Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, in der die Variable x höchstens im Quadrat vorkommt, zum Beispiel f(x) = x² oder f(x) = 2x² − 12x + 7. Ihr Graph ist eine Parabel: eine glatte, symmetrische Kurve in Form einer Schale oder eines Bogens. Du kennst sie vom Strahl eines Springbrunnens oder von der Flugbahn eines geworfenen Balls.

Die Parabel hat einen höchsten oder tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt. Wer ihn kennt, versteht die ganze Kurve. Auf dieser Seite gehst du Schritt für Schritt vor: erst die einfachste Parabel y = x², dann Strecken, Spiegeln und Verschieben, dann die beiden Schreibweisen und der Wechsel zwischen ihnen. Am Ende stehen Anwendungen, Übungen mit Lösungen und ein Blick in die Geschichte.

Was ist eine quadratische Funktion?

Bei der linearen Funktion wächst der Funktionswert gleichmäßig: Pro Schritt nach rechts kommt immer dasselbe dazu, und der Graph ist eine Gerade. Bei der quadratischen Funktion wird x mit sich selbst multipliziert. Dann wächst der Funktionswert erst langsam und dann immer schneller. Aus dem Graphen wird eine Kurve.

Die Normalparabel y = x²

Die einfachste quadratische Funktion ist f(x) = x². Ihr Graph heißt Normalparabel. Du zeichnest sie mit einer Wertetabelle: Du setzt einige x-Werte ein, rechnest x² aus und trägst die Punkte ein.

An der Tabelle und am Bild erkennst du drei Eigenschaften:

• Symmetrie: Gegenzahlen haben dasselbe Quadrat, denn (−2)² = 2² = 4. Die y-Achse ist die Symmetrieachse: Klappst du das Bild an ihr zusammen, liegen beide Hälften genau übereinander.
• Tiefster Punkt: Ein Quadrat ist nie negativ. Der kleinste Funktionswert ist 0 bei x = 0. Dieser Punkt (0 | 0) ist der Scheitelpunkt.
• Immer steiler: Von 0 nach 1 steigt die Kurve um 1, von 1 nach 2 um 3, von 2 nach 3 um 5. Die Zuwächse 1, 3, 5, … sind die ungeraden Zahlen.

Die Parabel hat keine Ecke. Auch am Scheitelpunkt ist sie rund, nicht spitz. Verbinde die Punkte deshalb mit einer weichen Kurve und nicht mit geraden Strichen.

Strecken, Stauchen, Spiegeln: der Faktor a

Was passiert, wenn du x² mit einer Zahl a malnimmst? Bei f(x) = ax² wird jeder Funktionswert der Normalparabel mit a multipliziert. Der Scheitelpunkt bleibt bei (0 | 0), denn a · 0 = 0.

• a > 1: Die Parabel wird schmaler (in y-Richtung gestreckt). Bei 2x² ist der Funktionswert an jeder Stelle doppelt so groß.
• 0 < a < 1: Die Parabel wird breiter (gestaucht). Bei 0,5x² ist der Funktionswert halb so groß.
• a < 0: Die Parabel wird an der x-Achse gespiegelt und öffnet nach unten. Der Scheitelpunkt ist dann der höchste Punkt.

Verschieben nach oben, unten, links und rechts

Jetzt schiebst du die Parabel durch das Koordinatensystem. Das geht in zwei Richtungen, und beide wirken verschieden.

In y-Richtung: + e

Addierst du eine Zahl e zum Funktionsterm, wird jeder Funktionswert um e größer oder kleiner. Die Parabel rutscht ohne Formänderung nach oben oder unten. Die Funktion f(x) = x² + 2 hat den Scheitelpunkt (0 | 2), und f(x) = x² − 3 hat den Scheitelpunkt (0 | −3). Das verläuft so, wie du es erwartest: Plus heißt nach oben, Minus nach unten.

In x-Richtung: (x − d)

Hier musst du aufpassen. Bei f(x) = (x − 2)² steht die Zahl in der Klammer. Der Funktionswert ist 0, wenn die Klammer 0 ergibt, also bei x = 2. Der Scheitelpunkt liegt bei (2 | 0): Die Parabel ist um 2 nach rechts gerutscht, obwohl ein Minus in der Klammer steht. Bei (x + 3)² ist die Klammer bei x = −3 null, die Parabel ist um 3 nach links verschoben. Du verschiebst also um das Gegenteil der Zahl in der Klammer.

Die Scheitelpunktform

Fasst du alles zusammen, erhältst du die Funktion, die du am leichtesten lesen kannst.

Was Definitions- und Wertebereich bedeuten, erklärt der Abschnitt zu den Funktionen. Bei jeder quadratischen Funktion ist der Definitionsbereich ganz ℝ. Der Wertebereich beginnt oder endet beim y-Wert des Scheitelpunkts.

Die allgemeine Form ax² + bx + c

Oft bekommst du eine quadratische Funktion nicht in der Scheitelpunktform, sondern als f(x) = ax² + bx + c. Auch hier lässt sich einiges sofort sagen:

• a verrät Öffnung und Breite wie bisher.
• c ist der y-Achsenabschnitt, denn f(0) = a · 0 + b · 0 + c = c. Die Parabel schneidet die y-Achse bei (0 | c).
• Der Scheitelpunkt ist nicht direkt zu sehen. Seine x-Koordinate ist x_S = −b : (2a). Den y-Wert erhältst du, indem du x_S in die Funktion einsetzt.

Warum diese Formel? Das zeigt gleich die Umwandlung. Sie hat nichts mit Raten zu tun.

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Der Weg heißt quadratische Ergänzung. Die Idee: Du bastelst aus x² + px mit einem passenden Zusatz ein vollständiges Quadrat nach der binomischen Formel (x − d)² = x² − 2dx + d². Wie das geometrisch aussieht und wie du damit Gleichungen löst, zeigt die Seite Quadratische Gleichungen. Dort findest du auch die pq-Formel, die Mitternachtsformel und die graphische Lösung. Hier geht es um die Funktion.

Fall a = 1

Wandle f(x) = x² − 4x + 1 um.

1. Halbiere die Zahl vor x: −4 : 2 = −2. Das ist d.
2. Addiere und subtrahiere das Quadrat davon, (−2)² = 4: x² − 4x + 4 − 4 + 1.
3. Die ersten drei Terme sind ein Quadrat: (x − 2)² − 4 + 1.
4. Fasse zusammen: (x − 2)² − 3.

Die Scheitelpunktform ist f(x) = (x − 2)² − 3, der Scheitelpunkt ist S(2 | −3). Kontrolle: f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Das passt.

Fall a ungleich 1

Hat x² einen Faktor a, klammerst du ihn zuerst aus den ersten beiden Termen aus. Wandle f(x) = 2x² − 12x + 7 um.

1. Klammere 2 aus x²- und x-Term aus: 2(x² − 6x) + 7.
2. Halbiere −6: −3. Das Quadrat davon ist 9. Ergänze in der Klammer: 2(x² − 6x + 9 − 9) + 7.
3. Hole die −9 aus der Klammer. Weil sie mit 2 multipliziert wird, wird daraus −18: 2(x² − 6x + 9) − 18 + 7.
4. Schreibe das Quadrat und fasse zusammen: 2(x − 3)² − 11.

Der Scheitelpunkt ist S(3 | −11). Kontrolle mit der Formel: x_S = −(−12) : (2 · 2) = 12 : 4 = 3, und f(3) = 18 − 36 + 7 = −11. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Der Rückweg ist einfacher: Du löst die Klammer mit der binomischen Formel auf und fasst zusammen. Nimm die Funktion von oben, f(x) = −2(x + 1)² + 3.

1. Binomische Formel: (x + 1)² = x² + 2x + 1.
2. Mit −2 multiplizieren: −2x² − 4x − 2.
3. Die 3 addieren: −2x² − 4x + 1.

Also a = −2, b = −4, c = 1. Der Wert c = 1 stimmt mit dem y-Achsenabschnitt (0 | 1) von vorhin überein. Und x_S = −(−4) : (2 · (−2)) = 4 : (−4) = −1 passt zum Scheitelpunkt S(−1 | 3).

Nullstellen kurz erklärt

Die Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet, also f(x) = 0. Eine Parabel hat zwei, eine oder keine Nullstelle. Bei f(x) = (x − 2)² − 3 aus der Scheitelpunktform kannst du direkt umstellen: (x − 2)² = 3, also x = 2 + √3 ≈ 3,73 oder x = 2 − √3 ≈ 0,27. Dass es zwei Stellen sind, ist kein Zufall: Der Scheitelpunkt liegt unter der x-Achse (e = −3) und die Parabel öffnet nach oben, sie muss die Achse also zweimal kreuzen. Liegt der Scheitelpunkt auf der Achse, gibt es genau eine Nullstelle. Liegt er bei einer nach oben geöffneten Parabel darüber, gibt es keine. Alle Lösungswege dafür stehen auf der Seite zu den quadratischen Gleichungen, die weiter oben verlinkt ist.

Zum Nachprüfen eigener Parabeln gibt es den Funktionsplotter und den Rechner für quadratische Gleichungen.

Anwendungen: Wurf, Brücke, Fläche

Die Wurfbahn eines Balls

Ein Ball wird aus 1 m Höhe senkrecht nach oben geworfen, und seine Höhe nach t Sekunden ist ungefähr h(t) = −5t² + 10t + 1 (in Metern, ohne Luftwiderstand und mit der Fallbeschleunigung grob auf 10 m/s² gerundet). Dein Ziel: die größte Höhe und die Zeit bis zur Landung.

1. Scheitelpunkt: t_S = −10 : (2 · (−5)) = 1. Nach 1 Sekunde ist der Ball am höchsten.
2. Höhe: h(1) = −5 + 10 + 1 = 6 m.
3. Landung: h(t) = 0 liefert t = 1 + √1,2 ≈ 2,10 s (die negative Lösung passt nicht zur Aufgabe).

Der Brückenbogen

Ein Bogen einer Brücke ist 40 m breit und in der Mitte 10 m hoch. Lege den Ursprung in die Mitte des Bogens am Boden, dann ist der Scheitelpunkt (0 | 10) und die Nullstellen sind ±20. Die Scheitelpunktform f(x) = ax² + 10 mit f(20) = 0 liefert 400a + 10 = 0, also a = −1 : 40 = −0,025. Die Höhe 10 m neben der Mitte (x = 10) ist f(10) = −0,025 · 100 + 10 = 7,5 m.

Fläche maximieren

Du hast 40 m Zaun und willst ein Rechteck an einer Hauswand einzäunen. Die Wand braucht keinen Zaun. Wie groß wird die Fläche höchstens? Die beiden Seiten senkrecht zur Wand haben die Länge x, die Seite parallel zur Wand hat 40 − 2x. Die Fläche ist A(x) = x · (40 − 2x) = −2x² + 40x. Mit quadratischer Ergänzung wird daraus −2(x − 10)² + 200. Der Scheitelpunkt ist (10 | 200): Bei x = 10 m, also einer Länge von 20 m, ist die Fläche mit 200 m² am größten. Die Parabel öffnet nach unten, der Scheitelpunkt ist der Höchstwert.

Übungen

Mit dem Arbeitsblatt Scheitelpunkt berechnen kannst du die Umwandlung mit immer neuen Zahlen üben.

Geschichte: Von Kegelschnitten zur Wurfbahn

Die Parabel ist eine der ältesten Kurven der Mathematik, und zwar nicht als Funktion, sondern als Kegelschnitt. Schneidest du einen Kegel mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie liegt, entsteht eine Parabel. Der griechische Mathematiker Menaichmos soll im 4. Jahrhundert v. Chr. solche Kurven beim Versuch benutzt haben, einen Würfel zu verdoppeln. Genaueres steht in der Epoche Hellenistische Mathematik.

Den Namen gab ihr Apollonios von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) in seinem Werk Konika („Kegelschnitte“). Das griechische Wort parabolē bedeutet etwa „Anlegung“ oder „Gleichheit“. Es stammt aus der Flächenlehre: Bei der Parabel ist das Quadrat über der Höhe eines Punktes so groß wie ein Rechteck mit fester Seite. Das ist die geometrische Fassung von y² = p · x. Auch Archimedes beschäftigte sich mit der Parabel und berechnete die Fläche eines Parabelsegments.

Die Gleichung y = x² kannte man damals nicht in dieser Form, denn es gab noch keine Koordinaten. Die brachte im 17. Jahrhundert René Descartes in seiner La Géométrie (1637) in die Mathematik: Kurven wurden zu Gleichungen. Die Mathematik des 17. Jahrhunderts verband so Geometrie und Algebra. Fast gleichzeitig zeigte Galileo Galilei (1564–1642) in seinen Discorsi von 1638, dass ein geworfener Körper, den man ohne Luftwiderstand betrachtet, eine Parabel durchläuft. So wurde die Kurve der Griechen zur Flugbahn.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich eine quadratische Funktion?

Der höchste Exponent von x ist 2. Die Funktion lässt sich als ax² + bx + c mit a ungleich null schreiben, ihr Graph ist eine Parabel.

Was ist der Unterschied zwischen quadratischer Funktion und quadratischer Gleichung?

Die Funktion ordnet jedem x einen Wert y zu, ihr Graph ist die Parabel. Die Gleichung fragt nach den x-Werten, bei denen y null ist. Das sind die Nullstellen der Parabel.

Wann ist der Scheitelpunkt ein Hoch- und wann ein Tiefpunkt?

Bei a > 0 öffnet die Parabel nach oben, der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt. Bei a < 0 öffnet sie nach unten, der Scheitelpunkt ist der Hochpunkt.

Kann eine Parabel eine Gerade schneiden?

Ja, in null, einem oder zwei Punkten. Das ist ein Gleichungssystem aus einer quadratischen und einer linearen Funktion.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Quadratische Funktion
• MacTutor History of Mathematics: Apollonius of Perga (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Galileo Galilei (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.