Extrema mit Nebenbedingungen: Lagrange und implizite Funktionen

Ohne Einschränkung ist Optimieren leicht: Man sucht die Nullstellen des Gradienten. Im echten Leben gibt es fast immer Nebenbedingungen. Ein Zaun von 40 m Länge soll ein möglichst großes Rechteck umschließen. Eine Dose soll ein Liter fassen und möglichst wenig Blech brauchen. Ein Haushalt soll bei begrenztem Einkommen den größten Nutzen erreichen. In allen drei Fällen darf man nicht über den ganzen Raum suchen, sondern nur auf einer Kurve oder Fläche, die durch eine Gleichung $g(x)=0$ gegeben ist.

Zwei Wege führen zum Ziel: Die Nebenbedingung auflösen und einsetzen, oder die Methode von Lagrange. Die zweite funktioniert auch dann, wenn sich die Bedingung nicht auflösen lässt, und liefert nebenbei eine ökonomisch wichtige Größe. Den Einstieg auf Schulniveau bietet die Seite Extremwertaufgaben, die Grundlagen zu Gradient und Hesse-Matrix findest du auf der Seite Mehrdimensionale Analysis.

Der direkte Weg: Einsetzen

Wenn sich die Bedingung nach einer Variablen auflösen lässt, ist die Aufgabe eine gewöhnliche Extremwertaufgabe in weniger Variablen.

Das scheitert, sobald sich die Bedingung nicht bequem auflösen lässt, zum Beispiel bei $x^3+y^3=6xy$, oder wenn das Auflösen wie beim Kreis zwei Zweige ($y=\pm \sqrt{1-x^2}$) liefert und unhandlich wird. Hier hilft die geometrische Idee.

Die Idee von Lagrange

Die Höhenlinien von $f$ sind Kurven, auf denen $f$ konstant ist. Du läufst auf der Kurve $g=0$ und suchst den höchsten Punkt. Solange eine Höhenlinie die Kurve schneidet, kannst du entlang der Kurve in die Richtung mit größerem $f$ weitergehen. Erst wenn die Höhenlinie die Kurve nur berührt, geht es nicht weiter. Dort haben beide Kurven dieselbe Tangente, also zeigen ihre Normalenvektoren $\nabla f$ und $\nabla g$ in dieselbe Richtung (oder genau entgegengesetzt): $\nabla f=\lambda \nabla g$.

Beweisidee. Wegen $\nabla g(a)\ne 0$ ist die Menge $\{g=0\}$ nahe $a$ eine glatte Fläche (nach dem Satz über implizite Funktionen weiter unten). Zu jedem Vektor $v$ mit $\nabla g(a)·v=0$ gibt es eine Kurve $\gamma$ in der Fläche mit $\gamma (0)=a$ und ${\gamma }^{\prime }(0)=v$. Die Funktion $t\mapsto f(\gamma (t))$ hat bei $t=0$ ein Extremum, also ist $0=\frac{d}{dt}f(\gamma (t)){|}_{t=0}=\nabla f(a)·v$. Der Gradient $\nabla f(a)$ steht also senkrecht auf allen Tangentialvektoren. Das tut auch $\nabla g(a)$, und die Vektoren mit dieser Eigenschaft bilden eine Gerade. Also sind $\nabla f(a)$ und $\nabla g(a)$ Vielfache voneinander.

Durchgerechnete Beispiele

Der Multiplikator als Schattenpreis

Der Wert von $\lambda$ ist mehr als eine Hilfsgröße. Lockert man die Bedingung zu $g(x)=c$, hängt der optimale Wert $f^{\ast }(c)$ von $c$ ab, und es gilt (unter den Voraussetzungen des Satzes) $\frac{d{f}^{\ast }}{dc}=\lambda$. Er sagt also, wie viel der Zielwert wächst, wenn die Bedingung um eine Einheit gelockert wird. In der Ökonomie heißt $\lambda$ deshalb Schattenpreis.

Wann ist es ein Maximum oder Minimum?

Der Satz liefert nur Kandidaten. Es gibt zwei Wege zur Entscheidung. Der erste ist das Argument mit der Kompaktheit wie in Beispiel 1: Wenn Maximum und Minimum existieren und es nur zwei Kandidaten gibt, ist der größere Wert das Maximum. Der zweite ist ein Test mit zweiten Ableitungen:

Es kommt nur auf die Tangentialrichtungen an, nicht auf den ganzen Raum. In Beispiel 1 ist $L=x+y-\lambda (x^2+y^2-1)$ und $H=-2\lambda I$. Im Punkt mit $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ist $\lambda =\frac{1}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$, also ist $H$ negativ definit, das ist ein Maximum. Im Gegenpunkt ist $\lambda =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $H$ positiv definit und der Punkt ein Minimum.

Gibt es mehrere Nebenbedingungen $g_1=\dots =g_k=0$, lautet die Bedingung $\nabla f=\sum _i{\lambda }_i\nabla g_i$, vorausgesetzt die Gradienten $\nabla g_i(a)$ sind linear unabhängig. Das Vorgehen bleibt dasselbe, jede Bedingung bekommt einen eigenen Multiplikator.

Der Satz über implizite Funktionen

Hinter dem Lagrange-Satz steht eine Frage, die auch für sich wichtig ist: Wann definiert eine Gleichung $F(x,y)=0$ eine Funktion $y=h(x)$? Beim Kreis $x^2+y^2=1$ geht das nahe jedem Punkt, aber nicht in einem Stück, und nicht bei $(\pm 1,0)$.

Beweisidee. Man schreibt die Gleichung $F(x,y)=0$ um in das Fixpunktproblem $y=y-A^{-1}F(x,y)$ mit $A={\partial }_{y}F(a,b)$. Für $x$ nahe $a$ ist die rechte Seite eine Kontraktion in $y$ auf einer kleinen Kugel um $b$, weil ihre Ableitung nach $y$, nämlich $I-A^{-1}{\partial }_{y}F(x,y)$, bei $(a,b)$ gleich 0 und damit klein in der Nähe ist. Der Banachsche Fixpunktsatz liefert dann genau eine Lösung $h(x)$. Die Ableitung folgt aus der Kettenregel angewandt auf $F(x,h(x))=0$.

Der Umkehrsatz folgt aus dem Satz über implizite Funktionen mit $F(x,y)=f(y)-x$ (oder umgekehrt). Ein Beispiel liefern die Polarkoordinaten $\Phi (r,\phi )=(r\cos \phi ,r\sin \phi )$ mit $\det D\Phi =r$ (siehe Jacobi-Matrix). Für $r>0$ ist $\Phi$ lokal umkehrbar, global aber nicht, weil $\phi$ und $\phi +2\pi$ denselben Punkt liefern. Der Satz ist eine rein lokale Aussage.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von der Mechanik zur Ökonomie

Joseph-Louis Lagrange entwickelte die Methode im Zusammenhang mit der Variationsrechnung und der klassischen Mechanik und stellte sie in der Mécanique analytique von 1788 dar. Die allgemeine Fassung für Funktionen von n Variablen steht in seiner Théorie des fonctions analytiques (1797). In den Wirtschaftswissenschaften nennt man den Multiplikator Schattenpreis. Den Satz über implizite Funktionen formulierte in strenger Form Augustin-Louis Cauchy, und Ulisse Dini verallgemeinerte ihn auf Funktionen beliebig vieler reeller Variablen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Lagrange-Multiplikator
• Wikipedia: Satz über implizite Funktionen
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R^n, gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Joseph-Louis Lagrange: Méchanique analytique, Paris 1788.
• Hal R. Varian: Intermediate Microeconomics, W. W. Norton, New York.