Topologie: topologische Räume, Zusammenhang und Kompaktheit

Eine Kaffeetasse lässt sich in einen Donut verformen, ohne etwas zu zerreißen oder zusammenzukleben, ein Ball nicht. Die Topologie macht diesen Satz präzise. Sie studiert die Eigenschaften eines Raums, die bei stetigen Verformungen erhalten bleiben: ob er in einem Stück ist, ob er Löcher hat, ob er kompakt ist, wie ein abgeschlossener Ball, oder nicht, wie ein offener Streifen.

Auf der Seite Metrische Räume und Topologie hast du offene Mengen, Stetigkeit und Kompaktheit mit Abständen kennengelernt und einen ersten Blick auf topologische Räume geworfen. Hier geht es darum, wie man ohne Abstände auskommt, und was man dabei gewinnt: Produkte, Quotienten, Trennungsaxiome und Sätze, die im ganzen Studium vorkommen.

Topologien auf einer Menge

Auf jeder Menge $X$ gibt es zwei extreme Topologien: die diskrete Topologie, in der jede Teilmenge offen ist, und die indiskrete Topologie $\{\varnothing ,X\}$. Auf $ℝ$ ist die Standardtopologie die der offenen Intervalle: $U$ ist offen, wenn es zu jedem $x\in U$ ein $\epsilon >0$ gibt mit $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq U$. Ein dritter Typ ist die koendliche Topologie auf einer unendlichen Menge $X$: Offen sind $\varnothing$ und alle Mengen, deren Komplement endlich ist. Man prüft die Axiome direkt: Vereinigungen offener Mengen haben ein Komplement, das ein Durchschnitt endlicher Mengen ist, also endlich. Der Durchschnitt zweier Mengen mit endlichem Komplement hat ein Komplement, das eine Vereinigung zweier endlicher Mengen ist.

Eine Topologie ist oft zu groß, um sie aufzuzählen. Man gibt deshalb eine Basis $ℬ$ an: eine Familie offener Mengen, sodass jede offene Menge eine Vereinigung von Mengen aus $ℬ$ ist. Für $ℝ$ sind das die offenen Intervalle, für ${ℝ}^2$ die offenen Kreisscheiben oder Rechtecke. Eine Familie $ℬ$ ist Basis einer Topologie, wenn sie $X$ überdeckt und der Durchschnitt zweier Mengen aus $ℬ$ wieder eine Vereinigung von Mengen aus $ℬ$ ist. Mit den Intervallen $[a,b)$ erhält man zum Beispiel die Sorgenfrey-Gerade, denn $[a,b)\cap [c,d)=[\max (a,c),\min (b,d))$ ist wieder ein solches Intervall. Sie hat mehr offene Mengen als die Standardtopologie, und $[0,1)$ ist darin gleichzeitig offen und abgeschlossen.

Inneres, Abschluss und Rand

Für eine Teilmenge $A\subseteq X$ ist das Innere $\mathring{A}$ die größte offene Menge in $A$, der Abschluss $\overline{A}$ die kleinste abgeschlossene Menge, die $A$ enthält, und der Rand $\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}$. Ein Punkt liegt genau dann in $\overline{A}$, wenn jede offene Umgebung von ihm $A$ trifft. Die Menge $A$ heißt dicht, wenn $\overline{A}=X$. So ist $\mathbb{Q}$ dicht in $ℝ$, denn jedes offene Intervall enthält eine rationale Zahl. Es gilt $\overline{\mathbb{Q}}=ℝ$, $\mathring{\mathbb{Q}}=\varnothing$ und $\partial \mathbb{Q}=ℝ$. Ein Raum mit einer abzählbaren dichten Teilmenge heißt separabel. Kazimierz Kuratowski zeigte 1922, dass sich die ganze Topologie auch mit dem Abschlussoperator $A\mapsto \overline{A}$ und vier einfachen Regeln aufbauen lässt.

Stetigkeit und Homöomorphie

Eine Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen Räumen ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Gleichwertig: Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, oder $f\left(\overline{A}\right)\subseteq \overline{f(A)}$ für alle $A$. Die Verkettung stetiger Abbildungen ist stetig, denn ${(g\circ f)}^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$. Ein Homöomorphismus ist eine stetige Bijektion, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Räume mit einem Homöomorphismus heißen homöomorph, und sie haben genau dieselben topologischen Eigenschaften. Zum Beispiel ist $x\mapsto \tan (\pi x-\frac{\pi }{2})$ ein Homöomorphismus von $(0,1)$ nach $ℝ$.

Um zu zeigen, dass zwei Räume nicht homöomorph sind, sucht man eine Eigenschaft, die ein Raum hat und der andere nicht (eine topologische Invariante). Das Intervall $[0,1]$ und $ℝ$ sind nicht homöomorph, denn $[0,1]$ ist kompakt und $ℝ$ nicht. Das Intervall $[0,1]$ und der Kreis $S^1$ sind nicht homöomorph: Entfernt man den Punkt $\frac{1}{2}$, zerfällt das Intervall in zwei Teile. Beim Kreis bleibt nach Entfernen eines beliebigen Punktes ein zusammenhängender Rest (ein offenes Intervall) übrig. Ein Homöomorphismus würde das Zerfallen übertragen.

Neue Räume aus alten

• Teilraumtopologie: Auf $A\subseteq X$ sind die offenen Mengen die Durchschnitte $U\cap A$ mit $U$ offen in $X$. Das Intervall $[0,1)$ ist offen in $[0,1]$, aber nicht in $ℝ$.
• Produkttopologie: Auf $X\times Y$ bilden die Mengen $U\times V$ mit $U,V$ offen eine Basis. So entsteht die Standardtopologie auf ${ℝ}^n$ aus $n$ Kopien von $ℝ$. Die Projektionen sind stetig, und das ist die gröbste Topologie, in der sie es sind.
• Quotiententopologie: Wird auf $X$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ gegeben, ist $U\subseteq X/\sim$ offen, wenn sein Urbild in $X$ offen ist. Der Kreis entsteht aus $[0,1]$ durch Identifizieren von $0$ und $1$, der Torus aus dem Quadrat durch Verkleben gegenüberliegender Seiten, das Möbiusband aus einem Streifen durch Verkleben der Enden mit einer halben Drehung.

Trennungsaxiome

Die Axiome der Topologie sagen nichts darüber, ob sich Punkte durch offene Mengen trennen lassen. Dafür gibt es eine Hierarchie von Eigenschaften: $T_0$ (je zwei verschiedene Punkte haben eine offene Menge, die genau einen enthält), $T_1$ (jeder Punkt ist abgeschlossen), $T_2$ oder Hausdorff-Eigenschaft (je zwei verschiedene Punkte haben disjunkte offene Umgebungen), $T_3$ (regulär: ein Punkt und eine nicht enthaltende abgeschlossene Menge lassen sich trennen) und $T_4$ (normal: je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen lassen sich durch offene Mengen trennen), jeweils zusammen mit $T_1$. Es gilt $T_4\Rightarrow T_3\Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$. Jeder metrische Raum ist normal.

Die Hausdorff-Eigenschaft ist die wichtigste. In einem Hausdorff-Raum hat jede konvergente Folge nur einen Grenzwert. Beweis. Konvergiert $x_n$ gegen $a\ne b$, nimm disjunkte offene Umgebungen $U\ni a$ und $V\ni b$. Fast alle $x_n$ liegen in $U$ und fast alle in $V$, also in $U\cap V=\varnothing$, ein Widerspruch. In der koendlichen Topologie auf einer unendlichen Menge gilt dagegen $T_1$, aber nicht $T_2$: Zwei nichtleere offene Mengen schneiden sich immer, denn ihre Komplemente sind endlich. Dort konvergiert jede Folge paarweise verschiedener Punkte gegen jeden Punkt, etwa $x_n=n$ in $ℝ$ mit der koendlichen Topologie. Für $T_4$-Räume zeigt das Lemma von Urysohn, dass es zu disjunkten abgeschlossenen Mengen $A,B$ eine stetige Funktion $f:X\to [0,1]$ mit $f{|}_A=0$ und $f{|}_B=1$ gibt.

Zusammenhang

Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend: Wäre $X=U\cup V$ eine Zerlegung, wähle $a\in U$ und $b\in V$ und einen Weg $\gamma$ von $a$ nach $b$. Dann zerlegen ${\gamma }^{-1}(U)$ und ${\gamma }^{-1}(V)$ das Intervall $[0,1]$, was dessen Zusammenhang widerspricht. Die Umkehrung ist falsch: Die Sinuskurve des Topologen $\left\{\right(x,\sin \frac{1}{x}):0<x\le 1\}\cup (\{0\}\times [-1,1])$ ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. Die zusammenhängenden Teilmengen von $ℝ$ sind genau die Intervalle. Daraus folgt der Zwischenwertsatz: Das stetige Bild eines zusammenhängenden Raums ist zusammenhängend, also ist das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion wieder ein Intervall. Den Beweis führt man über Urbilder: Wäre $f(X)=A\cup B$ eine Zerlegung in disjunkte relativ offene nichtleere Mengen, dann wären $f^{-1}(A)$ und $f^{-1}(B)$ eine Zerlegung von $X$.

Kompaktheit

Im ${ℝ}^n$ sind die kompakten Mengen genau die beschränkten abgeschlossenen (Heine-Borel, siehe Kompaktheit). In allgemeinen Räumen gilt das nicht, dafür folgende Sätze:

• Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt. Eine offene Überdeckung von $A$ ergänzt man um das offene Komplement $X\setminus A$ und erhält eine Überdeckung von $X$ mit endlicher Teilüberdeckung.
• Kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen. Für $x\notin K$ trennt man $x$ von jedem Punkt von $K$ durch offene Mengen und wählt endlich viele davon, die $K$ überdecken. Der Durchschnitt der zugehörigen Umgebungen von $x$ ist offen und trifft $K$ nicht.
• Stetige Bilder kompakter Räume sind kompakt. Eine offene Überdeckung von $f(X)$ liefert durch Urbilder eine offene Überdeckung von $X$.
• Eine stetige reelle Funktion auf einem kompakten Raum nimmt Maximum und Minimum an. Das ist der Satz von Weierstraß, denn $f(X)$ ist kompakt, also beschränkt und abgeschlossen.
• Eine stetige Bijektion eines kompakten Raums auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus. Abgeschlossene Mengen sind kompakt, ihr Bild ist kompakt, also abgeschlossen. Die Umkehrabbildung ist damit stetig.

Für endlich viele Faktoren ist der Beweis elementar (Rohrlemma). Für unendlich viele braucht man das Auswahlaxiom, und der Satz ist sogar dazu gleichwertig (Kelley, 1950). Er garantiert zum Beispiel, dass der Würfel $[0,1{]}^I$ für jede Indexmenge $I$ kompakt ist, und er liefert in der Funktionalanalysis die Kompaktheit der Einheitskugel im Dualraum.

Übungen

Geschichte: von der Analysis situs zum topologischen Raum

Den Namen „Topologie“ führte Johann Benedict Listing 1847 ein. Als eigenes Fach begann sie mit Henri Poincarés „Analysis situs“ (1895), in dem er den Begriff der Fundamentalgruppe und der Homotopie einführte. Maurice Fréchet definierte 1906 den metrischen Raum. Felix Hausdorff fand Anfang 1912 eine Axiomatisierung durch Umgebungssysteme, die er 1914 in seinem Buch „Grundzüge der Mengenlehre“ ausführte. Dort steht die Trennungseigenschaft, die heute seinen Namen trägt. Kuratowski ersetzte 1922 die Umgebungen durch den Abschlussoperator und ließ die Hausdorff-Eigenschaft fallen, sodass die allgemeine Definition des topologischen Raums entstand, die du oben gesehen hast. Die graphentheoretische Wurzel reicht noch weiter zurück, bis zu Eulers Lösung des Königsberger Brückenproblems.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Topologischer Raum
• MacTutor: History of Topology
• MacTutor: Felix Hausdorff
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin.
• James R. Munkres: Topology, Prentice Hall.