Vektoranalysis: Divergenz, Rotation und Integralsätze

Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt des Raums eine Zahl zu, zum Beispiel die Temperatur. Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt einen Vektor zu: die Geschwindigkeit einer Strömung, die Kraft eines Gravitationsfelds, das elektrische Feld. Die Vektoranalysis fragt, wie sich solche Felder von Punkt zu Punkt ändern, und liefert dafür zwei Größen, die Divergenz und die Rotation. Die Integralsätze von Green, Gauß und Stokes verbinden dann das Verhalten im Inneren eines Gebiets mit dem Verhalten am Rand.

Alle drei Sätze sind Spielarten des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Integral einer Ableitung über ein Gebiet ist ein Integral der Funktion über den Rand. Du brauchst dafür partielle Ableitungen und Gradient sowie Mehrfach- und Kurvenintegrale, außerdem Skalar- und Vektorprodukt aus der Seite Vektoren.

Gradient, Divergenz und Rotation

Mit dem Nabla-Operator $\nabla =({\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z)$ lassen sich die drei Ableitungsoperatoren kompakt schreiben:

Die Divergenz $\mathrm{div}F=\nabla ·F$ misst, wie viel Fluss aus einem kleinen Volumen herausquillt. Positiv bedeutet Quelle, negativ Senke, 0 bedeutet quellenfrei. Die Rotation $\mathrm{rot}F=\nabla \times F$ misst die lokale Drehung: Ein Papierschiffchen auf einem Fluss mit $F=(-y,x,0)$ dreht sich, die Rotation zeigt entlang der Drehachse, und ihr Betrag ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit.

Beweis. Die erste Komponente von $\mathrm{rot}(\nabla \phi )$ ist ${\partial }_y{\partial }_z\phi -{\partial }_z{\partial }_y\phi =0$ nach dem Satz von Schwarz, die anderen ebenso. Bei $\mathrm{div}(\mathrm{rot}F)$ heben sich die sechs gemischten zweiten Ableitungen paarweise auf. Die dritte Regel ist die Definition.

Die Regel $\mathrm{rot}(\nabla \phi )=0$ liefert die Integrabilitätsbedingung im Raum: Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei. Umgekehrt hat ein wirbelfreies Feld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet ein Potential (siehe Kurvenintegrale). Zum Beispiel ist $F=(yz,xz,xy)$ wirbelfrei und hat das Potential $\phi =xyz$. Die Funktionen mit $\Delta \phi =0$ heißen harmonisch.

Der Satz von Green

Beweisidee für ein Gebiet, das sich sowohl als Normalbereich bezüglich $x$ als auch bezüglich $y$ schreiben lässt. Für $G=\{a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x)\}$ gilt nach Fubini $-{\iint }_G{\partial }_y{F}_{1}dA=-{\int }_a^b(F_1(x,\beta (x))-F_1(x,\alpha (x)))dx$. Das ist genau das Kurvenintegral $\oint F_{1}dx$ über den Rand (oben rückwärts, unten vorwärts, die senkrechten Randstücke tragen wegen $dx=0$ nichts bei). Für $F_2$ vertauscht man die Rollen. Allgemeine Gebiete zerlegt man in solche Stücke, die inneren Randstücke heben sich wegen entgegengesetzter Richtung auf.

Flächen und Fluss

Eine Fläche $S$ im Raum wird durch $\Phi :D\to {ℝ}^3$, $(u,v)\mapsto \Phi (u,v)$ parametrisiert. Die Vektoren ${\Phi }_u$ und ${\Phi }_v$ spannen die Tangentialebene auf. Ihr Kreuzprodukt $N={\Phi }_u\times {\Phi }_v$ steht senkrecht auf der Fläche, seine Länge ist die Verzerrung des Flächeninhalts. Das Flächenelement ist $dS=\Vert N\Vert dudv$, der Einheitsnormalenvektor $n=\frac{N}{\Vert N\Vert }$. Der Fluss eines Vektorfelds durch $S$ ist

Er misst, wie viel pro Zeit durch die Fläche strömt.

Der Satz von Gauß

Die Summe aller Quellen im Inneren ist gleich dem Gesamtfluss durch die Hülle. Das ist der mathematische Kern von Bilanzgleichungen: Was in einem Volumen entsteht, muss herausfließen.

Beweisidee. Für ein Gebiet der Form $V=\{(x,y)\in D,z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$ liefert Fubini für die dritte Komponente ${\iiint }_V{\partial }_z{F}_{3}dV={\iint }_D(F_3(x,y,z_2)-F_3(x,y,z_1))dxdy$. Die rechte Seite ist das Oberflächenintegral von $F_3{n}_3$ über die obere Fläche (Normale nach oben) und die untere Fläche (Normale nach unten). Die zwei anderen Komponenten ergeben sich genauso, und das Zerlegen in einfache Stücke liefert den allgemeinen Fall.

Der Satz von Stokes

Die Wirbel durch eine Fläche sind gleich der Zirkulation längs ihres Randes. Der Satz von Green ist der Spezialfall einer ebenen Fläche mit $n=(0,0,1)$, denn dann ist $\mathrm{rot}F·n={\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1$. Wichtig: Das Ergebnis hängt nur vom Rand ab, nicht von der Fläche.

Anwendungen

• Kontinuitätsgleichung: Für eine Dichte $\rho$ und ein Geschwindigkeitsfeld $v$ gilt ${\partial }_t\rho +\mathrm{div}(\rho v)=0$. Nach dem Satz von Gauß heißt das: Die Masse in einem Volumen ändert sich nur durch den Fluss durch den Rand.
• Elektrodynamik: Die Maxwell-Gleichungen gibt es in Differentialform (mit div und rot) und in Integralform (mit Fluss und Zirkulation). Gauß und Stokes übersetzen die eine in die andere.
• Potentialtheorie: Ein Feld mit $\mathrm{rot}F=0$ hat auf einfach zusammenhängenden Gebieten ein Potential, und die Arbeit hängt dann nicht vom Weg ab.
• Verallgemeinerung: In der Differentialgeometrie sind Green, Gauß und Stokes Sonderfälle des allgemeinen Satzes von Stokes für Differentialformen, ${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega$.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Felder, Flüsse und Wirbel

Den Divergenzsatz hat wahrscheinlich Lagrange 1762 als Erster formuliert. Danach wurde er mehrfach unabhängig wiederentdeckt, von Carl Friedrich Gauß (1813), von George Green und von Michail Ostrogradski (1831), der den ersten formalen Beweis gab. Der nach Green benannte Satz steht in seinem Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, gedruckt 1828. Willard Gibbs verteilte Anfang der 1880er-Jahre eine Broschüre zur Vektoranalysis, Oliver Heaviside erhielt sie 1888, und beide setzten sich gegen die Anhänger der Quaternionen durch. Das Lehrbuch Vector Analysis von Edwin Bidwell Wilson (1901), das auf Gibbs’ Vorlesungen beruht, prägte die heutige Notation.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Satz von Stokes
• Wikipedia: Gaußscher Integralsatz
• Wikipedia: Satz von Green
• Otto Forster: Analysis 3. Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im R^n und Anwendungen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Edwin Bidwell Wilson: Vector Analysis, Yale University Press, New Haven 1901.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Vieweg+Teubner, Wiesbaden.