Homomorphismen, Normalteiler und Faktorgruppen

Die Isomorphie vergleicht zwei Gruppen, die genau gleich gebaut sind. Oft ist die Beziehung lockerer: Eine Abbildung erhält die Verknüpfung, verliert dabei aber Information. Daraus entstehen die Homomorphismen und die Frage, wie man eine Gruppe „zusammenfaltet“. Die Antwort sind Normalteiler und Faktorgruppen.

Ein Homomorphismus schickt das neutrale Element auf das neutrale Element und Inverse auf Inverse. Beweis. Aus $\phi (e)=\phi (e\circ e)=\phi (e)·\phi (e)$ folgt nach Multiplikation mit $\phi {(e)}^{-1}$ die Gleichung $\phi (e)=e_H$. Dann ist $\phi (a)·\phi (a^{-1})=\phi (a\circ a^{-1})=\phi (e)=e_H$, also $\phi (a^{-1})=\phi {(a)}^{-1}$. Der Kern ist eine Untergruppe von $G$ und das Bild eine Untergruppe von $H$. Außerdem gilt: $\phi$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker \phi =\left\{e\right\}$. Ist nämlich $\phi (a)=\phi (b)$, dann ist $\phi (a\circ b^{-1})=e_H$, also $a\circ b^{-1}\in \ker \phi$, und bei trivialem Kern folgt $a=b$.

Nebenklassen

Zu einer Untergruppe $H\le G$ und einem Element $g\in G$ heißt $gH=\{g\circ h:h\in H\}$ die Nebenklasse von $g$. Zwei Nebenklassen sind entweder gleich oder disjunkt, und jede hat genau $\left|H\right|$ Elemente, denn $h\mapsto g\circ h$ ist eine Bijektion von $H$ auf $gH$. Die Nebenklassen zerlegen also $G$ in gleich große Teile, und es folgt der Satz von Lagrange: $\left|G\right|=[G:H]·\left|H\right|$, wobei der Index $[G:H]$ die Zahl der Nebenklassen ist. In $D_3$ zerlegen die drei Nebenklassen $H$, $rH$, $r^{2}H$ von $H=\{e,s_A\}$ die sechs Elemente in drei Paare.

Normalteiler

Jeder Kern ist ein Normalteiler. Beweis. Für $n\in \ker \phi$ und $g\in G$ gilt $\phi (g\circ n\circ g^{-1})=\phi (g)·e_H·\phi {(g)}^{-1}=e_H$, also liegt $g\circ n\circ g^{-1}$ wieder im Kern. In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Eine Untergruppe vom Index 2 ist immer normal, weil ihre Linksnebenklassen $N$ und $G\setminus N$ sind und ebenso die Rechtsnebenklassen. Daher ist $N=\{e,r,r^2\}$ ein Normalteiler von $D_3$. Die Untergruppe $H=\{e,s_A\}$ ist dagegen kein Normalteiler: Wegen $s_A\circ r=r^{-1}\circ s_A$ ist $r\circ s_A\circ r^{-1}=r^2\circ s_A$ eine andere Spiegelung, die nicht in $H$ liegt.

Die Faktorgruppe

Ist $N⊴G$, dann bilden die Nebenklassen $G/N=\{gN:g\in G\}$ mit $(aN)\circ (bN)=(a\circ b)N$ wieder eine Gruppe, die Faktorgruppe. Entscheidend ist, dass diese Verknüpfung nicht vom gewählten Vertreter abhängt (sie ist wohldefiniert). Gilt $a^{\prime }=a{n}_1$ und $b^{\prime }=b{n}_2$ mit $n_1,n_2\in N$, so ist $a^{\prime }{b}^{\prime }=a{n}_{1}b{n}_2=ab·(b^{-1}{n}_{1}b)n_2$, und weil $N$ normal ist, liegt $b^{-1}{n}_{1}b$ in $N$. Also ist $a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$. Neutrales Element ist $N$, das Inverse von $aN$ ist $a^{-1}N$, und es gilt $|G/N|=\left|G\right|/\left|N\right|$. Beispiele: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}_n$ ist die Restklassengruppe, und $D_3/\{e,r,r^2\}$ hat zwei Elemente, ist also isomorph zu ${\mathbb{Z}}_2$.

Beweis. Sei $K=\ker \phi$ und $\psi (gK)=\phi (g)$. Es gilt $gK=g^{\prime }K$ genau dann, wenn $g^{-1}{g}^{\prime }\in K$, das heißt genau dann, wenn $\phi (g)=\phi (g^{\prime })$. Die Richtung „$\Rightarrow$“ zeigt, dass $\psi$ wohldefiniert ist, die Richtung „$\Leftarrow$“ zeigt, dass $\psi$ injektiv ist. Die Homomorphie folgt aus $\psi (aK·bK)=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$, und das Bild von $\psi$ ist $\phi (G)$. $\square$

Anwendung: Das Vorzeichen liefert $S_n/A_n\cong \{+1,-1\}$, also hat $A_n$ genau $n!/2$ Elemente. Für $n=3$ sind das die drei Permutationen $e$ und die beiden Dreierzyklen.