Wahrscheinlichkeits­räume: die Axiome von Kolmogorow

Bisher hast du Wahrscheinlichkeiten mit der Formel von Laplace berechnet: günstige Ergebnisse geteilt durch alle Ergebnisse. Das klappt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Wie ist es bei einem gezinkten Würfel, bei der Lebensdauer einer Glühbirne oder beim Wetter? Dafür braucht man ein allgemeineres Fundament. 1933 legte der sowjetische Mathematiker Andrei Kolmogorow es fest. In der heute üblichen Fassung genügen drei Regeln, die man Axiome nennt. Das sind Grundannahmen, aus denen alle anderen Rechenregeln folgen.

Bei Ergebnisräumen mit unendlich vielen Ergebnissen verlangt man Axiom 3 sogar für abzählbar viele Ereignisse, also für Ereignisse, die man durchnummerieren kann und von denen je zwei kein gemeinsames Ergebnis haben. In der Schule genügt die einfache Form. Die Axiome sagen nicht, wie groß eine Wahrscheinlichkeit ist, sondern nur, welche Zahlenzuordnungen überhaupt erlaubt sind. Alles Weitere, etwa die Laplace-Formel für gleichwahrscheinliche Ergebnisse, ist ein Sonderfall.

Was aus den Axiomen folgt

Aus den drei Regeln lassen sich die bekannten Formeln herleiten. Zwei Beispiele:

• Gegenereignis: Ein Ereignis A und sein Gegenereignis Ā haben kein gemeinsames Ergebnis, und zusammen ergeben sie Ω. Axiom 3 und 2 geben P(A) + P(Ā) = P(Ω) = 1, also P(Ā) = 1 − P(A). Daraus folgt auch P(A) ≤ 1, denn P(Ā) ist nicht negativ, und für das unmögliche Ereignis P(∅) = 1 − P(Ω) = 0.
• Additionssatz: Für beliebige Ereignisse A und B gilt P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Das zeigt man, indem man A ∪ B in drei Teile ohne gemeinsame Ergebnisse zerlegt: nur in A, nur in B, in beiden. Mehr dazu auf der Seite Ereignisse verknüpfen und Additionssatz.

Dass Wahrscheinlichkeiten Zahlen zwischen 0 und 1 sind, mit der Summe 1 für alle möglichen Ergebnisse, ist also nicht bloß eine Verabredung. Es folgt aus den Axiomen. Kolmogorow veröffentlichte sie 1933 in seinem Buch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mehr zur Entwicklung des Gebiets steht im Abschnitt Laplace und Kolmogorow.