Mathematik im Studium

Mathematik an der Hochschule fühlt sich anders an als in der Schule. Es gibt weniger Rechenrezepte und mehr Begriffe, Sätze und Beweise. Statt „Wie rechnet man das?“ lautet die Frage: „Warum gilt das, und unter welchen Bedingungen?“ Das gilt für Mathematik-Studierende und für Lehramt, in abgeschwächter Form auch für Physik, Informatik, Ingenieurwesen und Wirtschaft. Diese Seite zeigt dir, welche Fächer typischerweise in den ersten Semestern kommen und welche Lernseiten dieser Website dazu passen.

Die Reihenfolge der Module unterscheidet sich von Hochschule zu Hochschule. Am genauesten steht sie im Modulhandbuch deines Studiengangs. Der Überblick folgt dem häufigsten Aufbau: erst Schulstoff auffrischen, dann die Sprache der Mathematik, dann die beiden Hauptfächer Analysis und Lineare Algebra. Wer wissen will, wo er steht, beginnt mit dem Selbsttest im Mathe-Vorkurs fürs Studium.

Vorkurs und Grundlagen

Vor dem ersten Semester wiederholst du den Schulstoff. Im Vorkurs geht es um Terme, Gleichungen, Funktionen, Trigonometrie und die Ableitung. Viele Fakultäten ergänzen Logik, Mengen und Beweise, die in den Mathematik-Vorlesungen von der ersten Stunde an benutzt werden.

• Selbsttest, Plan und Inhalte der Vorkurse: Mathe-Vorkurs fürs Studium und Elementare Mathematik im Überblick.
• Die Schreibweise mit Σ und Π: Summen- und Produktzeichen.
• Sprache und Beweise: Mengenlehre, Aussagenlogik, Beweisverfahren, Vollständige Induktion, Abbildungen und Relationen, später Prädikatenlogik und die Axiome der Mengenlehre.

Analysis I

Die Analysis klärt, was Grenzwerte, Stetigkeit, Ableitung und Integral wirklich bedeuten. Alles, was in der Schule „anschaulich klar“ war, wird jetzt bewiesen. Im Kern steht die Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Die Seite Analysis gibt einen Überblick über das ganze Gebiet von der Idee bis zur Geschichte. Dazu gehören Integrationsmethoden, das Newton-Verfahren und Differentialgleichungen.

Lineare Algebra I

Die Lineare Algebra macht aus Gleichungssystemen, Vektoren und Matrizen eine abstrakte Theorie. Die Bausteine sind Gruppen, Ringe und Körper, Vektorräume mit Basis und Dimension, lineare Abbildungen und die Determinante.

Lineare Algebra II

Die Lineare Algebra II führt zu den Normalformen von Matrizen und zur Geometrie mit Längen und Winkeln. Sie bringt auch die Quadriken und die Frage, wann eine quadratische Form immer positiv ist.

Analysis II und III

Die Analysis II überträgt Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung auf mehrere Variablen und auf allgemeine Räume. Die Analysis III baut mit dem Lebesgue-Integral und den Integralsätzen den Rahmen für Physik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Weitere Fächer

Ab dem zweiten Semester folgen je nach Studiengang weitere Bausteine. Zu manchen gibt es schon Lernseiten:

• Zahlentheorie und diskrete Mathematik: Modulare Arithmetik mit quadratischen Resten, Diophantische Gleichungen, Primzahlen, Graphentheorie, Kombinatorik, Rekursionen und erzeugende Funktionen, Endliche Körper und Codierung, Komplexität und Berechenbarkeit.
• Stochastik und Statistik: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsgrößen, Stetige Verteilungen, Normalverteilung, Grenzwertsätze, Konfidenzintervalle, Schätzer und Tests, Lineare Regression.
• Gewöhnliche Differentialgleichungen und Numerik: Differentialgleichungen mit Existenz und Eindeutigkeit, Laplace-Transformation, der Überblick Numerik im Überblick, Numerik-Grundlagen, Newton-Verfahren, Interpolation und Quadratur, Numerische Lineare Algebra, Numerische Eigenwertverfahren.
• Optimierung und Wirtschaft: Lineare Optimierung mit Simplex-Verfahren, Nichtlineare Optimierung, Rente und Tilgung, Leontief-Modell.

Vertiefende Fächer wie Differentialgeometrie, algebraische Geometrie oder stochastische Prozesse folgen in höheren Semestern und haben hier noch keine eigene Seite.

Mathematik für Ingenieure, Informatik und Wirtschaft

Wer nicht Mathematik studiert, hört „Höhere Mathematik“ oder „Mathematik für …“. Der Stoff ist anwendungsnäher und meist ohne Beweise, deckt aber dieselben Themen ab.

• Ingenieure und Naturwissenschaften: Differential- und Integralrechnung mit mehreren Variablen, komplexe Zahlen (Wechselstromrechnung), lineare Algebra, Differentialgleichungen, Fourierreihen, Laplace-Transformation, Funktionentheorie und Numerik.
• Informatik: Logik mit Normalformen und Prädikatenlogik, Mengen, Beweise, Modulare Arithmetik, Graphen, Zahlensysteme, RSA, Rekursion und O-Notation, Codierung und Berechenbarkeit und Komplexität.
• Wirtschaft: Funktionen mehrerer Variablen, lineare Optimierung und nichtlineare Optimierung, Input-Output-Modelle, Finanzmathematik (Rente, Tilgung, Barwert) und Statistik.

So lernst du Hochschulmathematik

Hilfreich sind die Seiten Mathematisch arbeiten, Argumentieren und Begründen und das Glossar für Begriffe. Die Zeichen auf der Seite Mathe-Zeichen und Symbole helfen beim Lesen von Skripten.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A. trivial! Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken, Vieweg+Teubner, Wiesbaden.
• Gerald Teschl, Susanne Teschl: Mathematik für Informatiker, Springer, Berlin.
• Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1, Springer, Berlin.
• Knut Sydsæter, Peter Hammond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Pearson Studium, München.