Zahlensysteme

Ein Zahlensystem ist eine Regel, wie man Zahlen mit Zeichen aufschreibt. Wir benutzen das Dezimalsystem mit den zehn Ziffern 0 bis 9. Es ist ein Stellenwertsystem: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab. In 505 ist die erste 5 fünfhundert wert, die zweite nur fünf. Dasselbe Prinzip funktioniert mit jeder anderen Anzahl von Ziffern, und genau darauf beruhen Computer, Farbcodes im Internet und viele alte Kulturen.

Auf dieser Seite lernst du Schritt für Schritt: Wie funktioniert unser Zehnersystem wirklich? Was ist anders bei römischen Zahlen? Wie zählt und rechnet man im Binärsystem mit nur 0 und 1, und wie im Hexadezimalsystem mit sechzehn Ziffern? Dazu kommen Umrechnungsverfahren, typische Fehler, Übungen mit Lösungen und ein Blick in die Geschichte von Babylon bis Leibniz.

Das Zehnersystem: Bündeln und Stellenwerte

Stell dir vor, du zählst 237 Streichhölzer. Du bündelst je zehn zu einem Päckchen, je zehn Päckchen zu einer Schachtel. Es bleiben 2 Schachteln (Hunderter), 3 Päckchen (Zehner) und 7 einzelne Hölzer (Einer). Diese Bündelung ist das Herz eines Stellenwertsystems: Sobald du zehn Stück hast, wird daraus ein Stück der nächsthöheren Stelle. Warum gerade zehn? Vermutlich, weil wir zehn Finger haben. Zwingend ist das nicht.

Die Stellen haben Namen, die du von der Stellenwerttafel kennst: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender. Jeder Stellenwert ist eine Zehnerpotenz:

• Einer: 10⁰ = 1
• Zehner: 10¹ = 10
• Hunderter: 10² = 100
• Tausender: 10³ = 1.000

Die Zahl 3.205 bedeutet also 3 · 1.000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1. Die Null ist wichtig: Sie hält die Stelle der Zehner frei, damit die anderen Ziffern am richtigen Platz stehen. Wie Potenzen funktionieren, steht auf der Seite Potenzen.

Zum Vergleich: Additionssysteme wie die römischen Zahlen

Nicht jedes Zahlensystem arbeitet mit Stellenwerten. Bei den römischen Zahlen hat jedes Zeichen immer denselben Wert: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1.000. Man addiert (oder zieht ab, wenn ein kleineres Zeichen vor einem größeren steht). XIV ist 10 + (5 − 1) = 14, MCMXC ist 1.000 + 900 + 90 = 1.990. Solche Systeme heißen Additionssysteme. Es gibt keine Null und keinen Stellenwert, darum ist schriftliches Rechnen mühsam. Wie die Römer schrieben und rechneten, erklärt der Abschnitt über römische Zahlen. Zum Umrechnen hilft der Umrechner für römische Zahlen.

Die wichtigsten Zahlensysteme im Überblick

Das Binärsystem

Das Binärsystem (auch Dualsystem, von lateinisch bini, je zwei) hat die Basis 2. Es gibt nur die Ziffern 0 und 1. Das passt zu Schaltungen, die zwei Zustände unterscheiden: Strom fließt oder fließt nicht, ein Schalter ist an oder aus. Eine Binärziffer heißt Bit (von binary digit).

Zählen im Binärsystem

Du zählst genau wie im Zehnersystem, nur bündelst du schon bei zwei. Auf 1 folgt nicht 2, sondern 10 (gesprochen „eins null“), denn zwei Einer werden zu einem Zweier.

Die Stellenwerte sind die Zweierpotenzen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 und so weiter. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die rechts neben ihr.

Binär nach dezimal umrechnen

Schreibe die Stellenwerte über die Ziffern und addiere die Werte der Stellen, an denen eine 1 steht. Rechne 101101₂:

Also ist 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Die Nullen tragen nichts bei. Ein zweites Beispiel: 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13. Und 11111111₂ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, die größte Zahl mit 8 Bit.

Dezimal nach binär umrechnen

Dafür gibt es zwei Verfahren. Beide liefern dasselbe Ergebnis. Nimm als Beispiel die Zahl 45.

Verfahren 1: Division mit Rest. Du teilst die Zahl immer wieder durch 2 und notierst den Rest (0 oder 1). Du hörst auf, wenn das Ergebnis 0 ist. Die Reste liest du von unten nach oben.

Von unten nach oben gelesen ergeben die Reste 101101, also 45 = 101101₂. Warum klappt das? Jeder Rest sagt, ob eine Zweiereinheit der aktuellen Stufe übrig bleibt, genau wie beim Bündeln. Wie du schriftlich mit Rest teilst, zeigt die Seite Schriftliches Dividieren.

Verfahren 2: Größte Zweierpotenz abziehen. Du suchst für jede Zweierpotenz von der größten abwärts, ob sie noch in die Zahl passt. Passt sie, schreibst du eine 1 und ziehst sie ab, sonst eine 0. Nimm 77 und die Potenzen 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1:

1. 64 passt in 77, also 1. Rest 77 − 64 = 13.
2. 32 passt nicht in 13, also 0.
3. 16 passt nicht in 13, also 0.
4. 8 passt in 13, also 1. Rest 13 − 8 = 5.
5. 4 passt in 5, also 1. Rest 5 − 4 = 1.
6. 2 passt nicht in 1, also 0.
7. 1 passt in 1, also 1. Rest 0.

Ergebnis: 77 = 1001101₂. Probe: 64 + 8 + 4 + 1 = 77. Das zweite Verfahren eignet sich für kleine Zahlen, das erste auch für große.

Schriftlich addieren im Binärsystem

Du addierst wie beim schriftlichen Addieren, nur kennst du weniger Regeln. Eine Spalte kann höchstens drei Einsen enthalten (zwei Ziffern und ein Übertrag):

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 10 (schreibe 0, Übertrag 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 (schreibe 1, Übertrag 1)

Das Hexadezimalsystem

Binärzahlen sind für Menschen lang und unübersichtlich. Die Zahl 255 braucht acht Stellen: 11111111₂. Darum nutzt man in der Informatik gern das Hexadezimalsystem mit der Basis 16. Es braucht sechzehn Ziffern. Weil unser Alphabet für die Ziffern 10 bis 15 keine Zeichen hat, nimmt man die Buchstaben A bis F.

Die Stellenwerte sind Potenzen von 16: 1, 16, 256, 4.096 und so weiter.

Hexadezimal nach dezimal

Du rechnest wie beim Binärsystem, nur mit den Stellenwerten 1, 16, 256:

• 2F₁₆ = 2 · 16 + 15 · 1 = 47
• A3₁₆ = 10 · 16 + 3 = 163
• 1A4₁₆ = 1 · 256 + 10 · 16 + 4 = 420
• FF₁₆ = 15 · 16 + 15 = 255

Dezimal nach hexadezimal

Auch hier hilft die Division mit Rest, diesmal durch 16. Rechne 300: 300 : 16 = 18 Rest 12 (das ist C). 18 : 16 = 1 Rest 2. 1 : 16 = 0 Rest 1. Von unten nach oben gelesen: 1, 2, C, also 300 = 12C₁₆. Probe: 256 + 2 · 16 + 12 = 300.

Vier Bit sind eine Hexadezimalziffer

Der große Vorteil: Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bit, denn 2⁴ = 16. Du kannst zwischen Binär und Hexadezimal umschalten, ohne zu rechnen. Teile die Binärzahl von rechts in Vierergruppen und ersetze jede Gruppe nach der Tabelle:

Ein Byte besteht aus 8 Bit und kann 2⁸ = 256 Werte annehmen (0 bis 255). Es lässt sich daher mit genau zwei Hexadezimalziffern schreiben, von 00 bis FF. Ein Buchstabe wie das große A wird zum Beispiel als Zahl 65 gespeichert, das ist 01000001₂ oder 41₁₆.

Farbcodes im Web

Wenn du eine Farbe für eine Webseite angibst, begegnet dir das Hexadezimalsystem. Ein Farbcode wie #FF8800 besteht aus drei Bytes, also drei Paaren von Hexadezimalziffern, für die Anteile von Rot, Grün und Blau:

• FF = 255: Rot ganz voll aufgedreht
• 88 = 8 · 16 + 8 = 136: Grün etwa zur Hälfte
• 00 = 0: kein Blau

Das ergibt ein kräftiges Orange. Mit drei Bytes lassen sich 256 · 256 · 256 = 16.777.216 verschiedene Farben angeben. Zum Ausprobieren eigener Zahlen gibt es den Zahlensysteme-Umrechner.

Oktalsystem und allgemeine Basis

Das Oktalsystem hat die Basis 8 und die Ziffern 0 bis 7. Eine Oktalziffer entspricht drei Bit. Du findest es bei den Zugriffsrechten von Dateien unter Linux: 755 bedeutet 111 101 101 in Binär, also Lesen, Schreiben und Ausführen für den Besitzer und nur Lesen und Ausführen für alle anderen. Dezimal ist 755₈ = 7 · 64 + 5 · 8 + 5 = 493.

Die Verfahren gelten für jede Basis b. Du teilst durch b und notierst die Reste. Zum Beispiel 100 in der Basis 5: 100 : 5 = 20 Rest 0, 20 : 5 = 4 Rest 0, 4 : 5 = 0 Rest 4. Von unten nach oben: 400₅. Probe: 4 · 25 = 100. Und 50 in der Basis 3: 50 : 3 = 16 Rest 2, 16 : 3 = 5 Rest 1, 5 : 3 = 1 Rest 2, 1 : 3 = 0 Rest 1. Das ergibt 1212₃, Probe: 27 + 18 + 3 + 2 = 50.

Übungen

Noch mehr Aufgaben zum Umrechnen mit immer neuen Zahlen gibt es im Arbeitsblatt Zahlensysteme üben.

Geschichte: Von Babylon bis zum Computer

Stellenwertsysteme sind eine Erfindung mehrerer Kulturen. Die Babylonier rechneten schon vor rund 4.000 Jahren zur Basis 60. Vermutlich ist sie deshalb so beliebt, weil 60 sich durch viele Zahlen teilen lässt: durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Wir nutzen dieses Erbe noch heute: 60 Minuten pro Stunde, 60 Sekunden pro Minute und 360 Grad im Kreis. 1 Stunde 30 Minuten sind 1:30, also 1 · 3.600 + 30 · 60 = 5.400 Sekunden.

Die Maya benutzten ein Zwanzigersystem mit Punkten für die Eins, Strichen für die Fünf und einem eigenen Zeichen für die Null. Sie entwickelten es unabhängig von der Alten Welt. Unser heutiges Zehnersystem mit der Null stammt aus der indischen Mathematik und kam über die arabische Welt nach Europa.

Das Binärsystem beschrieb Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ausführlich. Er veröffentlichte es 1703 in seiner Explication de l’Arithmétique Binaire und verwies dort auf die Hexagramme des chinesischen I Ging. Mehr dazu steht auf der Leibniz-Seite. Dass sich Logik mit 0 und 1 rechnen lässt, zeigte im 19. Jahrhundert George Boole. Beide Ideen wurden später zur Grundlage der digitalen Technik.

Häufige Fragen

Warum benutzen Computer das Binärsystem?

Weil sich zwei Zustände technisch sehr zuverlässig unterscheiden lassen, etwa Spannung hoch oder niedrig. Mit zehn unterscheidbaren Zuständen wären die Schaltungen viel störanfälliger.

Wozu braucht man das Hexadezimalsystem?

Es ist eine kurze Schreibweise für Binärzahlen. Vier Bit werden zu einer Ziffer, ein Byte zu zwei. Du siehst es bei Farbcodes, Speicheradressen und Fehlernummern.

Wie unterscheide ich 11 dezimal von 11 binär?

Durch die tiefgestellte Basis: 11₁₀ ist elf, 11₂ ist drei. In Programmen stehen Vorsilben wie 0b für binär und 0x für hexadezimal.

Gibt es ein Stellenwertsystem ohne Null?

Ohne Null wird es schwierig. Die Babylonier ließen leere Stellen zuerst einfach frei und führten erst später ein Zeichen dafür ein. Wer 205 und 25 unterscheiden will, braucht ein Zeichen für die leere Zehnerstelle.

Mehr über Zahlen und ihre Eigenschaften findest du auf der Übersichtsseite Zahlen und ihre Eigenschaften.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Stellenwertsystem
• Wikipedia: Dualsystem
• MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm Leibniz (englisch)
• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen, Campus Verlag, Frankfurt am Main 1986.