Metrische Räume und Topologie: offen, abgeschlossen, kompakt

In der Analysis I benutzt du den Abstand $|x-y|$ zweier reeller Zahlen. Viele Begriffe, mit denen du dort arbeitest, brauchen aber nur diesen Abstand und nicht die Rechenregeln der Zahlen: Konvergenz, Stetigkeit, Vollständigkeit. Ein metrischer Raum ist deshalb eine Menge, auf der ein Abstand erklärt ist, und alles, was du über Folgen und stetige Funktionen weißt, läuft dort fast wörtlich weiter. Das gilt für die Ebene, für den Raum aller stetigen Funktionen und für Wörter aus Nullen und Einsen gleichermaßen.

Diese Seite führt die Begriffe der Reihe nach ein, beweist die zentralen Sätze und rechnet Beispiele durch. Die Vorbereitung dafür liefern Reelle Zahlen und Vollständigkeit und Stetigkeit. Danach lohnt sich ein Blick auf Mehrdimensionale Analysis, die den Raum ${ℝ}^n$ mit diesen Begriffen untersucht.

Die Metrik

Die Dreiecksungleichung sagt: Ein Umweg über $y$ ist nie kürzer als der direkte Weg. Aus der Betragsungleichung $|a+b|\le \left|a\right|+\left|b\right|$ folgt sie für $d(x,y)=|x-y|$ sofort, denn $|x-z|=|(x-y)+(y-z)|$.

Die Mengen $B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$ heißen offene Kugeln. Ihre Gestalt hängt von der Metrik ab:

Wird die Metrik von einer Norm erzeugt, $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, so ist alles vertraut aus der Vektorraum-Sprache. Nicht jede Metrik kommt von einer Norm: Die diskrete Metrik auf $ℝ$ tut es nicht.

Offene und abgeschlossene Mengen

Das Wort „abgeschlossen“ bedeutet nicht „nicht offen“. Eine Menge kann beides sein (wie $X$ selbst und $\varnothing$) oder keins von beiden (wie $[0,1)$ in $ℝ$).

Die offene Kugel ist offen. Sei $y\in B_r(x)$ und $\epsilon =r-d(x,y)>0$. Für $z\in B_{\epsilon }(y)$ gilt $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+\epsilon =r$, also $B_{\epsilon }(y)\subseteq B_r(x)$. Das ist die wichtigste Anwendung der Dreiecksungleichung.

Der Beweis von (c): Liegt $x$ in $U_1\cap U_2$, gibt es $r_1,r_2$ mit $B_{r_1}(x)\subseteq U_1$ und $B_{r_2}(x)\subseteq U_2$, und $B_r(x)$ mit $r=\min (r_1,r_2)$ liegt in beiden. Bei unendlich vielen Mengen gäbe es kein Minimum. Tatsächlich ist $\bigcap _{n\ge 1}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\left\{0\right\}$ nicht offen, obwohl jedes Intervall es ist.

Ob eine Menge offen ist, hängt auch vom umgebenden Raum ab. Im Raum $X=[0,1]$ mit dem Betrag ist die Menge $[0,\frac{1}{2})$ offen, denn dort ist $B_r(0)=[0,r)$. In $ℝ$ ist sie es nicht.

Folgen und abgeschlossene Mengen

Eine Folge $(x_n)$ in $X$ konvergiert gegen $x$, wenn $d(x_n,x)\to 0$. Mit der Definition der Kugel heißt das: Jede Kugel um $x$ enthält fast alle Folgenglieder. Der Grenzwert ist eindeutig.

Beweis. Sei $A$ abgeschlossen, $x_n\in A$, $x_n\to x$ und angenommen $x\notin A$. Dann liegt $x$ im offenen Komplement, also enthält eine Kugel $B_r(x)$ kein Element von $A$. Aber fast alle $x_n$ liegen in $B_r(x)$, ein Widerspruch. Ist umgekehrt $A$ nicht abgeschlossen, ist das Komplement nicht offen: Es gibt $x\notin A$, dessen Kugeln $B_{1/n}(x)$ alle ein Element $x_n\in A$ enthalten. Dann gilt $x_n\to x\notin A$.

In ${ℝ}^n$ sind $d_1$, $d_2$ und $d_{\infty }$ sogar gleichwertig, denn es gilt $d_{\infty }\le d_2\le d_1\le n·d_{\infty }$. Eine Folge konvergiert in einer der drei Metriken genau dann, wenn sie in allen konvergiert, und das ist genau die komponentenweise Konvergenz. Deshalb darfst du im ${ℝ}^n$ die bequemste Metrik wählen.

Stetigkeit in metrischen Räumen

Die Definition aus der Analysis I lässt sich wörtlich übertragen. Sind $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume, heißt $f:X\to Y$ stetig in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit $d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$ für alle $x$ mit $d_X(x,a)<\delta$. Man kann sie ohne Epsilon und Delta fassen:

Beweis. „$\Rightarrow$“: Sei $V$ offen und $a\in f^{-1}(V)$. Dann ist $f(a)\in V$, also $B_{\epsilon }(f(a))\subseteq V$ für ein $\epsilon$. Wähle $\delta$ aus der Stetigkeit. Für $x\in B_{\delta }(a)$ liegt $f(x)$ in $B_{\epsilon }(f(a))\subseteq V$, also $B_{\delta }(a)\subseteq f^{-1}(V)$. „$\Leftarrow$“: Zu $a$ und $\epsilon$ ist $V=B_{\epsilon }(f(a))$ offen, also ist $f^{-1}(V)$ offen und enthält $a$. Damit enthält es eine Kugel $B_{\delta }(a)$, und genau das ist die $\epsilon$-$\delta$-Bedingung.

Cauchy-Folgen und Vollständigkeit

Eine Folge $(x_n)$ heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N$ gibt mit $d(x_m,x_n)<\epsilon$ für alle $m,n\ge N$. Konvergente Folgen sind immer Cauchy-Folgen (Dreiecksungleichung mit dem Grenzwert als Zwischenpunkt). Die Umkehrung gilt nicht in jedem metrischen Raum, und genau sie heißt Vollständigkeit.

• $ℝ$ und ${ℝ}^n$ sind vollständig. Eine Cauchy-Folge im ${ℝ}^n$ ist komponentenweise eine Cauchy-Folge in $ℝ$.
• $\mathbb{Q}$ ist nicht vollständig: Die Näherungen $1;\mathrm{1,4};\mathrm{1,41};\dots$ von $\sqrt{2}$ sind eine Cauchy-Folge in $\mathbb{Q}$ ohne Grenzwert in $\mathbb{Q}$.
• $(0,1]$ mit dem Betrag ist nicht vollständig: Die Folge $\frac{1}{n}$ ist eine Cauchy-Folge, ihr Grenzwert $0$ liegt nicht in der Menge. Abgeschlossene Teilmengen eines vollständigen Raums sind dagegen vollständig.
• $C[a,b]$ mit der Supremumsmetrik ist vollständig. Beweisidee: Eine Cauchy-Folge $(f_n)$ ist für jedes $x$ eine Cauchy-Folge reeller Zahlen und hat daher eine punktweise Grenzfunktion $f$. Der Abstand $\Vert f_n-f_m{\Vert }_{\infty }<\epsilon$ überträgt sich im Grenzübergang $m\to \infty$ auf $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\le \epsilon$, die Konvergenz ist also gleichmäßig. Nach dem Satz auf Funktionenfolgen und Reihen ist $f$ stetig.

Dass die Menge $ℝ$ alle Lücken füllt, ist die Eigenschaft, auf der Zwischenwertsatz, Extremwertsatz und Integrierbarkeit stetiger Funktionen aufbauen. Verallgemeinert auf Funktionenräume ist dieselbe Eigenschaft der Grund, warum man Gleichungen und Differentialgleichungen durch Näherungsfolgen lösen kann.

Der Banachsche Fixpunktsatz

Beweis. Aus der Kontraktionseigenschaft folgt $d(x_{k+1},x_k)\le q^{k}d(x_1,x_0)$. Für $m>n$ liefert die Dreiecksungleichung mit der geometrischen Summe

Die rechte Seite geht für $n\to \infty$ gegen 0, also ist $(x_n)$ eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein $x^{\ast }$ (Vollständigkeit). Eine Kontraktion ist stetig, deshalb gilt $f(x^{\ast })=\lim f(x_n)=\lim x_{n+1}=x^{\ast }$. Zur Eindeutigkeit: Sind $x^{\ast }$ und $y^{\ast }$ Fixpunkte, folgt $d(x^{\ast },y^{\ast })=d(f(x^{\ast }),f(y^{\ast }))\le qd(x^{\ast },y^{\ast })$, wegen $q<1$ also $d(x^{\ast },y^{\ast })=0$. Die a-priori-Schranke ergibt sich aus der obigen Ungleichung mit $m\to \infty$.

Der Satz ist ein Werkzeug der ganzen Mathematik. Auf $C[a,b]$ angewandt, liefert er den Satz von Picard-Lindelöf über die Lösbarkeit von Differentialgleichungen, und im ${ℝ}^n$ beweist er den Satz über implizite Funktionen, den du bei den Extrema mit Nebenbedingungen brauchst.

Kompaktheit

Beweisidee. Ist $K$ beschränkt, liefert der Satz von Bolzano-Weierstraß in jeder Koordinate nacheinander eine konvergente Teilfolge. Ist $K$ zusätzlich abgeschlossen, liegt der Grenzwert nach dem Satz über Folgen in $K$. Umgekehrt kann eine unbeschränkte Menge keine kompakte sein (eine Folge mit $\Vert x_n\Vert \to \infty$ hat keine konvergente Teilfolge), und eine nicht abgeschlossene Menge enthält eine Folge, deren Grenzwert fehlt.

Die letzte Zeile zeigt, dass Heine-Borel nur im ${ℝ}^n$ gilt: In unendlichdimensionalen Räumen sind abgeschlossene beschränkte Mengen im Allgemeinen nicht kompakt.

Beweis. Sei $s=\sup f(K)$ (möglicherweise $\infty$). Wähle $x_n\in K$ mit $f(x_n)\to s$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine Teilfolge $x_{n_k}\to x\in K$, und wegen der Stetigkeit ist $f(x)=\lim f(x_{n_k})=s$. Also ist $s$ endlich und wird in $x$ angenommen. Das Minimum folgt für $-f$.

Das ist die Garantie hinter jeder Optimierungsaufgabe, zum Beispiel: $x+y$ hat auf dem Kreis $x^2+y^2=1$ ein Maximum und ein Minimum, weil der Kreis kompakt ist. Wo sie liegen, klärt das Lagrange-Verfahren auf der Seite Extrema mit Nebenbedingungen.

Topologische Räume: Abstände weglassen

Konvergenz, Stetigkeit und Kompaktheit lassen sich allein mit offenen Mengen formulieren, ohne Zahlen für Abstände. Das führt zum Begriff des topologischen Raums.

Jeder metrische Raum ist mit seinen offenen Mengen ein topologischer Raum, aber nicht umgekehrt. Auf einer Menge mit mindestens zwei Elementen ist $\tau =\{\varnothing ,X\}$ (die indiskrete Topologie) eine Topologie, in der sich zwei Punkte durch offene Mengen nicht trennen lassen. In einem metrischen Raum gelingt das immer, mit zwei disjunkten Kugeln der Radien $\frac{1}{2}d(x,y)$. Die Trennbarkeit (Hausdorff-Eigenschaft) ist der erste Schritt, um Topologien von Metriken zu unterscheiden.

Ein Beispiel für den Unterschied: Die Abbildung $x\mapsto \tan (\pi x-\frac{\pi }{2})$ ist eine stetige Bijektion von $(0,1)$ nach $ℝ$ mit stetiger Umkehrung, die Räume sind also topologisch gleich (homöomorph). Als metrische Räume sind sie verschieden: $ℝ$ ist vollständig, $(0,1)$ nicht. Die Topologie als eigenes Fach fragt genau danach, welche Räume sich stetig ineinander verformen lassen, zum Beispiel Kaffeetasse und Donut.

Typische Fehler

Übungen

Weiter im Studium: Allgemeine topologische Räume mit Basis, Produkt- und Quotiententopologie, Trennungsaxiomen und Sätzen über Zusammenhang und Kompaktheit behandelt die Seite Topologie.

Geschichte: vom Abstand zur Topologie

Maurice Fréchet führte 1906 in seiner Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel metrische Räume ein, um die Analysis auf Räume von Funktionen auszudehnen. Felix Hausdorff gab dem metrischen Raum seinen Namen und definierte 1914 den topologischen Raum, in dem es keinen Abstand mehr braucht. Stefan Banach veröffentlichte 1922 in der Arbeit „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales“ (Fundamenta Mathematicae 3), die auf seiner Doktorarbeit von 1920 beruht, den Fixpunktsatz, der heute seinen Namen trägt. Kompaktheit ging aus dem Satz von Heine-Borel hervor: Émile Borel bewies 1895 die Version für abzählbare Überdeckungen, Pierre Cousin (1895), Henri Lebesgue (um 1898) und Arthur Schoenflies (1900) verallgemeinerten sie auf beliebige Überdeckungen. Der Name Topologie geht auf Johann Benedict Listing (1847) zurück.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Metrischer Raum
• Wikipedia: Banachscher Fixpunktsatz
• Wikipedia: Satz von Heine-Borel
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R^n, gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin.
• Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22 (1906).