Vektorräume, Basis und Dimension

Aus der Schule kennst du Vektoren als Pfeile oder Zahlenpaare: Man addiert sie und streckt sie mit einer Zahl. Genau diese zwei Operationen sind der Kern. Alles, was sich so verhält, nennt man Vektor, auch wenn es keine Pfeile sind: Polynome, stetige Funktionen, Matrizen, Folgen, Lösungen von Gleichungssystemen. Ein Vektorraum ist eine Menge solcher Objekte zusammen mit den Rechenregeln. Dadurch lassen sich Sätze einmal beweisen und überall anwenden.

Hier erfährst du die Axiome, wichtige Beispiele, was ein Unterraum ist, wie man mit Erzeugendensystemen, linearer Unabhängigkeit, Basis und Dimension arbeitet und wie die Dimensionsformel für Unterräume lautet. Die Pfeil-Version mit linearer Abhängigkeit und Basis im Raum steht auf der Seite Vektoren. Die Abbildungen zwischen Vektorräumen behandelt die Seite Lineare Abbildungen. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator.

Die Axiome

Aus den Axiomen folgt $0·v=0$, $\lambda ·0=0$ und $(-1)v=-v$. Der Körper $K$ liefert die „Zahlen“ ($K=ℝ$ oder $ℂ$ in den meisten Vorlesungen; es gibt auch Vektorräume über ${\mathbb{Z}}_p$, siehe Ringe und Körper). Die Elemente von $K$ heißen Skalare.

Die Dimension hängt also vom Körper ab: $ℂ$ ist als $ℝ$-Vektorraum zweidimensional (Basis $1,i$), als $ℂ$-Vektorraum eindimensional (Basis $1$). Keine Vektorräume sind zum Beispiel die Gerade $\{(x,y)\mid x+y=1\}$ (der Nullvektor fehlt) und die Menge $\{x\in ℝ\mid x\ge 0\}$ (mit $x$ fehlt $-x=(-1)x$).

Unterräume

Ein Unterraum ist dann selbst ein Vektorraum. In ${ℝ}^3$ sind die Unterräume genau der Nullraum $\left\{0\right\}$, die Geraden und Ebenen durch den Ursprung und der ganze Raum. Wichtige Quelle für Unterräume: Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$ ist immer ein Unterraum von $K^n$, denn aus $Ax=0$ und $Ay=0$ folgt $A(x+y)=0$ und $A(\lambda x)=0$. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Systems ist dagegen kein Unterraum (sie enthält 0 nicht).

Aus zwei Unterräumen $U,W$ entstehen neue: der Schnitt $U\cap W$ (immer ein Unterraum) und die Summe $U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$, der kleinste Unterraum, der beide enthält.

Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit

Eine Linearkombination von Vektoren $v_1,\dots ,v_k$ ist ein Ausdruck ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_k{v}_k$. Die Menge aller Linearkombinationen heißt Erzeugnis (oder lineare Hülle) $\mathrm{span}(v_1,\dots ,v_k)$. Sie ist der kleinste Unterraum, der alle $v_i$ enthält. Stimmt das Erzeugnis mit $V$ überein, heißen die $v_i$ ein Erzeugendensystem von $V$.

Zum Prüfen stellst du die Gleichung ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_k{v}_k=0$ als lineares Gleichungssystem auf und löst sie mit dem Gauß-Verfahren. Gibt es nur die Lösung $\lambda =0$, sind die Vektoren unabhängig.

Basis und Dimension

Der entscheidende Satz sorgt dafür, dass der Begriff „Dimension“ Sinn ergibt.

Beweis für $V=K^n$. Seien $w_1,\dots ,w_{n+1}\in K^n$. Die Gleichung ${\lambda }_1{w}_1+\dots +{\lambda }_{n+1}{w}_{n+1}=0$ ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n+1$ Unbekannten. Ein solches System hat immer eine Lösung mit $\lambda \ne 0$ (Gauß-Verfahren: mindestens eine freie Variable). Also sind die $w_i$ linear abhängig. Der allgemeine Fall folgt, indem man mit Koordinaten (siehe unten) nach $K^n$ übersetzt. Der Austausch von Basisvektoren Schritt für Schritt, wie ihn Steinitz benutzte, zeigt dasselbe ohne Gleichungssysteme.

Wichtige Folgerungen für einen Vektorraum der Dimension $n$:

• Je $n$ linear unabhängige Vektoren sind schon eine Basis. Je $n$ Erzeugende sind schon eine Basis.
• Jede linear unabhängige Familie lässt sich zu einer Basis ergänzen (Basisergänzungssatz), und jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
• Ein Unterraum $U\subseteq V$ hat $\dim U\le \dim V$, und bei Gleichheit gilt $U=V$ (nur im endlichdimensionalen Fall).

Koordinaten

Ist $B=(b_1,\dots ,b_n)$ eine Basis, dann lässt sich jeder Vektor auf genau eine Weise als $v={\lambda }_1{b}_1+\dots +{\lambda }_n{b}_n$ schreiben. (Gäbe es zwei Darstellungen, wäre die Differenz eine nichttriviale Linearkombination von 0.) Das Tupel $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ heißt der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$. Die Zuordnung $v\mapsto ({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ ist bijektiv und verträgt sich mit Summe und Vielfachen. Deshalb verhält sich jeder $n$-dimensionale Vektorraum über $K$ wie $K^n$.

Die Dimensionsformel für Unterräume

Beweisidee. Wähle eine Basis $(a_1,\dots ,a_r)$ von $U\cap W$. Ergänze sie zu einer Basis $(a_1,\dots ,a_r,b_1,\dots ,b_s)$ von $U$ und zu einer Basis $(a_1,\dots ,a_r,c_1,\dots ,c_t)$ von $W$. Dann ist $(a_1,\dots ,a_r,b_1,\dots ,b_s,c_1,\dots ,c_t)$ eine Basis von $U+W$ mit $r+s+t$ Elementen. Es gilt $\dim U=r+s$, $\dim W=r+t$, $\dim (U\cap W)=r$, und die Formel folgt.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von den Pfeilen zu den Axiomen

Im 19. Jahrhundert tauchten Vektoren in vielen Gestalten auf: als Strecken mit Richtung bei Möbius und Bellavitis, als Quaternionen bei William Rowan Hamilton (1843). Hermann Grassmann entwickelte in seiner Ausdehnungslehre von 1844 bereits ein Rechnen in beliebig vielen Dimensionen, wurde aber kaum verstanden. Giuseppe Peano gab 1888 in seinem Calcolo geometrico die erste axiomatische Definition des Vektorraums. Der Dimensionsbegriff wurde im frühen 20. Jahrhundert geklärt; der Austauschsatz trägt den Namen von Ernst Steinitz. Stefan Banach machte um 1920 unendlichdimensionale Vektorräume zum Gegenstand der Funktionalanalysis.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Vektorraum
• Wikipedia: Basis (Vektorraum)
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, Berlin.
• Klaus Jänich: Lineare Algebra, Springer, Berlin.
• Giuseppe Peano: Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, Turin 1888.