Beispiele stehen im Abschnitt Zinseszinsformel.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Mesopotamien bis Bernoulli

Zinsen sind uralt. Schon die Sumerer hatten um 2400 v. Chr. wohl ein eigenes Wort für Zins. Der Codex Hammurapi (18. Jahrhundert v. Chr.) nennt Höchstsätze: für Gerste ein Drittel, für Silber ein Fünftel. Auf welchen Zeitraum sich diese Sätze beziehen, ist in den Quellen nicht eindeutig angegeben. Mehr zu dieser Welt steht bei der babylonischen Mathematik.

Im Mittelalter verbot die Kirche das Zinsnehmen. Karl der Große machte das Verbot 789 zum weltlichen Gesetz, das Vierte Laterankonzil erneuerte es 1215, und Thomas von Aquin hielt Zinseinnahmen um 1268 für ein Unrecht. Trotzdem brauchten Kaufleute Kredit. Fibonacci stellte schon 1202 in seinem Liber Abaci Aufgaben zu Zinsen, siehe Fibonacci und das Handelsbuch.

Um 1683 stieß Jakob Bernoulli bei der Frage nach immer häufigeren Zinszahlungen auf die Zahl e. Mehr dazu steht im Abschnitt Jakob Bernoulli und die Zahl e.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Zinsrechnung
• Wikipedia: Zins
• Wikipedia: Zinsberechnungsmethode
• Wikipedia: Effektiver Jahreszins