Maß und Integral: Lebesgue-Integral und Konvergenzsätze

Das Riemann-Integral funktioniert für stetige Funktionen hervorragend und scheitert bei wilden. Die Dirichlet-Funktion, die auf den rationalen Zahlen den Wert 1 und auf den irrationalen den Wert 0 hat, ist nicht Riemann-integrierbar, obwohl sie fast überall 0 ist. Schwerer wiegt, dass sich Grenzwert und Integral nur unter der engen Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz vertauschen lassen, wie die Seite Funktionenfolgen und Reihen zeigt. Auch Funktionenräume mit dem Riemann-Integral sind nicht vollständig.

Die Maßtheorie löst beide Probleme, indem sie zuerst fragt, welchen „Inhalt“ beliebig komplizierte Mengen haben, und darauf das Lebesgue-Integral aufbaut. Sie ist heute die Sprache der Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Fourier-Analyse. Diese Seite führt in die Grundbegriffe ein: σ-Algebra, Maß, Nullmenge, Integral, die drei großen Konvergenzsätze und den Satz von Fubini-Tonelli.

σ-Algebren und Maße

Nicht jeder Teilmenge von $ℝ$ lässt sich ein vernünftiger Inhalt zuordnen, der translationsinvariant und abzählbar additiv ist. Man beschränkt sich deshalb auf ein System „messbarer“ Mengen.

Aus (i) bis (iii) folgt, dass auch abzählbare Durchschnitte und Differenzen messbar sind. Auf $ℝ$ ist die Borelsche σ-Algebra die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Intervalle (damit alle offenen und abgeschlossenen Mengen) enthält. Das Lebesgue-Maß $\lambda$ ist das Maß auf $ℝ$, das jedem Intervall seine Länge zuordnet: $\lambda ([a,b])=b-a$.

Beweis von (c). Setze $B_1=A_1$ und $B_n=A_n\setminus A_{n-1}$. Diese Mengen sind paarweise disjunkt mit $\bigcup B_n=\bigcup A_n$ und $A_n=B_1\cup \dots \cup B_n$. Mit der σ-Additivität folgt $\mu (\bigcup A_n)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_k)=\underset{n}{\lim }\sum _{k=1}^n\mu (B_k)=\underset{n}{\lim }\mu (A_n)$. Teil (a) folgt aus $\mu (B)=\mu (A)+\mu (B\setminus A)$.

Nullmengen

Eine Menge $N$ mit $\mu (N)=0$ ist eine Nullmenge. Eine Eigenschaft gilt fast überall, wenn die Ausnahmemenge in einer Nullmenge liegt.

Beweis. Sei $\{q_1,q_2,\dots \}$ abzählbar und $\epsilon >0$. Überdecke $q_n$ mit einem Intervall $I_n$ der Länge $\epsilon /2^n$. Dann gilt $\lambda (\{q_n\})\le \sum _n\frac{\epsilon }{2^n}=\epsilon$. Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt die Behauptung.

Insbesondere ist $\lambda (\mathbb{Q})=0$: Die rationalen Zahlen liegen dicht und haben doch keine Länge. Es gibt auch überabzählbare Nullmengen, etwa die Cantor-Menge, die man aus $[0,1]$ durch das wiederholte Entfernen der mittleren Drittel erhält. Das Maß dieser Menge ist $\lim {(2/3)}^n=0$. Mehr zu abzählbar und überabzählbar steht auf der Seite Mengenlehre.

Der Preis des Konzepts ist, dass sich nicht jede Menge messen lässt. Giuseppe Vitali konstruierte 1905 eine nicht Lebesgue-messbare Teilmenge von $[0,1]$. Dafür braucht man das Auswahlaxiom, und in der Praxis begegnet man solchen Mengen nicht.

Das Lebesgue-Integral

Eine Funktion $f:\Omega \to ℝ$ heißt messbar, wenn Urbilder messbarer Mengen messbar sind, also $\{f>c\}\in 𝒜$ für alle $c$. Alle stetigen Funktionen und alle Grenzwerte messbarer Funktionen sind messbar.

Das Integral wird in drei Schritten aufgebaut:

1. Einfache Funktionen $s=\sum _{i=1}^k{c}_i{\mathbf{1}}_{A_i}$ mit messbaren $A_i$: $\int sd\mu =\sum _{i=1}^k{c}_i\mu (A_i)$.
2. Nichtnegative messbare Funktionen: $\int fd\mu =\sup \{\int sd\mu :s\text{einfach},0\le s\le f\}$ (Wert in $[0,\infty ]$).
3. Beliebige messbare Funktionen: Mit $f=f^{+}-f^{-}$ ist $\int f=\int f^{+}-\int f^{-}$, falls beide Teile endlich sind, das heißt $\int \left|f\right|d\mu <\infty$. Dann heißt $f$ integrierbar.

Der Unterschied zu Riemann liegt in der Richtung des Zerlegens. Riemann schneidet die $x$-Achse in Stückchen und multipliziert Stückbreite mit einem Funktionswert. Lebesgue sortiert nach dem Wert: Wie viel Raum nimmt die Menge $\{f\approx c\}$ ein? Das ist wie beim Geld zählen: Riemann geht die Scheine der Reihe nach durch, Lebesgue sortiert sie zuerst nach Nennwert.

Das Kriterium erklärt Beispiel 1: Die Dirichlet-Funktion ist in jedem Punkt unstetig, und $[0,1]$ ist keine Nullmenge. Es gibt auch den umgekehrten Fall: Das uneigentliche Riemann-Integral ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$ existiert, aber ${\int }_0^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\infty$. Die Funktion ist also nicht Lebesgue-integrierbar. Das Lebesgue-Integral verlangt absolute Konvergenz.

Die drei Konvergenzsätze

Der wichtigste Vorteil des Lebesgue-Integrals sind die Sätze über das Vertauschen von Integral und Grenzwert, mit viel schwächeren Voraussetzungen als gleichmäßige Konvergenz.

Beweisidee zum Satz von Lebesgue. Die Funktionen $g\pm f_n$ sind nichtnegativ. Das Lemma von Fatou, angewandt auf $g+f_n$ und auf $g-f_n$, liefert $\int f\le \mathrm{liminf}\int f_n$ und $\int f\ge \mathrm{limsup}\int f_n$, also die Konvergenz der Integrale. (Das Fatou-Lemma selbst folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz mit $g_k=\underset{n\ge k}{\inf }{f}_n$.)

Der Satz von Fubini-Tonelli

Für Funktionen auf einem Produktraum $X\times Y$ klärt die Maßtheorie, wann man iterierte Integrale vertauschen darf (für stetige Funktionen siehe Mehrfachintegrale).

Wahrscheinlichkeit und Funktionenräume

Ist $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $X$ eine Zufallsvariable (messbare Funktion), dann ist der Erwartungswert das Lebesgue-Integral $E[X]=\int XdP$. Summen (diskrete Verteilungen) und Integrale mit Dichte (stetige Verteilungen) sind Spezialfälle desselben Begriffs. Andrei Kolmogorow baute 1933 auf diesem Gedanken die Wahrscheinlichkeitstheorie auf.

Für $1\le p<\infty$ bilden die messbaren Funktionen mit $\int |f{|}^{p}d\mu <\infty$ (fast überall gleiche Funktionen identifiziert) den Raum $L^p$ mit der Norm $\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}$. Der Satz von Riesz-Fischer sagt, dass diese Räume vollständig sind, also Banachräume (siehe Vollständigkeit). Der Raum $L^2$ ist mit dem Skalarprodukt $⟨f,g⟩=\int fgd\mu$ ein Hilbertraum. In ihm leben die Fourier-Reihen.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Inhalt zum Maß

Im 19. Jahrhundert brachten Cauchy und Riemann die Integralrechnung auf ein festes Fundament. Die Frage, welchen Inhalt beliebige Mengen haben, beantworteten Giuseppe Peano und Camille Jordan erstmals, allerdings nur für Mengen mit einfachem Rand. Befriedigend gelöst wurde sie von Émile Borel (1898, Maß im Eindimensionalen) und Henri Lebesgue, dessen Pariser Dissertation von 1902 das heutige Maßproblem und das erste Integral nach Lebesgue enthält. William Henry Young gab 1905 eine Definition, die in den heutigen Lehrbüchern üblich ist. 1906 kamen die Konvergenzsätze von Beppo Levi und Pierre Fatou hinzu. Der Satz von der dominierten Konvergenz trägt den Namen Lebesgues. Constantin Carathéodory vereinfachte 1918 die Konstruktion des Maßes durch Fortsetzung. 1933 erschienen Kolmogorows Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Wahrscheinlichkeitsrechnung maßtheoretisch begründeten.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Lebesgue-Integral
• Wikipedia: Lebesgue-Maß
• Wikipedia: Satz von der majorisierten Konvergenz
• Otto Forster: Analysis 3. Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im R^n und Anwendungen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Walter Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, Springer, Berlin.
• Henri Lebesgue: Intégrale, longueur, aire, Annali di Matematica 7 (1902).