Bilinearformen und Quadriken: Definitheit und Hauptachsen

Ein Skalarprodukt ist ein Beispiel für etwas Allgemeineres: eine Bilinearform, also eine Abbildung, die in jedem von zwei Vektorargumenten linear ist. Ihre Diagonale, quadratische Formen wie $q(x,y)=x^2+4xy+y^2$, kommen überall vor: als zweite Ableitung bei der Suche nach Extrema, als Kegelschnitt und Fläche zweiter Ordnung in der Geometrie, als Energie in der Physik und als Varianz in der Statistik. Mit einer Matrix lässt sich jede dieser Formen rechnen. Man will ihr Verhalten erkennen: Ist sie immer positiv? Hat sie eine Normalform ohne gemischte Terme?

Diese Seite baut auf Skalarprodukt und Orthogonalität auf und nutzt den Spektralsatz. Sie liefert zugleich die Begründung für den Test mit der Hesse-Matrix in der mehrdimensionalen Analysis.

Bilinearformen und ihre Matrix

Hat $V$ die Basis $b_1,\dots ,b_n$, ist $B$ durch die Gram-Matrix $G=(B(b_i,b_j){)}_{i,j}$ festgelegt, und für die Koordinatenvektoren gilt $B(x,y)=x^{\top }Gy$. Genau dann ist $B$ symmetrisch, wenn $G=G^{\top }$. Zu einer quadratischen Form gibt es immer eine eindeutige symmetrische Matrix: Aus $q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ wird $G=\left(\begin{array}{cc}a& b/2\\ b/2& c\end{array}\right)$, denn der gemischte Term teilt sich auf die beiden Nebendiagonaleinträge auf.

Basiswechsel. Sind $x=S{x}^{\prime }$ und $y=S{y}^{\prime }$ die Koordinaten in einer neuen Basis (Spalten von $S$), dann ist $B(x,y)=x^{\prime \top }(S^{\top }GS)y^{\prime }$. Die neue Gram-Matrix ist also $G^{\prime }=S^{\top }GS$. Das ist etwas anderes als die Ähnlichkeit $S^{-1}AS$ bei linearen Abbildungen (siehe Lineare Abbildungen). Man nennt $G$ und $G^{\prime }$ kongruent. Nur für orthogonale $S$ (mit $S^{\top }=S^{-1}$) stimmen beide Begriffe überein.

Definitheit

Positiv definite Matrizen sind genau die Gram-Matrizen von Skalarprodukten. Zwei Kriterien erlauben die Entscheidung ohne Probieren:

Beweis von (a) $\iff$ (b). Nach dem Spektralsatz ist $G=Q\Lambda Q^{\top }$ mit orthogonalem $Q$, und mit $\xi =Q^{\top }x$ gilt $q(x)=\sum {\lambda }_i{\xi }_i^2$. Das ist für alle $\xi \ne 0$ genau dann positiv, wenn alle ${\lambda }_i>0$ sind. Die Gleichwertigkeit mit (c) beweist man durch Induktion mit einer Elimination wie dem Gauß-Verfahren: Die Pivots sind die Quotienten ${\Delta }_k/{\Delta }_{k-1}$. Für negative Definitheit prüft man $-G$, für Indefinitheit genügt ein Eigenwert jeden Vorzeichens.

Das erklärt den Hesse-Test: Am kritischen Punkt $a$ ist $f(a+h)-f(a)\approx \frac{1}{2}{h}^{\top }{H}_f(a)h$, also entscheidet die Definitheit von $H_f(a)$ über Minimum, Maximum und Sattelpunkt. Bei $2\times 2$-Matrizen ist das Kriterium aus der Seite Mehrdimensionale Analysis ($D>0$ und $f_{xx}>0$) genau das Hauptminorenkriterium.

Diagonalisieren durch quadratische Ergänzung

Eine quadratische Form lässt sich auch ohne Eigenwerte auf Diagonalgestalt bringen, mit der quadratischen Ergänzung, die du aus der Schule kennst (siehe Quadratische Funktionen). Man fasst alle Terme mit $x_1$ zu einem vollständigen Quadrat zusammen und fährt mit dem Rest fort.

Beweisidee. Angenommen, es gäbe zwei solche Darstellungen mit $p>p^{\prime }$ positiven Quadraten. Der Raum $U$, der von den ersten $p$ Basisvektoren der einen Darstellung aufgespannt wird, hat die Dimension $p$, und $q$ ist auf ihm positiv. Der Raum $W$ der anderen Darstellung, in dem die restlichen $n-p^{\prime }$ Basisvektoren liegen, hat die Dimension $n-p^{\prime }$, und dort ist $q\le 0$. Wegen $p+(n-p^{\prime })>n$ schneiden sich $U$ und $W$ in einem Vektor $x\ne 0$, mit $q(x)>0$ und $q(x)\le 0$, ein Widerspruch.

Daraus folgt: Die Signatur entscheidet über die Definitheit ($(n,0,0)$ positiv definit, $(p,m,0)$ mit $p,m>0$ indefinit) und stimmt mit der Anzahl der positiven, negativen und verschwindenden Eigenwerte überein.

Hauptachsentransformation und Kegelschnitte

Mit dem Spektralsatz geht es sogar orthogonal. Ist $G$ symmetrisch, gibt es eine orthogonale Matrix $S$ mit $S^{\top }GS=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, und in den neuen Koordinaten $\xi =S^{\top }x$ gilt $q={\lambda }_1{\xi }_1^2+\dots +{\lambda }_n{\xi }_n^2$. Die Spalten von $S$ sind die Hauptachsen. Da $S$ eine Drehung (eventuell mit Spiegelung) ist, bleibt die Gestalt der Menge erhalten, sie wird nur gedreht.

Für eine Kurve zweiter Ordnung $\{x^{\top }Gx=c\}$ mit $c>0$ in der Ebene entscheiden die Vorzeichen der Eigenwerte:

Die Parabel tritt auf, wenn die Form zusätzlich lineare Terme enthält und ein Eigenwert 0 ist. Die Kurven in ihren einfachsten Lagen beschreibt die Seite Kegelschnitte.

Quadriken im Raum

Im ${ℝ}^3$ liefert die Signatur der Matrix von $x^{\top }Gx=1$ die Flächen:

Hinzu kommen die nicht zentralen Quadriken wie das elliptische Paraboloid $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ und das hyperbolische Paraboloid $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ (Sattelfläche), außerdem die Kegel, Zylinder und die Entartungen wie Ebenenpaare. Die Hesse-Matrix am Sattelpunkt einer Funktion $f(x,y)$ beschreibt genau so eine Sattelfläche zweiter Ordnung.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von den Flächen zweiter Ordnung zur Signatur

Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung beschäftigen die Mathematik seit der Antike. Dass sich quadratische Formen in beliebig vielen Variablen diagonalisieren lassen, war vor Sylvester bekannt, unter anderem durch Cauchy, Jacobi und Borchardt. James Joseph Sylvester veröffentlichte 1852 den Trägheitssatz, Jacobis früherer Beweis erschien 1857 nach seinem Tod. Auch Gauß soll das Ergebnis schon 1846 in Vorlesungen behandelt haben, wie sein Schüler Riemann berichtet. Die Definitheit ist heute die Grundlage der Optimierung, denn sie entscheidet, ob ein kritischer Punkt ein Minimum ist.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Sylvesterscher Trägheitssatz
• Wikipedia: Hauptachsentransformation
• Wikipedia: Quadrik
• Wikipedia (englisch): Sylvester’s law of inertia
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, Berlin.