Extremwertaufgaben

Eine Extremwertaufgabe sucht den größten oder kleinsten Wert einer Größe, wenn eine Bedingung eingehalten werden muss. Du hast zum Beispiel 40 m Zaun und willst damit ein möglichst großes Gehege an einer Mauer abgrenzen. Oder du willst aus einem Stück Karton eine Schachtel mit möglichst großem Volumen falten. Solche Aufgaben heißen auch Optimierungsaufgaben. Mit der Ableitung findest du die beste Lösung.

Hier lernst du die Begriffe, einen Lösungsplan und vier ausführliche Beispiele, dazu typische Fehler, Übungen und die Geschichte. Wie man Extremstellen einer Funktion bestimmt, steht im Abschnitt Extremstellen finden, das Ableiten im Abschnitt Ableitung. Beides setze ich hier voraus. Neu ist die Kunst, aus einem Text eine Funktion zu bauen.

Die Begriffe: Haupt- und Nebenbedingung, Zielfunktion

Am Gehege an der Mauer siehst du alle Begriffe. Die gesuchte Größe ist der Flächeninhalt A, der Zaun hat 40 m Länge.

Der Definitionsbereich ergibt sich aus der Sache: Eine Seitenlänge kann nicht negativ sein. Aus $x\ge 0$ und $y=40-2x\ge 0$ folgt $0\le x\le 20$.

Der Lösungsplan in sieben Schritten

1. Skizze und Variablen: Zeichne die Situation und benenne die gesuchten Größen mit Buchstaben.
2. Hauptbedingung: Schreibe die Formel für die Größe auf, die extremal werden soll.
3. Nebenbedingung: Finde die Gleichung, die die Variablen verbindet, und löse sie nach einer Variablen auf.
4. Zielfunktion: Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. Bestimme den Definitionsbereich $D$.
5. Extremstellen: Löse $f\prime (x)=0$ und prüfe mit $f\prime \prime (x)$ oder dem Vorzeichen von $f\prime$, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt (Extremstellen finden).
6. Randwerte: Berechne den Funktionswert an den Rändern von $D$ und vergleiche ihn mit dem Wert am Extrempunkt.
7. Antwortsatz: Beantworte die Frage im Sachzusammenhang, mit allen gesuchten Größen und Einheiten.

Warum Schritt 6? Die Ableitung findet nur lokale Extrema im Inneren. Das größte oder kleinste Element von $D$ kann auch am Rand liegen.

Beispiel 1: Gehege an einer Mauer

Aufgabe: Ein rechteckiges Gehege soll an einer langen Mauer mit 40 m Zaun auf den drei freien Seiten umzäunt werden. Welche Maße ergeben die größte Fläche?

Die Zielfunktion ist hier eine nach unten geöffnete Parabel. Du kannst das Maximum deshalb auch über den Scheitelpunkt finden (Fläche maximieren). Eine schöne Beobachtung: Spiegelst du das Gehege an der Mauer, entsteht ein Rechteck mit 80 m Umfang, und das größte davon ist ein Quadrat mit 20 m Seitenlänge. Das Gehege ist seine Hälfte. Den verwandten Fall mit festem Umfang rechnet der Abschnitt Anwendungen der Analysis vor.

Beispiel 2: Schachtel aus Karton

Aufgabe: Aus einem quadratischen Karton mit 24 cm Seitenlänge wird in jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge x ausgeschnitten. Die überstehenden Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Für welches x ist das Volumen am größten?

Der Graph zeigt, was die Rechnung sagt: Bei $x=0$ und $x=12$ ist das Volumen null, dazwischen gibt es genau einen Hochpunkt. Weil die Zielfunktion ein Polynom dritten Grades ist, kennst du ihr Verhalten gut (Extrem- und Wendepunkte).

Beispiel 3: Dose mit kleinster Oberfläche

Aufgabe: Eine zylindrische Dose soll 1 Liter fassen. Welche Maße brauchen am wenigsten Blech?

Auffällig: Es ist $h\approx 2r$. Die sparsamste Dose ist so hoch wie breit. Das gilt für jedes Volumen.

Beispiel 4: Rechteck unter einer Parabel

Aufgabe: Unter der Parabel $y=9-x^2$ liegt ein Rechteck symmetrisch zur y-Achse. Die unteren Ecken liegen auf der x-Achse, die oberen auf der Parabel. Wie groß kann der Flächeninhalt höchstens werden?

Beispiel 5: Kleinster Umfang bei festem Flächeninhalt

Auch umgekehrt geht es: Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 100 m² haben, und der Zaun drumherum soll möglichst kurz sein. Mit den Seiten $x$ und $y=100:x$ ist $U(x)=2x+\frac{200}{x}$ für $x>0$. Aus $U\prime (x)=2-\frac{200}{x^2}=0$ folgt $x=10$, also ist $y=10$. Wegen $U\prime \prime (x)=\frac{400}{x^3}>0$ ist das ein Tiefpunkt. Das Rechteck mit dem kürzesten Zaun ist ein Quadrat mit $U=40$ m.

Typische Fehler

Übungen

Die Ergebnisse prüfst du mit dem Ableitungsrechner und dem Kurvendiskussion-Rechner. Mehr Aufgaben findest du im Arbeitsblatt Extrempunkte berechnen und im Blatt Extremwertaufgaben mit Lösungen.

Geschichte: vom kürzesten Weg zur Ableitung

Extremalaufgaben sind älter als die Differentialrechnung. Heron von Alexandria (ca. 10–70 n. Chr.) soll gezeigt haben, dass ein Lichtstrahl, der an einem Spiegel zurückgeworfen wird, den kürzesten Weg nimmt, und dass dafür Einfallswinkel und Ausfallwinkel gleich sind.

Der Mathematiker Pierre de Fermat entwickelte schon in seiner Zeit in Bordeaux (um 1630) ein Verfahren, um größte und kleinste Werte zu bestimmen. Es entspricht der Regel, die Ableitung gleich null zu setzen. 1662 leitete er das Brechungsgesetz aus der Annahme ab, dass Licht den Weg mit der kürzesten Zeit wählt. Die allgemeine Ableitung schufen später Newton und Leibniz.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Isoperimetrisches Problem
• Wikipedia: Fermatsches Prinzip
• Vergil: Aeneis, Buch 1, Verse 365 bis 368 (Gründung Karthagos).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.