Jordan-Normalform und Satz von Cayley-Hamilton

Auf der Seite Eigenwerte und Eigenvektoren hast du gelernt, wann eine Matrix sich diagonalisieren lässt: wenn sie genug Eigenvektoren für eine Basis hat. Das klappt nicht immer. Die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ hat nur den Eigenwert $1$, doppelt als Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${(1-\lambda )}^2$, aber der Eigenraum ist eindimensional, denn $A-E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ hat Rang 1. Es gibt keine Basis aus Eigenvektoren, $A$ ist nicht diagonalisierbar.

Die Jordan-Normalform löst das Problem so gut wie möglich: Über den komplexen Zahlen ist jede quadratische Matrix ähnlich zu einer Blockmatrix aus fast diagonalen Bausteinen, den Jordankästchen. Sie beantwortet, wann zwei Matrizen „dasselbe“ sind (ähnlich), liefert die Potenzen $A^n$ und die Lösung linearer Differentialgleichungssysteme. Mit ihr verwandt ist der Satz von Cayley-Hamilton: Jede Matrix löst ihr eigenes charakteristisches Polynom.

Jordankästchen und der Satz

Die Eindeutigkeit bedeutet: Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie dieselbe Jordan-Normalform haben. Die Matrix ist diagonalisierbar genau dann, wenn alle Kästchen die Größe 1 haben. Über $ℝ$ braucht man, damit alle Eigenwerte vorkommen, den Umweg über $ℂ$, denn das charakteristische Polynom muss in Linearfaktoren zerfallen (Fundamentalsatz der Algebra, siehe Komplexe Zahlen).

Hauptvektoren

Ein Jordankästchen $J_k(\lambda )$ entspricht einer Kette von Basisvektoren $v_1,\dots ,v_k$ mit

Der erste Vektor $v_1$ ist ein gewöhnlicher Eigenvektor, die übrigen heißen Hauptvektoren (verallgemeinerte Eigenvektoren). In dieser Basis wirkt $A$ so: $A{v}_1=\lambda v_1$ und $A{v}_j=\lambda v_j+v_{j-1}$. Genau das ist die Spalte $j$ von $J_k(\lambda )$. Der Hauptvektor $v_k$ der Stufe $k$ liegt im Kern von ${(A-\lambda E)}^k$, aber nicht in dem von ${(A-\lambda E)}^{k-1}$.

Durchgerechnete Beispiele

Anwendungen: Potenzen und Differentialgleichungen

Aus $A=TJ{T}^{-1}$ folgt $A^n=T{J}^n{T}^{-1}$. Die Potenz eines Jordankästchens lässt sich mit der binomischen Formel ausrechnen, denn $J_k(\lambda )=\lambda E+N$ mit der nilpotenten Matrix $N$ (Einsen über der Diagonale, $N^k=0$) und $\lambda E$ kommutiert mit $N$:

Im Beispiel 1 ist daher $A^n=T\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)T^{-1}$. Für $n=2$ ergibt sich $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -4& 8\end{array}\right)$, wie man auch direkt nachrechnet.

Ebenso löst man das Differentialgleichungssystem $x^{\prime }=Ax$ mit $x(t)=e^{tA}{x}_0$ und $e^{tA}=T{e}^{tJ}{T}^{-1}$. Für ein Kästchen gilt

Hier erscheint der Term $t{e}^{\lambda t}$, das Verhalten bei einer doppelten Resonanz. Ohne die Jordan-Form wäre es unverständlich, warum zu einem doppelten Eigenwert eine Lösung der Form $t{e}^{\lambda t}$ gehört.

Der Satz von Cayley-Hamilton

Beweis. Die Adjunkte $B(\lambda )=\mathrm{adj}(\lambda E-A)$ ist ein Polynom in $\lambda$ vom Grad $\le n-1$ mit Matrixkoeffizienten, $B(\lambda )=B_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +B_0$. Für sie gilt $(\lambda E-A)B(\lambda )=p_A(\lambda )E$. Ein Koeffizientenvergleich in $\lambda$ liefert $B_{n-1}=E$, $B_{k-1}-A{B}_k=c_{k}E$ für $1\le k\le n-1$ und $-A{B}_0=c_{0}E$. Multipliziert man die Gleichung zu ${\lambda }^k$ von links mit $A^k$ und addiert alles, heben sich die $B$-Terme gegenseitig auf (Teleskopsumme), und es bleibt $0=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +c_{0}E=p_A(A)$.

Vorsicht: Einfach $A$ in $\det (A-\lambda E)$ einzusetzen, ergibt keinen Beweis. Dort steht eine Determinante von Matrizen, nicht die Auswertung eines Polynoms.

Das kleinste Polynom $m_A$ (normiert) mit $m_A(A)=0$ heißt Minimalpolynom. Es teilt $p_A$, und es enthält jeden Eigenwert als Nullstelle. In der Jordan-Form ist die Vielfachheit von $\lambda$ im Minimalpolynom die Größe des größten Kästchens zu $\lambda$. Eine Matrix ist daher genau dann diagonalisierbar, wenn $m_A$ nur einfache Nullstellen hat. Im Beispiel 2 ist $p_A={(\lambda -2)}^3$ und $m_A={(\lambda -2)}^2$. Im Beispiel 1 ist $m_A=p_A={(\lambda -2)}^2$.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von den Elementarteilern zur Normalform

Die Theorie hat zwei Wurzeln. Karl Weierstraß behandelte 1868 bilineare Formen im Komplexen und kannte dabei schon Teile der Theorie. Camille Jordan leitete die Normalform 1870 für Matrizen über endlichen Körpern her und 1871 für komplexe Matrizen, dort bei der Lösung von Differentialgleichungssystemen. Parallel entstand der Satz von Cayley-Hamilton: Hamilton hatte 1853 einen Spezialfall bei Quaternionen bewiesen, Cayley formulierte 1858 die Aussage für Matrizen und bewies sie nur für die Größe 2. Georg Frobenius gab 1878 den ersten allgemeinen Beweis. Die Normalform ist bis heute ein Standardwerkzeug, wenn Eigenvektoren nicht ausreichen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Jordansche Normalform
• Wikipedia: Satz von Cayley-Hamilton
• Wikipedia (englisch): Cayley-Hamilton theorem
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, Berlin.
• Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, Cham.