Kaufmännisches Rechnen

Kaufmännisches Rechnen ist das Rechnen mit Geld, Waren und Messwerten im Alltag und im Beruf. Dazu gehören Zinsen, Rabatte, Fehlerabschätzungen und Vergleiche. Du wendest dafür Prozentrechnung, Proportionalität und Potenzen an. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Hier lernst du, wie Zinseszins funktioniert, wie du Fehler und Unterschiede in Prozent angibst, was eine Proportionalitätskonstante ist und wie sich der Goldene Schnitt konstruieren lässt. Am Ende geht es um drei Menschen, die das Rechnen mit Geld geprägt haben.

Zinseszinsformel (Compound Interest)

Bei der einfachen Zinsrechnung bleibt das Kapital gleich. Beim Zinseszins bleiben die Zinsen auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst. Das Geld wächst dadurch immer schneller (Einstieg: einfache Zinsformel).

Die Formel folgt aus dem Zinsfaktor q = 1 + p %. Bei 5 % ist q = 1,05. Nach einem Jahr hat das Startkapital K₀ den Wert K₀ · q, nach zwei Jahren K₀ · q · q = K₀ · q². Nach n Jahren multiplizierst du n-mal mit q, das ist eine Potenz.

Die Formel umstellen

Je nachdem, was gesucht ist, stellst du die Formel um. Das Startkapital ist K₀ = K_n : qⁿ. Den Zinsfaktor findest du mit der n-ten Wurzel, also einem gebrochenen Exponenten: q = (K_n : K₀)^1/n. Für die Laufzeit brauchst du Logarithmen.

Für die Verdopplungszeit gilt die Regel von 72: Teile 72 durch den Zinssatz in Prozent. Bei 5 % sind das 72 : 5 = 14,4 Jahre, nahe an den genauen 14,2 Jahren. Die Regel taucht schon bei Luca Pacioli auf. Bei monatlicher Gutschrift von 1 % (12 % Jahreszins) ist der Jahresfaktor 1,01¹² ≈ 1,1268, das Kapital wächst effektiv um 12,68 %.

Rabatt und Skonto

Ein Rabatt ist ein Preisnachlass in Prozent (siehe Prozentrechnung). Mehrere Rabatte multiplizierst du, du addierst sie nicht (Rabatte nicht einfach addieren). Ein Skonto ist ein Nachlass für schnelles Bezahlen, etwa „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen, sonst 30 Tage netto“.

Prozentfehler berechnen

Wenn du etwas schätzt oder misst, weicht dein Ergebnis oft vom wahren Wert ab. Der Prozentfehler (relativer Fehler) gibt diese Abweichung im Verhältnis zum wahren Wert an.

Prozentuale Differenz zwischen Werten

Manchmal gibt es keinen wahren und keinen alten Wert, sondern zwei gleichberechtigte Zahlen, etwa die Preise zweier Geschäfte. Dann vergleichst du die Differenz mit dem Mittelwert der beiden Zahlen.

Proportionalitätskonstante (k)

Bei direkt proportionalen Größen ist der Quotient aus beiden immer gleich. Diesen festen Wert nennt man Proportionalitätskonstante k. Es gilt y = k · x. Du findest k, indem du y durch x teilst. Die Einheit sagt dir, was k bedeutet.

Weitere Beispiele für k sind der Steuerfaktor 1,19 (Brutto : Netto), der Zinssatz (Zinsen : Kapital) und die Geschwindigkeit (Strecke : Zeit). Bei umgekehrt proportionalen Größen ist dagegen das Produkt konstant: k = x · y.

Goldener Schnitt (Golden Ratio)

Der Goldene Schnitt ist eine besondere Teilung einer Strecke in einen längeren Teil a und einen kürzeren Teil b, und zwar so, dass sich die ganze Strecke zum längeren Teil verhält wie der längere zum kürzeren: (a + b) : a = a : b. Das ist eine „stetige Proportion“ im Sinne der Proportionenlehre.

Setzt du b = 1 und a = x, dann gilt (x + 1) : x = x. Daraus folgt x² = x + 1, also x² − x − 1 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die positive Lösung x = (1 + √5) : 2.

Eng verwandt ist die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, in der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen ist. Teilst du eine Zahl durch ihren Vorgänger, kommst du Φ immer näher: 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625, 34 : 21 ≈ 1,619 und 89 : 55 ≈ 1,618.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

1. Zeichne die Strecke AB. In B errichtest du eine Senkrechte mit BC = ½ · AB.
2. Verbinde A mit C.
3. Ein Kreis um C mit Radius CB schneidet AC in D.
4. Ein Kreis um A mit Radius AD schneidet AB im Punkt S.

Der Punkt S teilt AB im Goldenen Schnitt. Probe mit AB = 1: Es ist AC = √5 : 2 ≈ 1,118 und AD = 1,118 − 0,5 = 0,618 = AS. Dann ist SB = 0,382, und 0,618 : 0,382 ≈ 1,618.

Geschichte: Fibonacci, Pacioli und Bernoulli

Fibonacci und das Handelsbuch „Liber Abaci“

Fibonacci (Leonardo von Pisa) wuchs um 1170 in der Handelsstadt Pisa auf. Sein Vater arbeitete als Schreiber am Zollhaus von Bugia im heutigen Algerien, dort lernte Leonardo das Rechnen mit den indisch-arabischen Ziffern. Sein Liber Abaci von 1202 ist deshalb vor allem ein Buch für Kaufleute mit Aufgaben zu Preisen, Tausch, Gewinnverteilung, Zinsen und Münzlegierungen. Laut dem Wirtschaftshistoriker William Goetzmann vergleicht es auch Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten über Barwerte, ein Gedanke der modernen Finanzmathematik.

Pacioli und die doppelte Buchführung

Der Franziskaner Luca Pacioli beschrieb 1494 in seiner Summa de arithmetica die doppelte Buchführung nach venezianischem Vorbild. Jeder Geschäftsvorfall wird zweimal erfasst, einmal im Soll und einmal im Haben, mit gleichem Betrag. Die Summen beider Seiten müssen am Ende übereinstimmen, daran erkennt man Rechenfehler.

Erfunden hat Pacioli die Methode nicht, denn die ältesten erhaltenen Bücher dieser Art stammen aus Florenz um 1300. Er lieferte aber die erste gedruckte, vollständige Anleitung.

Jakob Bernoulli und die Zahl e

Um 1683 beschäftigte Jakob Bernoulli eine Frage aus dem Geldverkehr. Angenommen, 1 € wird ein Jahr lang zu 100 % verzinst und hat am Ende 2 €. Was passiert, wenn die Zinsen öfter gutgeschrieben werden? Bei n Gutschriften pro Jahr wächst das Kapital auf (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli erkannte, dass der Wert nicht über alle Grenzen wächst, sondern zwischen 2,5 und 3 bleibt. Der Grenzwert ist die Zahl e ≈ 2,71828, die später Leonhard Euler mit diesem Buchstaben benannte. Bei „stetiger Verzinsung“ gilt K(t) = K₀ · e^{p · t}. Bei 5 % ergeben 1.000 € nach einem Jahr etwa 1.051,27 € statt 1.050 €.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Laurence E. Sigler (Übers.): Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation, Springer, New York 2002.
• William N. Goetzmann: Fibonacci and the Financial Revolution, NBER Working Paper 10352, 2004 (englisch).
• Jane Gleeson-White: Soll und Haben. Die doppelte Buchführung und die Entstehung des modernen Kapitalismus, Klett-Cotta, Stuttgart 2015.
• Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number, Broadway Books, New York 2002.
• Wikipedia: Zinseszins