Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz

In der Schule ist die Ableitung eine Rechenvorschrift: Du kennst die Regeln und leitest ab. In der Analysis I fragst du anders: Wann existiert die Ableitung überhaupt, und welche Aussagen lassen sich daraus beweisen? Die Antwort heißt Differenzierbarkeit. Mit ihr zeigst du, dass eine Funktion mit positiver Ableitung wächst, dass ein Extremum waagerechte Tangente hat und dass man unbestimmte Grenzwerte wie $\frac{\sin x}{x}$ mit Ableitungen lösen kann. Das Rechnen mit Ableitungsregeln steht auf der Seite Ableitung und Ableitungsregeln, die h-Methode dort bei der Differenzenquotient-Idee.

Hier gehst du den Weg weiter: von der exakten Definition über die Rechenregeln zu den drei zentralen Sätzen, Rolle, Mittelwertsatz und L’Hospital. Als Grundlage brauchst du Stetigkeit und die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Zum Üben von Grenzwerten gibt es einen Aufgabengenerator.

Die Definition

Der Bruch ist die Steigung der Sekante durch $(a,f(a))$ und $(a+h,f(a+h))$. Im Grenzwert wird daraus die Steigung der Tangente. Gleichwertig ist die lineare Approximation: $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es eine Zahl $m$ gibt mit

Dann ist $m=f^{\prime }(a)$. Die Tangente ist die lineare Funktion, die sich dem Graphen näher anschmiegt als jede andere Gerade, der Fehler geht schneller gegen 0 als $h$. Diese Sicht ist es, die sich auf mehrere Variablen übertragen lässt, siehe Lineare Näherung.

Differenzierbar heißt stetig

Beweis. Für $h\ne 0$ gilt $f(a+h)-f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}·h$. Der erste Faktor geht gegen $f^{\prime }(a)$, der zweite gegen 0. Das Produkt geht also gegen $f^{\prime }(a)·0=0$, und das heißt $f(a+h)\to f(a)$.

Die Umkehrung ist falsch: $\left|x\right|$ ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Es geht noch schlimmer. Die Weierstraß-Funktion von 1872 ist überall stetig und nirgends differenzierbar, wie auf der Seite Stetigkeit erwähnt. Differenzierbarkeit schließt also Ecken, Knicke und senkrechte Tangenten aus.

Rechenregeln mit Beweis

Sind $f$ und $g$ in $a$ differenzierbar, dann auch $f+g$, $cf$, $fg$ und (für $g(a)\ne 0$) $\frac{f}{g}$. Die Summenregel folgt direkt aus den Grenzwertsätzen. Für die Produktregel braucht man einen Trick.

Beweis. Man addiert und subtrahiert $f(a+h)g(a)$:

Für $h\to 0$ geht $f(a+h)\to f(a)$ (Stetigkeit, weil $f$ differenzierbar ist), die Differenzenquotienten gehen gegen $g^{\prime }(a)$ und $f^{\prime }(a)$. Das gibt die Behauptung.

Bei der Kettenregel ${(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }(f(a))·f^{\prime }(a)$ ist die naheliegende Überlegung $\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}·\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lückenhaft, denn $f(x)-f(a)$ kann null sein. Mit der Approximation $g(y)=g(b)+(g^{\prime }(b)+\rho (y))(y-b)$ und $\rho (y)\to 0$ für $y\to b$ umgeht man das: Setze $y=f(x)$ und $b=f(a)$ und dividiere durch $x-a$. Dabei wird $\rho (b)=0$ gesetzt, der Term ist dann auch für $f(x)=f(a)$ richtig.

Lokale Extrema und der Satz von Rolle

Beweis (für ein Maximum). Für kleine $h>0$ ist $f(a+h)\le f(a)$, der Differenzenquotient also $\le 0$, im Grenzwert $f^{\prime }(a)\le 0$. Für $h<0$ ist der Quotient $\ge 0$, im Grenzwert $f^{\prime }(a)\ge 0$. Beides zusammen gibt $f^{\prime }(a)=0$.

Beweis. Nach dem Satz vom Maximum nimmt $f$ auf $[a,b]$ Maximum und Minimum an. Sind beide am Rand, also gleich $f(a)=f(b)$, ist $f$ konstant, und jedes $\xi$ tut es. Sonst liegt mindestens ein Extremum im Inneren, und dort ist die Ableitung nach Fermat gleich 0.

Beide Voraussetzungen sind nötig. Die Funktion $f(x)=\left|x\right|$ auf $[-1,1]$ hat $f(-1)=f(1)$, aber nirgends Ableitung 0, weil sie bei 0 nicht differenzierbar ist. Der Satz ist nach Michel Rolle benannt, der ihn 1691 für Polynome formulierte.

Der Mittelwertsatz

Beweis. Betrachte die Hilfsfunktion $g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Sie ist stetig auf $[a,b]$, differenzierbar auf $(a,b)$, und es gilt $g(a)=0$ und $g(b)=0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es $\xi$ mit $g^{\prime }(\xi )=0$, also $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Geometrisch ziehst du von $f$ die Sekante ab, dann liegt Rolle vor.

Wichtige Folgerungen

• Konstanz: Ist $f^{\prime }=0$ auf einem Intervall, ist $f$ dort konstant. (Für $x<y$ gilt $f(y)-f(x)=f^{\prime }(\xi )(y-x)=0$.)
• Monotonie: Ist $f^{\prime }>0$ auf einem Intervall, ist $f$ streng monoton wachsend. Ist $f^{\prime }\ge 0$, ist $f$ monoton wachsend. Die schulüblichen Monotonieregeln der Kurvendiskussion werden so bewiesen.
• Eindeutigkeit von Stammfunktionen: Zwei Funktionen mit gleicher Ableitung unterscheiden sich nur um eine Konstante.
• Lipschitz-Abschätzung: Ist $\left|f^{\prime }\right|\le L$, dann gilt $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$.

Verallgemeinert gilt der Cauchysche Mittelwertsatz: Für zwei Funktionen $f,g$ gibt es ein $\xi$ mit $(f(b)-f(a))g^{\prime }(\xi )=(g(b)-g(a))f^{\prime }(\xi )$. Man beweist ihn mit der Hilfsfunktion $h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$ und Rolle. Er ist der Beweis hinter der Regel von de L’Hospital.

Die Regel von de L’Hospital

Viele Grenzwerte haben die Gestalt $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty }{\infty }$ und lassen sich nicht direkt einsetzen. Die Regel von de L’Hospital ersetzt den Bruch durch den Quotienten der Ableitungen.

Beweisidee (für $\frac{0}{0}$, $f(a)=g(a)=0$). Nach dem Cauchyschen Mittelwertsatz gibt es zu jedem $x$ ein ${\xi }_x$ zwischen $a$ und $x$ mit $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }({\xi }_x)}{g^{\prime }({\xi }_x)}$. Geht $x\to a$, so geht auch ${\xi }_x\to a$.

Produkte $0·\infty$ und Differenzen $\infty -\infty$ musst du erst zu Brüchen umformen, Potenzen $0^0$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ über den Logarithmus: $a^b=e^{b\ln a}$. So erhält man $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=e^{\lim x\ln x}=e^0=1$.

Extrema und Krümmung

Die Schulregel „$f^{\prime }(a)=0$ und $f^{\prime }(a)>0$ ergibt ein Minimum“ lässt sich begründen: Ist $f^{\prime }(a)>0$, wächst $f^{\prime }$ nahe $a$ streng (denn $f^{\prime }$ ist in $a$ differenzierbar mit positiver Ableitung). Wegen $f^{\prime }(a)=0$ ist $f^{\prime }<0$ links und $f^{\prime }>0$ rechts von $a$. Nach der Monotonie-Folgerung fällt $f$ links und wächst rechts, also liegt ein lokales Minimum vor. Im Fall $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)=0$ entscheidet die Taylorformel, siehe Taylorreihen. Eine Funktion mit $f^{\prime }\ge 0$ auf einem Intervall heißt konvex: Ihr Graph liegt über jeder Tangente und unter jeder Sekante. Das ist die Grundlage der Optimierung und der Jensenschen Ungleichung.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte der Differenzierbarkeit

Newton und Leibniz entwickelten den Kalkül im späten 17. Jahrhundert mit unendlich kleinen Größen, ohne den Grenzwert exakt zu fassen. Der Mittelwertsatz tauchte in der Form, wie wir ihn kennen, zuerst bei Joseph-Louis Lagrange (1797) auf, der die Differentialrechnung auf Potenzreihen gründen wollte. Augustin-Louis Cauchy definierte die Ableitung 1823 als Grenzwert des Differenzenquotienten und bewies den Mittelwertsatz sauber, auch in seiner allgemeinen Form. Die Auffassung der Ableitung als beste lineare Näherung, die sich auf mehrere Variablen übertragen lässt, setzte sich unter dem Einfluss von Karl Weierstraß durch. Die Entdeckung, dass es stetige Funktionen ohne Ableitung gibt, 1872 mit Weierstraß’ Beispiel, war ein Wendepunkt für die Strenge der Analysis.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Differenzierbarkeit
• Wikipedia: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
• Wikipedia: Regel von de L’Hospital
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
• Guillaume de L’Hospital: Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes, Paris 1696.