Fourierreihen: Schwingungen aus Sinus und Kosinus

Ein Ton einer Geige und der Ton einer Flöte können dieselbe Höhe haben und klingen doch verschieden. Der Unterschied liegt in den Obertönen: Die Welle ist eine Überlagerung von reinen Sinuswellen mit den Frequenzen $f,2f,3f,\dots$ und verschiedenen Stärken. Die Mathematik dahinter sind die Fourierreihen. Sie zerlegen jede periodische Funktion in Sinus- und Kosinusanteile, und sie sind das wichtigste Werkzeug der Signalverarbeitung, der Akustik und der Wärmeleitung.

Du brauchst dafür Integrale (Riemann-Integral) und ein wenig Orthogonalität (Skalarprodukt und Orthogonalität). Mit den Begriffen der Funktionenreihen ist die Konvergenzfrage zu verstehen.

Die Idee: Orthogonalität

Die Funktionen $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots$ stehen im Sinne des Integrals senkrecht aufeinander, so wie die Einheitsvektoren im ${ℝ}^n$.

Beweis. Nach den Additionstheoremen ist $\cos kx\cos lx=\frac{1}{2}(\cos (k-l)x+\cos (k+l)x)$. Für $k\ne l$ sind beide Frequenzen ungleich $0$, und das Integral einer Kosinusfunktion über eine ganze Zahl von Perioden ist $0$. Für $k=l$ bleibt $\frac{1}{2}(1+\cos 2kx)$ mit dem Integral $\pi$. Genauso behandelt man $\sin kx\sin lx=\frac{1}{2}(\cos (k-l)x-\cos (k+l)x)$. Das Produkt $\sin kx\cos lx$ ist eine Summe von Sinusfunktionen, und Sinus ist ungerade, das Integral über $[-\pi ,\pi ]$ ist also $0$. $\square$

Daraus ergeben sich die Koeffizienten wie bei einer Orthogonalbasis. Angenommen, $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$, und die Reihe darf gliedweise integriert werden. Multiplizierst du mit $\cos lx$ und integrierst über $[-\pi ,\pi ]$, überlebt nur der Term mit $k=l$: $\int f(x)\cos lx\text{d}x=a_l\pi$. Das ist die Formel für $a_l$. Dasselbe mit $\sin lx$ gibt $b_l$, und $\int f\text{d}x=a_0\pi$ erklärt den Faktor $\frac{1}{2}$ vor $a_0$: $\frac{a_0}{2}$ ist der Mittelwert von $f$ über eine Periode.

Für eine Funktion mit der Periode $T$ ersetzt man $x$ durch $\frac{2\pi }{T}x$: Die Reihe lautet dann $\frac{a_0}{2}+\sum _k(a_k\cos \frac{2\pi kx}{T}+b_k\sin \frac{2\pi kx}{T})$, und die Integrale laufen über eine Periode, $a_k=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \frac{2\pi kx}{T}\text{d}x$ entsprechend.

Drei Beispiele

Wann konvergiert die Fourierreihe?

Die Koeffizienten lassen sich für jede integrierbare Funktion hinschreiben. Ob die Reihe aber gegen $f$ konvergiert, ist eine andere Frage. Die Antwort ist heikel: Es gibt stetige Funktionen, deren Fourierreihe an einer Stelle divergiert (Du Bois-Reymond, 1876). Für die praktisch wichtigen Funktionen gilt aber:

An der Sprungstelle $x=0$ der Rechteckschwingung konvergiert die Reihe also gegen $\frac{-1+1}{2}=0$, wie man an der Reihe sofort sieht (alle Sinusglieder sind $0$). Je glatter die Funktion, desto schneller fallen die Koeffizienten: Beim Sägezahn mit Sprung sind sie $\sim \frac{1}{k}$, bei der stetigen Parabel $\sim \frac{1}{k^2}$. Hat $f$ eine stetige $m$-te Ableitung, fallen sie schneller als $\frac{1}{k^m}$.

Die beste Näherung im quadratischen Mittel

Die Teilsummen $S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ haben eine Optimalitätseigenschaft, die mit der Orthogonalität zusammenhängt. Misst man den Abstand zweier Funktionen durch $\Vert f-g{\Vert }^2={\int }_{-\pi }^{\pi }{(f-g)}^2\text{d}x$, dann ist $S_n$ unter allen trigonometrischen Polynomen vom Grad höchstens $n$ diejenige, die $f$ am besten annähert. Beweisidee: Ein beliebiges trigonometrisches Polynom $T_n$ lässt sich als $S_n+D$ mit einem Polynom $D$ vom Grad $\le n$ schreiben. Die Differenz $f-S_n$ steht nach der Wahl der Koeffizienten senkrecht auf allen Basisfunktionen bis zum Grad $n$, also auch auf $D$. Nach dem Satz des Pythagoras ist $\Vert f-T_n{\Vert }^2=\Vert f-S_n{\Vert }^2+\Vert D{\Vert }^2\ge \Vert f-S_n{\Vert }^2$. Das ist dieselbe Rechnung wie bei der orthogonalen Projektion im ${ℝ}^n$.

Aus $\Vert f-S_n{\Vert }^2=\Vert f{\Vert }^2-\pi (\frac{a_0^2}{2}+\sum _{k\le n}(a_k^2+b_k^2))\ge 0$ folgt die Besselsche Ungleichung: Die Summe der Quadrate der Koeffizienten ist höchstens $\frac{1}{\pi }\int f^2$. Parseval sagt, dass hier sogar Gleichheit gilt, die Fourierbasis also „vollständig“ ist. Mit dieser Sichtweise ist die Fourierreihe der Spezialfall einer Entwicklung nach einem Orthogonalsystem in einem Funktionenraum.

Die Parseval-Gleichung

Im ${ℝ}^n$ ist das Quadrat der Länge eines Vektors die Summe der Quadrate seiner Koordinaten. Für Fourierreihen gilt dasselbe: Die „Energie“ der Funktion ist die Summe der Energien ihrer Schwingungsanteile. Für stückweise stetige $f$ ist

Für den Sägezahn ist links $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2\text{d}x=\frac{2{\pi }^2}{3}$ und rechts $\sum \frac{4}{k^2}=4·\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{2{\pi }^2}{3}$. Die Seiten stimmen überein, das bestätigt die Rechnung von oben und das Ergebnis $\sum \frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ auf einem zweiten Weg.

Sinus- und Kosinusreihen auf einem halben Intervall

Oft ist eine Funktion nur auf $[0,\pi ]$ gegeben, etwa die Anfangsauslenkung einer an beiden Enden eingespannten Saite. Du kannst sie ungerade oder gerade zu $[-\pi ,\pi ]$ fortsetzen. Die ungerade Fortsetzung führt auf eine reine Sinusreihe $f(x)=\sum _{k\ge 1}{b}_k\sin kx$ mit $b_k=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin kx\text{d}x$, die gerade auf eine Kosinusreihe. Für $f(x)=1$ auf $(0,\pi )$ ist $b_k=\frac{2}{\pi }·\frac{1-\cos k\pi }{k}=\frac{4}{k\pi }$ für ungerades $k$ und sonst $0$, und die Reihe ist dieselbe wie bei der Rechteckschwingung. Die Sinusreihe hat bei $0$ und $\pi$ stets den Wert $0$, auch wenn $f$ dort nicht verschwindet. Das erklärt, warum die Konvergenz am Rand langsam ist.

Anwendung: Wärmeleitung in einem Stab

Die Temperatur $u(x,t)$ in einem Stab der Länge $\pi$, dessen Enden auf $0$ gehalten werden, genügt der Wärmeleitungsgleichung $\frac{\partial u}{\partial t}=c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ mit $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ und der Anfangstemperatur $u(x,0)=f(x)$. Jede Funktion $e^{-c{k}^{2}t}\sin kx$ löst Gleichung und Randbedingung, denn ${\partial }_t$ gibt den Faktor $-c{k}^2$ und ${\partial }_x^2$ ebenfalls. Entwickelt man $f(x)=\sum b_k\sin kx$, dann ist

Jeder Anteil klingt also exponentiell ab, und zwar die hohen Frequenzen um so schneller, je größer $k^2$ ist. Das erklärt, warum Wärme Unebenheiten glättet. Für $f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 3x$ ist $u(x,t)=e^{-ct}\sin x+\frac{1}{2}{e}^{-9ct}\sin 3x$: Nach kurzer Zeit ist der dritte Anteil verschwunden und nur noch die Grundschwingung übrig. Mit genau dieser Rechnung begann Fourier die Theorie, wie der Titel seines Hauptwerks verrät.

Die komplexe Form

Mit $\cos kx=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}$ und $\sin kx=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$ lässt sich die Reihe kürzer schreiben: $f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{ikx}$ mit $c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\text{d}x$. Der Zusammenhang ist $a_k=c_k+c_{-k}$ und $b_k=i(c_k-c_{-k})$. Die Größen $\left|c_k\right|$ bilden das Spektrum des Signals. Lässt man die Periode gegen unendlich gehen, geht die Reihe in die Fourier-Transformation über, die in der Signalverarbeitung benutzt wird. Eine verwandte Transformation für Anfangswertprobleme ist die Laplace-Transformation.

Übungen

Immer neue Aufgaben mit Lösungen gibt es auf dem Blatt Fourierreihen.

Geschichte: von der schwingenden Saite zu Fourier

Schon im 18. Jahrhundert kannten Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange und die Bernoullis trigonometrische Reihen für einzelne Funktionen. Sie stritten darüber, ob sich jede Anfangsform einer schwingenden Saite so darstellen lässt. Joseph Fourier behauptete 1822 in seiner „Théorie analytique de la chaleur“, dass sich alle Funktionen entwickeln lassen, und benutzte die Reihen zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Der Beweis fehlte. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewies 1829 die Konvergenz für eine große Klasse von Funktionen, darunter alle stückweise glatten. Paul du Bois-Reymond fand 1876 eine stetige Funktion, deren Fourierreihe an einer Stelle divergiert. Georg Cantor kam über die Eindeutigkeit der Darstellung (1870) zu den unendlichen Punktmengen und damit zur Mengenlehre. Lennart Carleson bewies 1966, dass die Fourierreihe jeder quadratintegrierbaren Funktion fast überall konvergiert.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Fourierreihe
• Wikipedia (englisch): Gibbs phenomenon
• Otto Forster: Analysis 1, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press.