Archimedes von Syrakus

Archimedes von Syrakus (um 287–212 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur aus Sizilien und gilt als der bedeutendste Mathematiker der Antike. Er berechnete Flächen und Rauminhalte von Figuren mit gekrümmten Rändern, schloss die Kreiszahl π zwischen zwei Brüche ein und bewies, dass eine Kugel genau zwei Drittel des umschließenden Zylinders ausfüllt. Mit dem Hebelgesetz und dem nach ihm benannten Auftriebsprinzip legte er Grundlagen der mathematischen Physik.

Seine Methoden nahmen Ideen der Integralrechnung vorweg, die erst im 17. Jahrhundert ausgearbeitet wurden. Zugleich ist Archimedes eine Figur voller Anekdoten: der Ruf „Heureka!“ in der Badewanne, Brennspiegel gegen die römische Flotte, die letzten Worte „Störe meine Kreise nicht!“. Die meisten dieser Geschichten wurden erst Generationen nach seinem Tod aufgeschrieben. Seine eigenen Schriften dagegen sind zu einem großen Teil erhalten, eine davon erst seit 1906 durch einen spektakulären Handschriftenfund.

Leben in Syrakus

Herkunft und Ausbildung

Archimedes wurde um 287 v. Chr. in Syrakus geboren, der mächtigsten griechischen Stadt auf Sizilien. Das Geburtsjahr beruht auf einer Angabe des byzantinischen Gelehrten Johannes Tzetzes aus dem 12. Jahrhundert, Archimedes sei mit 75 Jahren gestorben. In seiner Schrift über die Sandzahl nennt Archimedes seinen Vater Pheidias, einen Astronomen. Plutarch zufolge war er mit König Hieron II. befreundet und vielleicht verwandt, der Syrakus von etwa 270 bis 215 v. Chr. regierte.

Vermutlich verbrachte Archimedes einige Zeit in Alexandria, dem Zentrum der Wissenschaft seiner Zeit. Dafür spricht, dass er mit dortigen Gelehrten im Austausch stand. Seine Werke schickte er als Briefe an den Astronomen Konon von Samos, nach dessen Tod an dessen Schüler Dositheos und an Eratosthenes von Kyrene, den Leiter der Bibliothek. Die Mathematik, auf der er aufbaute, kannte er aus den Elementen Euklids und aus den Arbeiten des Eudoxos. Den größten Teil seines Lebens verbrachte er jedoch in Syrakus.

Ingenieur im Dienst Hierons

Antike Autoren schildern Archimedes als Erfinder, der auf Wunsch des Königs Probleme der Praxis löste. Nach Athenaios überwachte er den Bau der Syrakosia, eines riesigen Prunk- und Frachtschiffs, und ließ es mit einer Hebevorrichtung zu Wasser bringen. Plutarch erzählt, Archimedes habe gegenüber Hieron behauptet, mit einer gegebenen Kraft lasse sich jede beliebige Last bewegen, und habe zum Beweis ein voll beladenes, an Land liegendes Schiff mit einem Flaschenzug ohne fremde Hilfe zu sich herangezogen. Der Geschichtsschreiber Diodor schreibt ihm die Archimedische Schraube zu, eine schräg liegende, drehbare Schnecke in einem Rohr, mit der man Wasser nach oben fördert. Ob er sie tatsächlich erfand oder nur bekannt machte, ist unsicher.

Plutarch betont zugleich, Archimedes selbst habe seine technischen Arbeiten gering geschätzt und keine Schrift darüber hinterlassen. Seine Leidenschaft habe der reinen Geometrie gegolten. Das Bild ist sicher stilisiert, passt aber zu dem, was erhalten ist: Seine Schriften behandeln Geometrie und theoretische Mechanik, keine Maschinen.

Die Belagerung von Syrakus und Archimedes’ Tod

Nach dem Tod Hierons II. 215 v. Chr. wechselte Syrakus im Zweiten Punischen Krieg auf die Seite Karthagos. Ab 214 v. Chr. belagerte ein römisches Heer unter Marcus Claudius Marcellus die Stadt. Der Historiker Polybios, der einige Jahrzehnte später schrieb, berichtet ausführlich, wie Archimedes die Verteidigung leitete: Wurfmaschinen für verschiedene Entfernungen und Kräne, die mit einer eisernen Klaue den Bug angreifender Schiffe packten, anhoben und zurückfallen ließen. Die Römer mussten den Sturm aufgeben und die Stadt aushungern.

Im Jahr 212 v. Chr. drangen die Römer während eines Festes in die Stadt ein, die bald darauf ganz in ihre Hand fiel. Bei der Plünderung wurde Archimedes von einem römischen Soldaten getötet, obwohl Marcellus angeordnet haben soll, ihn zu schonen. Über die Umstände gibt es mehrere Versionen. Livius berichtet, Archimedes sei so in seine in den Sand gezeichneten Figuren vertieft gewesen, dass er den Lärm nicht bemerkte, und ein Soldat habe ihn getötet, ohne zu wissen, wer er war. Plutarch kennt drei Fassungen, in einer davon hielten Soldaten seine Instrumente für Gold. Der berühmte Ausruf „Störe meine Kreise nicht!“ (lateinisch Noli turbare circulos meos) ist in dieser Form erst später geprägt worden.

Das Grab: Kugel und Zylinder

Plutarch überliefert, dass Archimedes sich als Grabmal eine Kugel in einem Zylinder gewünscht habe, zusammen mit der Angabe ihres Verhältnisses. Dieser Bericht wird durch einen Augenzeugen gestützt: Der römische Politiker Cicero suchte als Quästor auf Sizilien im Jahr 75 v. Chr. nach dem vergessenen Grab und fand es überwuchert vor einem Stadttor von Syrakus, erkennbar an Kugel und Zylinder. Heute ist das Grab verschollen.

Die Schriften des Archimedes

Ein großer Teil der Schriften des Archimedes ist erhalten, meist in Form von Briefen an Fachkollegen. Die wichtigsten sind:

• Über Kugel und Zylinder (zwei Bücher): Oberfläche und Volumen der Kugel
• Kreismessung: Fläche des Kreises und Näherung für π
• Über Spiralen: Eigenschaften der Archimedischen Spirale
• Über Konoide und Sphäroide: Volumina von Abschnitten der Rotationskörper aus Kegelschnitten
• Quadratur der Parabel: Fläche eines Parabelsegments
• Über das Gleichgewicht ebener Flächen (zwei Bücher): Hebelgesetz und Schwerpunkte
• Über schwimmende Körper (zwei Bücher): Auftrieb und Stabilität schwimmender Körper
• Die Sandrechnung: Darstellung sehr großer Zahlen
• Die Methode: Brief an Eratosthenes über sein Suchverfahren, nur im Palimpsest erhalten
• Stomachion: Fragment über ein Legespiel aus 14 Teilen

Hinzu kommen das Rinderproblem, ein Rätsel in Versform, dessen Echtheit umstritten ist, sowie Schriften, die nur in arabischer Übersetzung oder aus Berichten späterer Autoren bekannt sind. Pappos etwa beschreibt eine verlorene Arbeit über 13 halbregelmäßige Körper, die heute Archimedische Körper heißen.

Die Kreismessung und die Zahl π

In der Kreismessung beweist Archimedes zunächst, dass ein Kreis denselben Flächeninhalt hat wie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Kathete der Radius und dessen andere der Umfang des Kreises ist. In heutiger Schreibweise ist das A = ½ · r · U = π r². Damit hängen Fläche und Umfang des Kreises über dieselbe Konstante zusammen.

Um diese Konstante zu bestimmen, schrieb Archimedes dem Kreis regelmäßige Vielecke ein und um. Er begann mit dem Sechseck, dessen Umfang sich leicht berechnen lässt, und verdoppelte die Eckenzahl viermal: 12, 24, 48, 96. Der Umfang des einbeschriebenen Vielecks ist kleiner, der des umbeschriebenen größer als der Kreisumfang. Beim 96-Eck erhielt er die Schranken

also 3,1408 < π < 3,1429. Der wahre Wert 3,14159… liegt dazwischen, und der Mittelwert der beiden Schranken stimmt auf drei Nachkommastellen. Unterwegs brauchte Archimedes Wurzeln, die er mit erstaunlicher Genauigkeit einschachtelte, etwa 265/153 < √3 < 1351/780. Wie er auf diese Brüche kam, verrät er nicht.

Kugel und Zylinder: Archimedes’ Lieblingsergebnis

In Über Kugel und Zylinder beweist Archimedes zwei Ergebnisse, die bis heute in jeder Formelsammlung stehen. Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Fläche ihres Großkreises, und das Volumen einer Kugel ist viermal so groß wie das eines Kegels, der den Großkreis als Grundfläche und den Radius als Höhe hat. In moderner Schreibweise:

Archimedes formulierte das Ergebnis anschaulicher: Stellt man eine Kugel in einen Zylinder, der sie genau umschließt, also mit Radius r und Höhe 2r, dann beträgt sowohl das Volumen der Kugel als auch ihre Oberfläche genau zwei Drittel des Zylinders, wenn man bei diesem Grund- und Deckfläche mitzählt.

Dieses Resultat schätzte Archimedes so sehr, dass er es auf seinem Grab darstellen ließ. Wie man solche Formeln heute im Unterricht verwendet, zeigt der Lernbereich Geometrie.

Die Quadratur der Parabel und die Exhaustionsmethode

Ein Parabelsegment ist die Fläche zwischen einer Parabel und einer Sehne. Archimedes zeigte, dass es genau vier Drittel des Dreiecks misst, das dieselbe Grundseite hat und dessen Spitze auf der Parabel dort liegt, wo die Tangente parallel zur Sehne verläuft. Dazu füllte er das Segment schrittweise mit Dreiecken aus. Jeder Schritt fügt Dreiecke hinzu, deren Gesamtfläche ein Viertel der im vorigen Schritt hinzugefügten beträgt. Mit T als Fläche des ersten Dreiecks ergibt sich

Archimedes verwendete dabei keinen Grenzwert im modernen Sinn. Er arbeitete mit der Exhaustionsmethode („Ausschöpfung“), die auf Eudoxos zurückgeht: Er zeigte, dass die Fläche weder größer noch kleiner als 4/3 T sein kann, weil jede der beiden Annahmen nach endlich vielen Schritten auf einen Widerspruch führt. Diese doppelte indirekte Beweisführung ist streng, setzt aber voraus, dass man das Ergebnis schon kennt. Ein zentrales Hilfsmittel ist eine Annahme, die heute Archimedisches Axiom heißt: Von zwei ungleichen Größen übertrifft ein genügend großes Vielfaches der kleineren stets die größere.

Ähnlich ging Archimedes bei Rotationskörpern vor. In Über Konoide und Sphäroide schloss er Körper zwischen Stapel aus dünnen Zylinderscheiben ein, die von innen und außen immer genauer an den Körper heranreichen. Dieses Vorgehen ähnelt den Ober- und Untersummen der heutigen Analysis.

Spirale, Sandrechnung und Rinderproblem

Die Archimedische Spirale

Ein Punkt, der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf einem Strahl nach außen bewegt, während sich der Strahl gleichmäßig dreht, beschreibt eine Archimedische Spirale. In Polarkoordinaten lautet ihre Gleichung r = a · φ, ihre Windungen haben also überall denselben Abstand. Archimedes bestimmte unter anderem die Fläche der ersten Windung: Sie beträgt ein Drittel des Kreises, dessen Radius der Abstand am Ende der ersten Umdrehung ist. Die Spirale erlaubt außerdem, einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen, allerdings nicht mit Zirkel und Lineal allein.

Die Sandrechnung

In der Sandrechnung, gerichtet an Gelon, den Sohn Hierons, widerlegt Archimedes die Vorstellung, die Zahl der Sandkörner sei unendlich oder zumindest nicht benennbar. Das griechische Zahlwort reichte nur bis zur Myriade (10.000) und zur Myriade von Myriaden (10⁸). Archimedes baute darauf ein System von Ordnungen und Perioden auf, mit dem sich Zahlen bis zu einer Größe von 10 hoch 8 · 10¹⁶ ausdrücken lassen. Dann schätzte er großzügig ab, wie viele Sandkörner in eine Kugel von der Größe des Fixsternhimmels passen. Er legte dabei das Weltmodell des Aristarchos von Samos zugrunde, nach dem die Erde um die Sonne kreist; die Sandrechnung ist eine der wichtigsten Quellen für dieses frühe heliozentrische Modell. Das Ergebnis: weniger als 10⁶³ Sandkörner, also eine sehr große, aber endliche Zahl.

Das Rinderproblem

Das Rinderproblem ist ein Gedicht, das Gotthold Ephraim Lessing 1773 als Bibliothekar in Wolfenbüttel in einer Handschrift entdeckte und veröffentlichte. Es fordert dazu auf, die Zahl der Rinder in der Herde des Sonnengottes zu bestimmen, die bestimmten Bedingungen genügen. Ob Archimedes das Gedicht selbst verfasst hat, ist umstritten. Mathematisch führt die vollständige Aufgabe auf eine sogenannte Pellsche Gleichung. Die kleinste Lösung ist eine Zahl mit 206.545 Stellen, wie A. Amthor 1880 zeigte; vollständig ausgerechnet wurde sie erst 1965 mit einem Computer.

Mechanik: Hebelgesetz und Schwerpunkt

In Über das Gleichgewicht ebener Flächen baut Archimedes die Statik wie Euklid die Geometrie auf: aus wenigen einleuchtenden Annahmen, etwa dass gleiche Gewichte in gleichen Abständen im Gleichgewicht sind. Daraus beweist er das Hebelgesetz: Zwei Gewichte sind im Gleichgewicht, wenn sich ihre Abstände vom Drehpunkt umgekehrt verhalten wie die Gewichte.

Ein Gewicht von 10 kg in 1 m Abstand hält also einem Gewicht von 50 kg in 20 cm Abstand die Waage. Archimedes bestimmte auch die Schwerpunkte von Dreieck, Parallelogramm, Trapez und Parabelsegment; der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Der stolze Satz „Gebt mir einen Punkt, wo ich stehen kann, und ich bewege die Erde“ wird ihm erst von späteren Autoren wie Pappos in den Mund gelegt. Er gibt aber den Kern des Hebelgesetzes richtig wieder: Mit einem genügend langen Hebel lässt sich jede Last bewegen, nur der Weg der Kraft wird entsprechend länger.

Hydrostatik: Das Archimedische Prinzip

In Über schwimmende Körper begründete Archimedes die Hydrostatik. Ihr wichtigster Satz ist das Archimedische Prinzip: Ein Körper, der in eine Flüssigkeit eintaucht, erfährt einen Auftrieb, der so groß ist wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Ein schwimmender Körper verdrängt also genau so viel Flüssigkeit, wie er selbst wiegt. In heutiger Schreibweise ist die Auftriebskraft

mit der Dichte ρ der Flüssigkeit, dem eingetauchten Volumen V und der Fallbeschleunigung g. Im zweiten Buch untersuchte Archimedes, unter welchen Bedingungen ein schwimmender Körper in Form eines Paraboloidabschnitts stabil aufrecht schwimmt oder kippt, eine Frage, die für den Schiffbau grundlegend ist.

Die Geschichte von der goldenen Krone

Die bekannteste Anekdote über Archimedes erzählt der römische Architekt Vitruv rund 200 Jahre nach dessen Tod. König Hieron hatte einem Goldschmied Gold für einen Weihkranz, eine Krone, gegeben und vermutete, dass ein Teil davon durch Silber ersetzt worden war. Archimedes sollte das prüfen, ohne die Krone zu beschädigen. Als er in ein volles Bad stieg und das Wasser überlief, kam ihm die Idee. Er sei nackt nach Hause gelaufen und habe dabei „Heureka!“ gerufen („Ich hab’s gefunden!“). Dann tauchte er die Krone sowie gleich schwere Klumpen aus reinem Gold und reinem Silber nacheinander in ein randvolles Gefäß und verglich, wie viel Wasser jeweils überlief. Die Krone verdrängte mehr Wasser als das Gold, enthielt also Silber.

Genau diese Rechnung machte Galileo Galilei stutzig. In seiner Schrift La bilancetta (1586) hielt er Vitruvs Verfahren für zu ungenau und schlug vor, Archimedes habe wohl mit einer Waage unter Wasser gearbeitet, also das Auftriebsprinzip aus seiner eigenen Schrift genutzt. Ob die Episode überhaupt stattfand, ist unbekannt. In den erhaltenen Werken des Archimedes kommt sie nicht vor.

Die Methode und das Archimedes-Palimpsest

Lange war unklar, wie Archimedes seine Ergebnisse überhaupt gefunden hatte, denn die Exhaustionsbeweise setzen das Resultat voraus. Die Antwort liefert ein Brief an Eratosthenes, bekannt als Die Methode. Darin erklärt Archimedes, er zerlege Flächen und Körper gedanklich in unendlich viele dünne Streifen oder Scheiben und „wiege“ sie an einem Hebel gegen Streifen einer bekannten Figur. So fand er etwa die Fläche des Parabelsegments und das Volumen der Kugel. Er betont ausdrücklich, dass dieses Verfahren keinen Beweis ersetzt, sondern nur zeigt, was man anschließend streng beweisen muss. Im selben Brief würdigt er, dass schon Demokrit die Volumina von Kegel und Pyramide angegeben hatte, auch wenn erst Eudoxos sie bewies.

Die Methode war verschollen, bis der dänische Philologe Johan Ludvig Heiberg 1906 in Konstantinopel ein Gebetbuch untersuchte. Unter dem Text des 13. Jahrhunderts erkannte er die abgeschabte Schrift einer Archimedes-Handschrift aus dem 10. Jahrhundert. Das Pergament war 1229 abgewaschen, zerschnitten und neu beschrieben worden, ein sogenanntes Palimpsest. Es enthält sieben Werke des Archimedes, darunter als einzige Überlieferung die Methode, das Stomachion und den griechischen Text von Über schwimmende Körper.

Nach Heibergs Fotografien verschwand die Handschrift für Jahrzehnte und wurde stark beschädigt. 1998 wurde sie in New York für rund zwei Millionen US-Dollar an einen privaten Käufer versteigert, der sie dem Walters Art Museum in Baltimore zur Untersuchung überließ. Mit Multispektralaufnahmen und Röntgenfluoreszenz machten Forschende ab 1999 große Teile des verborgenen Textes wieder lesbar. Der Mathematikhistoriker Reviel Netz deutete einzelne Stellen der Methode so, dass Archimedes unendlich viele Schnitte als gleich zahlreich verglichen und damit mit dem aktual Unendlichen gearbeitet habe. Diese Deutung ist in der Forschung umstritten. Auch das Stomachion erschien in neuem Licht: Es geht möglicherweise um die Frage, auf wie viele Arten sich 14 Teile zu einem Quadrat legen lassen, eine frühe Aufgabe der Kombinatorik.

Zeitleiste: Archimedes und sein Werk

1. um 287 v. Chr. Geburt in Syrakus als Sohn des Astronomen Pheidias.
2. um 270 v. Chr. Hieron II. übernimmt die Herrschaft in Syrakus.
3. 3. Jh. v. Chr. Wahrscheinlich Aufenthalt in Alexandria; danach Briefwechsel mit Konon, Dositheos und Eratosthenes.
4. 215 v. Chr. Tod Hierons II.; Syrakus wechselt im Zweiten Punischen Krieg auf die Seite Karthagos.
5. 214–212 v. Chr. Belagerung durch die Römer unter Marcellus; Archimedes leitet die Verteidigung.
6. 212 v. Chr. Eroberung von Syrakus; Archimedes wird von einem römischen Soldaten getötet.
7. 75 v. Chr. Cicero findet das überwucherte Grab mit Kugel und Zylinder.
8. 10. Jh. Abschrift seiner Werke in Konstantinopel, die 1229 zum Palimpsest überschrieben wird.
9. 1544 Erste gedruckte Gesamtausgabe in Basel.
10. 1906 Johan Ludvig Heiberg identifiziert das Palimpsest und entdeckt die Methode.

Bedeutung heute: Wo uns Archimedes begegnet

Viele Ergebnisse des Archimedes sind Alltagswissen der Schulmathematik: Kreisfläche, Kugelvolumen und Kugeloberfläche, das Hebelgesetz und der Auftrieb. Schiffe, Ballone und U-Boote funktionieren nach dem Archimedischen Prinzip, Dichtemessgeräte (Aräometer) ebenso. Archimedische Schrauben fördern bis heute Wasser in Pumpwerken und Kläranlagen, in umgekehrter Richtung treiben sie kleine Wasserkraftwerke an.

Für die Geschichte der Mathematik war Archimedes vor allem als Wegbereiter der Infinitesimalrechnung wichtig. Seine Schriften wurden im 16. Jahrhundert gedruckt und von Mathematikern wie Johannes Kepler und Bonaventura Cavalieri intensiv studiert, die seine Zerlegungsideen weiterentwickelten. Auf diesen Vorarbeiten bauten Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz die Differential- und Integralrechnung auf. Die Methode kannten sie allerdings noch nicht, sie wurde erst 1906 wiederentdeckt.

Wie hoch Archimedes in der Mathematik geschätzt wird, zeigt die Fields-Medaille, die bedeutendste Auszeichnung des Faches: Auf ihrer Vorderseite ist sein Kopf abgebildet. Einen Überblick über seine Zeit und seine Zeitgenossen bietet der Artikel hellenistische Mathematik.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Archimedes: Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1963.
• Eduard Jan Dijksterhuis: Archimedes, Princeton University Press, Princeton 1987.
• Reviel Netz, William Noel: Der Kodex des Archimedes. Das berühmteste Palimpsest der Welt wird entschlüsselt, C. H. Beck, München 2007.
• Ivo Schneider: Archimedes. Ingenieur, Naturwissenschaftler und Mathematiker, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1979.
• MacTutor History of Mathematics: Archimedes of Syracuse (englisch)